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第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号 rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
(2)角α的弧度数公式:在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则|α|=.
(3)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad≈0.017 45 rad,1 rad=()°≈57.30°=57°18′.
(4)扇形的弧长公式:l=|α|·r,扇形的面积公式:S=lr=|α|·r2.
3.任意角的三角函数
(1)定义
设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).
(2)三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(3)任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
1.扇环的面积公式S=(l+l′)(r-r′).其中l,l′是扇环的两条弧长,r,r′是两条弧所在圆的半径,且r>r′.　
2.面积(周长)一定的扇形,周长最小(面积最大)时,扇形的弧长l与半径r满足l=2r,即扇形圆心角等于2 rad.
3.若角α∈(0,),则sin α<α1.(必修第一册P171练习T3改编)角-860°的终边所在的象限是(　C　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:-860°=-2×360°-140°,-860°和-140°的终边相同,故-860°的终边在第三象限.故选C.
2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　C　)
A.2kπ-45°(k∈Z)
B.k·360°+π(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
解析:与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.故选C.
3.若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在(　D　)
A.第一象限　 　 B.第二象限
C.第三象限　　　 D.第四象限
解析:由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合;由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二或第四象限.故θ的终边只能位于第四象限.故选D.
4.已知角α的终边与单位圆的交点为M(,y),则sin α等于(　B　)
A. B.±
C. D.±
解析:由题意知r2=()2+y2=1,所以y=±.由三角函数的定义知
sin α=y=±.故选B.
5.角-225°=　　　　弧度,这个角在第　　　　象限.
答案:-　二
6.已知半径为120 mm的圆上,有一条弧长是144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为　　　　 rad.
解析:由题意知α== rad=1.2 rad.
答案:1.2
象限角及终边相同的角
1.若角α是第二象限角,则是(　C　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
解析:因为α是第二象限角,
所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,
所以+kπ<<+kπ,k∈Z.
当k为偶数时,是第一象限角;
当k为奇数时,是第三象限角.
综上,是第一或第三象限角.故选C.
2.-2 021°角是第　　　　象限角,与-2 021°角终边相同的最小正角是　　　　,最大负角是　　　　.
解析:因为-2 021°=-6×360°+139°,所以-2 021°角的终边与139°角的终边相同.所以-2 021°角是第二象限角,与-2 021°角终边相同的最小正角是139°.又139°-360°=-221°,故与-2 021°角终边相同的最大负角是-221°.
答案:二　139°　-221°
3.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为　　.
解析:如图,在平面直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:,;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-,-,故满足条件的角α构成的集合为(,-,,).
答案:(-,-,,)
4.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角α的集合用弧度制可表示为　　　　.
解析:在[0,2π)内,终边落在阴影部分角的集合为(,),
所以所求角的集合为
{α}.
答案:{α}
1.象限角的判定有两种方法:
(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
2.由α所在象限判定所在象限,应先确定的范围,并对整数k的奇、偶情况进行讨论.
3.表示区间角的三个步骤:
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间.
(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.
弧长公式与扇形的弧长和面积公式
已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.若α=,R=10 cm,求扇形的面积.
解:由已知得α=,R=10,
所以S扇形=α·R2=··102=(cm2).
[典例迁移1] 若本例条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的
面积.
解:l=α·R=×10=(cm),
S弓形=S扇形-S三角形
=·l·R-·R2·sin
=··10-·102·
=(cm2).
[典例迁移2] 若本例条件改为:“若扇形周长为20 cm”,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
解:由已知得,l+2R=20,
即l=20-2R(0所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2,此时l=10 cm,α=2 rad.
1.应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
三角函数定义
　三角函数定义的应用
已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为(　　)
A.- B. C.- D.
解析:因为r=,
所以cos α==-,
所以m>0,所以=,即m=.故选B.
利用三角函数定义求三角函数值的方法
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.
　三角函数值的符号判定
(2021·山西四校联考)已知sin 2θ<0,且|cos θ|=-cos θ,则点P(tan θ,sin θ)在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由|cos θ|=-cos θ可知cos θ≤0,由sin 2θ=2sin θ
cos θ<0可知cos θ<0,sin θ>0,所以tan θ<0,所以点
P(tan θ,sin θ)在第二象限.故选B.
三角函数在各个象限内的符号与角的终边上的点的坐标密切相关.sin θ在一、二象限为正,cos θ在一、四象限为正,tan θ在一、三象限为正.特别地,三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角,如sin =1>0,cos π=-1<0.
[针对训练]
1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,若A(x,3)是角θ终边上一点且cos θ=-,则x等于(　　)
A.-3 B.3 C.1 D.-1
解析:cos θ=-<0及A(x,3)是角θ终边上一点 x<0,由三角函数的定义,得=-,解得x=-1.故选D.
2.若sin αtan α<0,且<0,则角α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,则α为第二或第三象限角;由<0可知cos α,tan α异号,则α为第三或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.故选C.
若α=k·180°+45°(k∈Z),则α在(　　)
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解析:当k=2n(n∈Z)时,α=2n·180°+45°=n·360°+45°,α为第一象限角.当k=2n+1(n∈Z)时,α=(2n+1)·180°+45°=n·360°+
225°,α为第三象限角.所以α为第一或第三象限角.故选A.
已知扇形的周长是4 cm,则扇形面积最大时,扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.2 B.1
C. D.3
解析:设此扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则2r+l=4,即l=4-2r(0在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P(sin ,cos ),则sin(π+α)等于(　　)
A.- B.-
C. D.
解析:易知sin =,cos =,则P(,).
