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3.2.2　基本不等式的应用
学习目标　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
导语
相等与不等关系经常会涉及到最大值、最小值问题，而基本不等式可以解决变化中的最值问题，那么在什么条件下可以应用基本不等式来求最值呢？这节课我们就一起来探究一下这个问题．
一、利用基本不等式的变形求最值
问题1　若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？
提示　x＋y＝8，由2≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大．
问题2　若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？
提示　xy＝16，由x＋y≥2得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小．
知识梳理
用基本不等式求最值
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2
注意点：
(1)口诀：和定积最大，积定和最小．
(2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等．
角度1　积 和 为定值求最值
例1　(1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)
A．25 B.
C. D.
(2)若0(3)设实数x满足x>－1，则函数y＝x＋的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　(1)D　(2)　(3)A
解析　(1)a>0，b>0，a＋2b＝5，
则ab＝a·2b≤×2＝，
当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立．
故ab的最大值为.
(2)∵00，
∴y＝2x·(1－3x)＝×3x·(1－3x)
≤×2＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴所求最大值是.
(3)∵x>－1，∴x＋1>0，
∴函数y＝x＋＝(x＋1)＋－1
≥2－1＝4－1＝3，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时取等号．
因此函数y＝x＋的最小值为3.
角度2　常数代换法
例2　已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
解　因为x>0，y>0，＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)·
＝8＋＋＋2＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝12，y＝3时等号成立，
所以x＋2y的最小值为18.
延伸探究
1．若把本例的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
解　因为x>0，y>0，
所以＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为18.
2．若把本例的条件“＋＝1”改为“x＋8y＝xy”，其他条件不变，求x＋2y的最小值．
解　因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy，
可得＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
所以x＋2y的最小值为18.
反思感悟　常数代换(“1”的代换)法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
跟踪训练1　(1)若x<0，求＋3x的最大值．
解　因为x<0，
所以＋3x＝－
≤－2＝－12，
当且仅当－＝－3x，即x＝－2时，等号成立，
所以＋3x的最大值为－12.
(2)已知x，y均为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解　x＋y＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当＝且＋＝1，即x＝4，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值为16.
二、基本不等式的实际应用
例3　2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成．长征三号乙运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；
(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
解　(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1，
生产m千克该产品需要的时间是，
所以y＝(kx2＋9)＝m，1≤x≤10.
(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为
y＝1 000≥1 000×2＝6 000(千克)，
当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，
故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6 000千克．
反思感悟　利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
跟踪训练2　某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
解　设矩形温室的一边长为x m，与其对应的种植蔬菜的区域的一边长为(x－4) m，
则矩形温室的另一边长为 m，
与其对应的种植蔬菜的区域的另一边长为m.
由得4所以其面积S＝(x－4)·
＝808－
≤808－2＝808－160＝648(m2)．
当且仅当2x＝，即x＝40时，等号成立．
因此当矩形温室的两边长分别为40 m,20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
1．知识清单：
(1)积(和)为定值求最值．
(2)“1”的代换求最值．
(3)基本不等式的实际应用．
2．方法归纳：配凑法、常数代换法．
3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．
1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　)
A．400 B．100 C．40 D．20
答案　A
解析　∵≤(x>0，y>0)，
∴xy≤2＝2＝400.
当且仅当x＝y＝20时，等号成立．
∴xy的最大值是400.
2．已知0A. B. C. D.
答案　B
解析　∵00，
∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3·2
＝，
当且仅当x＝时取等号．
∴x(3－3x)取最大值时，x的值为.
3．若a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　因为a＋b＝1，所以
＋＝(a＋b)
＝＋＋2.
因为a>0，b>0，所以>0，>0.
所以＋≥2＝2，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．
所以＋＝＋＋2≥2＋2＝4，
即＋的最小值为4.
4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
答案　5　8
解析　每台机器运转x年的年平均利润为
＝18－，且x>0，
故≤18－2＝8，
当且仅当x＝5时，等号成立，
所以，当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．
1．已知a>0，b>0且2a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　ab＝·2a·b≤2＝，
当且仅当2a＝b，即b＝1，a＝时等号成立，
∴ab的最大值为.
