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第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α.
2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(±α,π±α的正弦、余弦、正切).
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:tan α=.(α≠+kπ,k∈Z).
2.诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六 七 八
角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α -α +α
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α -cos α -cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α -sin α sin α
正切 tan α tan α -tan α -tan α
口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限
　
诱导公式的记忆口诀可以概括为“奇变偶不变,符号看象限”这里的奇、偶指的是k·±α(k∈Z)中k是奇数还是偶数,“符号看象限”指的是把α看成锐角时,k·±α(k∈Z)的三角函数值的符号,即原三角函数值的符号.
1.化简sin 870°的值是(　A　)
A. B.-
C. D.-
解析:sin 870°=sin(720°+150°)=sin(180°-30°)=.故选A.
2.(必修第一册P184练习T1改编)已知α是第三象限角,sin α=-,则cos α等于(　B　)
A.- B.- C. D.
解析:因为sin α=-,α是第三象限角,
所以cos α=-=-.故选B.
3.已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为　 .
解析:因为<α<,
所以cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,
所以cos α-sin α>0.
又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,
所以cos α-sin α=.
答案:
4.已知cos α=,-<α<0,则的值为　　　　.
解析:因为-<α<0,
所以sin α=-=-,
所以tan α=-2.
则==-==.
答案:
同角三角函数基本关系的应用
　“知一求二”问题
已知α∈(,π),tan α=-,则cos(-α-)等于(　　)
A. B.- C.- D.
解析:因为tan α==-,
所以cos α=-sin α,
所以sin2α+cos2α=sin2α+sin2α=sin2α=1,
所以sin2α=.
又α∈(,π),所以sin α=,
所以cos(-α-)=cos(+α)=-sin α=-.故选C.
已知sin α,cos α,tan α中的一个求另外两个的值.解决此类问题时,直接套用公式sin2α+cos2α=1及tan α=即可,但要注意α的取值范围,即三角函数值的符号.
　sin α,cos α的齐次式问题
已知=5,则cos2α+sin 2α的值是(　　)
A. B.- C.-3 D.3
解析:由=5,得=5,
可得tan α=2,则cos2α+sin 2α=cos2α+sin αcos α===.故选A.
1.分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,往往转化为关于tan α的式子求解.
2.关于sin α,cos α的二次齐次式,要用到“1”代换,即1=sin2α+cos2α.
　“sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系
已知-<α<0,sin α+cos α=.
(1)求sin α-cos α的值;
(2)求tan α;
(3)求的值.
解:(1)因为sin α+cos α=,
所以(sin α+cos α)2=()2,
即1+2sin αcos α=,所以2sin αcos α=-.
因为(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2sin αcos α=1+=.
又因为-<α<0,所以sin α<0,cos α>0,
所以sin α-cos α<0.
所以sin α-cos α=-.
(2)由已知条件及(1)可知
解得
所以tan α=-.
(3)由(1)可得
===.所以=.
对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
[针对训练]
1.若α∈(,π),sin(π-α)=,则tan α等于(　　)
A.- B.
C.- D.
解析:因为α∈(,π),sin α=,所以cos α=-,所以tan α=-.故选C.
2.已知tan α=-,则sin α·(sin α-cos α)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析:sin α·(sin α-cos α)=sin2α-sin α·cos α=
=,
将tan α=-代入,
得原式==.故选A.
诱导公式的应用
1.若cos(-α)=,则cos(π-2α)等于(　D　)
A. B.
C.- D.-
解析:由cos(-α)=,得sin α=.
所以cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.故选D.
2.已知sin(α+)=,则cos(-α)=　　　　.
解析:因为(α+)+(-α)=.
所以cos(-α)=cos[-(α+)]=sin(α+)=.
答案:
3.化简:=　　　　.
解析:原式=
==
=-=-·=-1.
答案:-1
诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为止.
(2)角中含有加减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.
两类公式在化简与求值中的应用
已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+
6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析:由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β-1=0,解得tan α=3,又α为锐角,故sin α=.故选C.
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.
[针对训练]
已知α∈(,2π),sin(+α)=,则tan(π+2α)等于(　　)
A. B.±
C.± D.
解析:因为α∈(,2π),sin(+α)=,
所以cos α=,sin α=-,tan α==-2.
所以tan(π+2α)=tan 2α===.故选A.
已知α∈(0,π),且cos α=-,则sin(-α)·tan α等于(　　)
A.- B.- C. D.
解析:因为α∈(0,π),且cos α=-,所以sin α=,由诱导公式及同角三角函数的商数关系知sin(-α)·tan α=cos α·=
sin α=.故选C.
已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为(　　)
A. B.±
C.- D.-
解析:因为sin αcos α=,所以(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α=1-2×=,因为<α<,所以
cos α若角θ满足=3,则tan θ的值为　　　　.
解析:由=3,
得=3,
等式左边分子分母同时除以cos θ,
得=3,解得tan θ=1.
