资源简介

(共48张PPT)
3.2.1　基本不等式的证明
课标要求
素养要求
通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
基本不等式
点睛
1.思考辨析，判断正误
√
×
2.设0∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大.
B
3.下列不等式中正确的是(　　)
若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；
D
由基本不等式可知D正确.
①③④
课堂互动
题型剖析
2
题型一　利用基本不等式比较大小
【例1】　设0B
思维升华
在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向.
B
≥
解析　(1)∵a，b是不相等的正数，
∵x>0，y>0，∴y>x.
题型二　利用基本不等式证明不等式
证明　∵a，b，c>0，
思维升华
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系.当已知条件中隐含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到.
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
证明　法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1，
题型三　用基本不等式求最值
角度1　求简单代数式的最值
∴所求的最小值为6.
(2)∵m，n>0，且m＋n＝16，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
角度2　利用配凑法求最值
故当x＝1时ymax＝1.
在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
思维升华
解　∵x<0，∴－x>0.
∴a＝36.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
D
故y有最大值为－4.
C
A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为－4 D.最小值为－4
解析　∵x<0，
3.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A.16 B.25 C.9 D.36
解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
B
当且仅当x＝y＝4时“＝”成立，
故(1＋x)(1＋y)的最大值为25.
A
解析　∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab，
A.r>q>p B.q>p>r C.q>r>p D.r＝q>p
BC
5.(多选题)下列求最值正确的是(　　)
解析　A中，没有考虑x<0的情况，错误；
即x＝0时，取等号，正确；
二、填空题
6.已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为______.
解析　因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，
①②
7.设a，b为非零实数，给出下列不等式：
解析　由不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；
当a＝1，b＝－1时，可知④不正确.
16
∵x>－1，∴x＋1>0，
∴原不等式成立.
C
11.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们利用该图证明(　　)
A.如果a>b，b>c，那么a>c
B.如果a>b>0，那么a2>b2
C.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D.如果a>b，c>0那么ac>bc
解析　可将直角三角形的两直角边长取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2).则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.
对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.
ABC
12.(多选题)已知a，b>0，则下列不等式中成立的是(　　 )
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立.
解　4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
当且仅当a－b＝b－c，
即2b＝a＋c时取等号，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
解　充分条件但不是必要条件，理由如下：
当且仅当x＝y时，等号成立.
本节内容结束

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