资源简介

泉州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量监测
数学（B）
本试卷共22题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2. 考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．
1.（ ）
A. －1 B. C. D.
2. 不透明的袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6，现从中随机选取两个球，则两球所标数字之和为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，则a与b夹角的余弦值为（ ）
A. D. C. D.
4. 某工厂有A，B两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周A，B两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则每周至多有一套生产线需要维护的概率为（ ）
A. 0.95 B． 0.6 C． 0.35 D． 0.15
5. 某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．估计样本数据的80%分位数是（ ）
A. 28mm B. 28.5mm C. 29mm D. 29.5mm
6. 已知直线l与平面所成的角为，若直线，则l与m所成角的取值范围是（ ）
A. [0，] B. [，] C. [，] D. [，]
7. 在△ABC中，，则BC等于（ ）
A. B. C. 2 D. 3
8. 已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，若球O的表面积为16π，则三棱锥S－ABC的体积的最大值为（ ）
A. B. 3 C. D. 6
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 统计某商城一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况，并制作折线图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 利润最高的月份是2月份
B. 7月份至9月份的月平均支出为50万元
C. 支出的最高值与支出的最低值的比是3∶1
D. 2月份至3月份的收入的变化量与11月份至12月份的收入的变化量相同
10. 已知平面非零向量a，b，下列结论正确的是（ ）
A. 若存在非零向量c使得，则
B. 已知向量，则a在b方向上的投影向量是（0，1）
C. 已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是
D. 若{a，b}是它们所在平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数
11. 四棱台的底面ABCD是正方形，平面ABCD，，则（ ）
A. 该四棱台的体积为 B. 平面⊥平面
C. 直线与直线为异面直线 D. 直线与直线CD所成角的
12. 已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且．则（ ）
A. B.的最大值为
C. △ABC面积的最大值为 D.的取值范围为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
13. 若，为z的共轭复数，则___．
14. 已知圆锥的高为3，轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的侧面积是___．
15. 在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点．若平面EFG//平面ACH，，则＝___．
16. 在菱形ABCD中，，已知点M在线段EF上，且，则___，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为___．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（10分）2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将其整理后分为5组画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的2倍．
（1）求第一组、第五组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图（用阴影涂黑）；
（2） 现从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第四组得分的平均数，方差，第五组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？
18：（12分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
△ABC三个内角A，B、C的对应边分别为a，b，c，且满足 ．
（1）求角B的大小；
（2）若D为边AC的中点，且，求中线BD长．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．
19.（12分）如图所示，在四棱锥中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，，，，点E在线段PD上，．
（1）求证：CE//平面PAB；
（2）求证：平面PAC⊥平面PCD．
20.（12分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为．乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮之间互不影响．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
21.（12分）在平面四边形ABCD中，，，．
（1）若△ABD为等边三角形，求△ACD的面积．
（2）若，求AC的最大值．
22.（12分）在矩形ABCD中，．点E，F分别在AB，CD上，且，沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE．
（1）若平面⊥平面BCFE，求三棱锥的体积；
（2）在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求tan的最大值．
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数学（B）参考答案及评分细则
评分说明：
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．
1. B 2. C 3. D 4. A 5. C 6. C 7. D 8. A
二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．全部选对的得5分，部分选对
的得2分，有选错的得0分．
9. ABC 10. BD 11. ABD 12. BC
三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
13.5 14. 6π 15. 16. 7；－（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：（1）设第一组的频率为x，则第五组的频率为2x．
依题意，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
【若分开写，用频率乘以组距得第二、三、四组频率得1分，计算出第一组和第五组的频率和得1分】
所以第一组的频率为0.05，则第五组的频率为0.10．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
频率直方图如下：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
【注：学生自行画图，适当降低要求，关键看补出的两个小矩形的高度是否分别为0.01和0.02】
（2）因为第4组和第5组的频数之比为，
所以从第4组抽取4人，第5组抽取2人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