由三角函数的定义可得sin α==,
则sin(π+α)=-sin α=-.故选B.
如图所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)
解析:因为P0(,-),所以∠P0Ox=-.按逆时针转时间t后,得
∠POx=t-.由三角函数的定义知,点P的纵坐标为2sin(t-),因此d=2|sin(t-)|.
令t=0,则d=2|sin(-)|=,当t=时,d=0.故选C.
已知2弧度的圆心角所对的弦长为1,那么这个圆心角所对的弧长是　　　　.
解析:如图所示,设半径为R,
则=sin 1,所以R=,
弧长l=αR=2R=.
答案:
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
角的概念的推广 1
终边相同角的表示方法 5,8 12 15
弧度制及其应用 3,7 11,13 14
三角函数的定义及应用 2,4,6 9,10
1.给出下列四个命题:
①-是第四象限角;②是第三象限角; ③-410°是第四象限角;④-300°是第一象限角.
其中正确命题的个数为(　C　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:-是第三象限角,故①错误.=π+,从而是第三象限角,②正确.-410°=-360°-50°,从而③正确.-300°=-360°+60°,从而④正确.故选C.
2.已知角α的终边与单位圆的交点为P(-,y),则sin α·tan α等于(　C　)
A.- B.± C.- D.±
解析:由|OP|2=+y2=1,
得y2=,y=±.
当y=时,sin α=,tan α=-,
此时,sin α·tan α=-.
当y=-时,sin α=-,tan α=,
此时,sin α·tan α=-.故选C.
3.已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数为(　C　)
A. B. C. D.2
解析:设圆的半径为r,则该圆内接正方形的边长为r,即这段圆弧长为r,则该圆弧所对的圆心角的弧度数为=.故选C.
4.已知点M在角θ终边的反向延长线上,且|OM|=2,则点M的坐标为(　C　)
A.(2cos θ,2sin θ) B.(-2cos θ,2sin θ)
C.(-2cos θ,-2sin θ) D.(2cos θ,-2sin θ)
解析:由题意知,M的坐标为(2cos(π+θ),
2sin(π+θ)),即(-2cos θ,-2sin θ).故选C.
5.在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围为(　D　)
A.(,)∪(π,) B.(,π)
C.(,π)∪(,) D.(,)
解析:如图所示,找出在(0,2π)内,使sin x=cos x成立的x的值,
sin =cos =,sin =cos =-.满足题中条件的角x∈(,).故选D.
6.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,终边经过点P(-1,m)(m>0),则下列各式的值一定为负的是(　CD　)
A.sin α+cos α B.sin α-cos α
C.sin αcos α D.
解析:由已知得r=|OP|=,则sin α=>0,cos α=
-<0,tan α=-m<0,所以sin α+cos α的符号不确定,sin α-cos α>0,sin αcos α<0,=cos α<0.故选CD.
7.已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的弧长等于　　　　.
解析:设扇形的半径为r,弧长为l,
则解得
答案:
8.若α=1 560°,角θ与角α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=　　　　.
解析:因为α=1 560°=4×360°+120°,
所以与α终边相同的角为360°×k+120°,k∈Z,
令k=-1或k=0,可得θ=-240°或θ=120°.
答案:120°或-240°
9.△ABC为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-
sin C),则++的值为(　B　)
A.1 B.-1 C.3 D.-3
解析:由△ABC为锐角三角形,可知A+B>,即A>-B,又A,B∈(0,),所以sin A>cos B,所以sin A-cos B>0,同理cos A-sin C<0,所以θ为第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,所以+
+=-1+1-1=-1.故选B.
10.顶点在原点,始边在x轴的正半轴上的角α,β的终边与单位圆交于A,B两点,若α=30°,β=60°,则弦AB的长为　　　　.
解析:由三角函数的定义得A(cos 30°,sin 30°),
B(cos 60°,sin 60°),即A(,),B(,).
所以|AB|==
×(-)=.
答案:
11.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4,则这两个扇形的周长之比为　　　　.
解析:设两个扇形的圆心角的弧度数为α,半径分别为r,R(其中r答案:1∶2
12.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=　　　　.
解析:由已知可得,sin β=sin(2kπ+π-α)=
sin(π-α)=sin α=(k∈Z).
答案:
13.分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B,C为圆心,1为半径作圆弧,交于点E,则曲边三角形ABE的周长为　　　　.
解析:如图,连接BE,EC.因为两圆半径都是1,正方形边长也是1,所以△BCE为正三角形,圆心角∠EBC,∠ECB都是,=×1=,∠EBA=
-=,=×1=,所以曲边三角形ABE的周长是1++=1+.
答案:1+
14.已知圆O与直线l′相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l′向右,Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是　　　　.
解析:因为直线l′与圆O相切,所以OA⊥AP,设的长为l,
所以S扇形AOQ=·l·r=·l·OA,
S△AOP=·OA·AP,
因为l=AP,
所以S扇形AOQ=S△AOP,
即S扇形AOQ-S扇形AOB=S△AOP-S扇形AOB,
所以S1=S2.
答案:S1=S2
15.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°), 如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,则α=
　　　　,β=　　　　.
解析:根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=
m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z, 从而可知α=·180°,
β=·180°,m,n∈Z.
又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,则2α,2β在第二象限.
又0°<α<β<180°,从而可得0° <2α<2β<360°,
因此2α,2β均为钝角,即90° <2α<2β<180°.
于是45°<α<90°,45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°,45°<·180°<90° ,即又因为α<β,所以m答案:　

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