答案:1
已知sin α+cos α=-,且<α<π,则+的值为　　　　.
解析:由sin α+cos α=-平方得sin αcos α=-,因为<α<π,
所以sin α-cos α==,
所以+=-===.
答案:
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
同角三角函数基本关系式 2,3 9,10
诱导公式 1,4,6,7 13
综合应用 5,8 11,12,14 15,16
1.sin 600°的值为(　B　)
A.- B.-
C. D.
解析:sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=
-sin 60°=-.故选B.
2.已知tan α=,且α∈(π,),则cos(α-)等于(　A　)
A.- B.
C. D.-
解析:由α∈(π,)知α为第三象限角,
联立得sin α=-,
故cos(α-)=sin α=-.故选A.
3.已知直线2x+y-3=0的倾斜角为θ,则的值是(　C　)
A.-3 B.-2
C. D.3
解析:由已知得tan θ=-2,所以===.故选C.
4.已知sin(53°-α)=,且-270°<α<-90°,则sin(37°+α)等于(　D　)
A. B.-
C. D.-
解析:设53°-α=β,则α=53°-β,所以sin(37°+α)=sin(90°-β)=cos β.又因为-270°<α<-90°,所以143°<β<323°,所以cos β=-=-.故选D.
5.已知sin(-α)=-,则cos(-2α)等于(　A　)
A. B.-
C. D.-
解析:因为sin(-α)=-,所以cos(-2α)=cos[673π+(-2α)] =cos[π+(-2α)] =-cos(-2α)=2sin2(-α)-1=2×(-)2-1=.故选A.
6.(多选题)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　CD　)
A.sin(-x)=sin x
B.sin(-x)=cos x
C.cos(+x)=-sin x
D.cos(x-π)=-cos x
解析:sin(-x)=-sin x,故A不成立;
sin(-x)=-cos x,故B不成立;
cos(+x)=-sin x,故C成立;
cos(x-π)=-cos x,故D成立.故选CD.
7.已知α为钝角,sin(+α)=,则sin(-α)=　　　　.
解析:因为α为钝角,所以cos(+α)=-,
所以sin(-α)=cos [-(-α)] =cos(+α)=-.
答案:-
8.已知sin(3π+α)=2sin(+α),则=　　　　;sin2α+sin 2α=　　　　.
解析:因为sin(3π+α)=2sin(+α),
所以-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α.
===-.
因为sin α=2cos α,所以tan α=2,
所以sin2α+sin 2α==
==.
答案:-　
9.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则等于(　A　)
A.- B.
C. D.-
解析:因为sin α+cos α=,
所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
所以sin αcos α=-,又因为α∈(0,π),
所以sin α>0,cos α<0,所以cos α-sin α<0,
因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×(-)=,
所以cos α-sin α=-,
所以====-.故选A.
10.已知tan θ+=4,则sin4θ+cos4θ等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:tan θ+=+===4.
所以sin θcos θ=,
所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×()2=.故选D.
11.已知sin(--α)cos(-+α)=,且0<α<,则sin α=　　　　,
cos α=　　　　.
解析:sin(--α)cos(-+α)=
(-cos α)·(-sin α)=sin αcos α=.
因为0<α<,所以0又因为sin2α+cos2α=1,
所以sin α=,cos α=.
答案:　
12.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则sin θcos(π-θ)=　　　,
tan θ=　　　　.
解析:因为sin θ+cos θ=,所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θ
cos θ=,所以sin θcos θ=-.所以sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=.
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,因为θ∈(0,π),所以
sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ=.联立解得sin θ=,cos θ=-.所以tan θ=-.
答案:　-
13.已知k∈Z,化简:=　　　　.
解析:当k=2n(n∈Z)时,
原式=
=
==-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式====-1.
综上,原式=-1.
答案:-1
14.已知<α<π,tan α-=-.
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
解:(1)令tan α=x,则x-=-,
整理得2x2+3x-2=0,解得x=或x=-2,
因为<α<π,所以tan α<0,故tan α=-2.
(2)==
tan α+1=-2+1=-1.
15.是否存在α∈(-,),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=
cos(-β),cos(-α)=-cos(π+β)同时成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
解:假设存在角α,β满足条件,
则由已知条件可得
由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.
所以sin2α=,所以sin α=±.
因为α∈(-,),所以α=±.
当α=时,由②式知cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,此时①式成立;
当α=-时,由②式知cos β=,
又β∈(0,π),所以β=,此时①式不成立,故舍去.
所以存在α=,β=满足条件.
16.已知sin α=1-sin(+β),求sin2α+sin(-β)+1的取值范围.
解:因为sin α=1-sin(+β)=1-cos β,
所以cos β=1-sin α,因为-1≤cos β≤1,
所以
所以0≤sin α≤1,
所以sin2α+sin(-β)+1=sin2α+cos β+1=sin2α-sin α+2=
(sin α-)2+,
所以sin2α+sin(-β)+1的取值范围是[,2].

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