所以这6人得分的平均数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
【有写公式，计算错误，则公式正确得1分】
方差
【若计算出和，则各得1分】
即这6人得分的平均数为7，方差为3.67.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
18. 解：（1） 若选①：可化为．．．．．．．．．．．．．2分
由正弦定理，可得2sinAsinBcosB＝sinBsinA，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
因为，所以，故．．．．．．．．．6分
若选②：由正弦定理，可得．．．．．．．．2分
移项得．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
又因为，所以，故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
若选③：由正弦定理，可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
由余弦定理，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（3）由余弦定理，可得，即．．．．．．．．．．．．7分
因为D为边AC的中点，所以，
在△ABD中，由余弦定理，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
在△BCD中，由余弦定理，可得．．．．．．．．．．10分
因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
即，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19. 解法一：（1）过E作交PA于点F，连接BF，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以四边形BCEF为平行四边形，所以，．．．．．．．．．．5分
又CE平面PAB，BF平面PAB，
所以CE//平面PAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）在梯形ABCD中，，，，，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
所以，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
又，所以CD⊥平面PAC，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
解法二：（1）过E作交AD于点G，连接CG．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
因为EG平面PAB，PA平面PAB，
所以平面PAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为，所以，
又，所以，
又，所以四边形BCGA为平行四边形，所以，．．．．．．．．．．3分
又CG平面PAB，BA平面PAB，
所以CG//平面PAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
又，所以平面ECG//平面PAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
又CE平面ECG，所以CE//平面PAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）同解法一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20. 解：（1） 记，分别为甲、乙第i次投篮投中，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
则“甲获胜”可记为事件．．．．．．．．4分
因为之间相互独立，上述三种分类之间互斥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
所以
．…．．．．7分
（3） “投篮结束时乙只投了2个球”可记为事件． …．．．9分
因为之间相互独立，上述两种分类之间互斥，
所以
．．．．．．．．．．12分
21. 解：（1）在△BCD中，由余弦定理，得．．．．．．．．．．．1分
即，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
所以，因此．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
因为△ABD为等边三角形，
所以，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2） 设，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
在△ABD中，由正弦定理，得．．．．．．．．．．．．．．8分
即，所以．．．．．．．．．．．．．9分
在△ACD中，由余弦定理，得，
即．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以当时，取到最大值，即AC的最大值为．．．．．．．．12分
22. 解法一：（1）在平面内做交EF于H．
∵平面⊥平面BCFE，平面平面，平面，
∴⊥平面BCFE，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
【面面垂直定理不完整扣1分】
∴即点到平面BCFE的距离．
在梯形中，过点E做交于G，则，
∴，．
在Rt△中，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴三棱锥的体积．．．．．．．．．．．．4分
【其它求法对照此标准相应给分】
（2）如图，在平面ABCD内作直线交FE延长线于点O，交CB延长线于点K．
∵，KO⊥EF，，平面，
∴EF⊥平面，又∵EF平面BCFE，
∴平面⊥平面BCFE，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
作交OK于点M．
∵平面⊥平面BCFE，平面平面，，平面，
∴⊥平面BCFE，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴．
作交BC于点N，连接．
∵，∴BC⊥平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴，又∵，∴∠为二面角的平面角．．．．．．．．．．．8分
∵在Rt△AKB中，，
∴
设，
则，．．．．9分
∴………10分
令，则，……11分
当且仅当时，g（u）取到最大值1，综合可知tan的最大值为1.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
解法二：（1）同解法一．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）如图，在平面ABCD内作直线交FE延长线于点O，交CB延长线于点K．
∵，，平面，
∴EF⊥平面，又∵EF平面BCFE，
∴平面⊥平面BCFE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
作交OK于点M．
∵平面⊥平面BCFE，平面平面，平面，
∴平面BCFE，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴．
作交BC于点N，连接．
∵，∴BC⊥平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴，又∵，∴∠为二面角的平面角．．．．．．．．．．．．．．8分
∵，则∠为二面角的平面角．
设
当时，点O与M重合，由，可得；
当时，因为，所以，
所以，故，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
同理当时，，
则，故，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
设，所以，所以，．．．11分
其中为辅助角，，由，解得，
此时，解得，所以当时，tan取到最大值为1，
综合可知tan的最大值为1.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

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