2．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．7
答案　B
解析　(x＋y)＝5＋＋
≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当y＝2x时等号成立，故最小值为9.
3．已知实数a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A．9 B. C．5 D．4
答案　B
解析　∵实数a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝2，
∴＋＝(a＋b)＝
≥＝，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时取等号，
∴＋的最小值为.
4．若对于任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0，＋∞) D．(5，＋∞)
答案　B
解析　因为x>0，所以＝，
因为x>0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则≤＝，
即的最大值为，故a≥.
5．(多选)已知x>0，y>0，x＋y＝p，xy＝s，则下列命题正确的是(　　)
A．如果s是定值，那么当且仅当x＝y时p的值最大
B．如果s是定值，那么当且仅当x＝y时p的值最小
C．如果p是定值，那么当且仅当x＝y时s的值最大
D．如果p是定值，那么当且仅当x＝y时s的值最小
答案　BC
6．(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是(　　)
A．车辆运营年数越多，收入越高
B．车辆在第6年时，总收入最高
C．车辆在前5年的平均收入最高
D．车辆每年都能盈利
答案　BC
解析　由题意，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误．
7．已知a>0，b>0，＋＝4，则a＋4b的最小值为________．
答案　
解析　因为a>0，b>0，＋＝4，
所以a＋4b＝(a＋4b)
＝≥
＝，
当且仅当
即时等号成立，
所以a＋4b的最小值为.
8．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
答案　160
解析　设底面矩形的一边长为x m，
由容器的容积为4 m3，高为1 m，得另一边长为 m.
记容器的总造价为y元，则
y＝4×20＋2×1×10＝80＋20
≥80＋20×2＝160，
当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．
因此当x＝2时，y取得最小值160，
即容器的最低总造价为160元．
9．已知正数x，y满足x＋y＝1.
(1)求xy的最大值；
(2)求＋的最小值．
解　(1)∵x>0，y>0，
x＋y≥2，
又x＋y＝1，∴xy≤.
当且仅当x＝y＝时等号成立，∴xy的最大值是.
(2)∵＋＝(x＋y)
＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝时，等号成立，
∴
解得x＝－1，y＝2－，
∴当x＝－1，y＝2－时，＋的最小值是3＋2.
10．某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k，轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元，假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．
(1)求k的值；
(2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费＋航行运作费用)的最小值．
解　(1)由题意，设燃料费为W1＝kv2，
∵当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元，
∴当v＝10时，W1＝96，可得96＝k×102，
解得k＝0.96.
(2)∵其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元，
∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为×150＝ 元．
因此，航行100海里的总费用为
W＝0.96v2·＋＝96v＋(0＜v≤15)．
∵96v＋≥2＝2 400，
∴当且仅当96v＝时，
即v＝ ＝12.5<15时，
航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2 400元．
11．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)
A．－ B. C. D．－4
答案　A
解析　因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋＝×(a＋b)
＝＋
≥＋2＝，
当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，
因此有－－≤－，
即－－的上确界为－.
12．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有(　　)
A．(1,4) B．(6,8)
C．(7,12) D.
答案　AC
解析　设矩形的长和宽分别为x，y，
则x＋y＝l，S＝xy.
由xy≤2知，S≤，故AC成立．
13．若0A．1 B. C. D.
答案　C
解析　因为00，
所以x＝×2x
＝
≤＝，
当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，
因此，x的最大值为.
14．设a，b∈R，a2＋b2＝k(k为常数)，且＋的最小值为1，则k的值为(　　)
A．1 B．4 C．7 D．9
答案　C
解析　由题意得a2＋1＋b2＋1＝k＋2，
∴＋＝
＝·
＝
≥×(5＋4)＝＝1，
当且仅当＝时，等号成立．
∴k＝7.
15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，若不等式a≤x＋y恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，12] B．(－∞，14]
C．(－∞，16] D．(－∞，18]
答案　D
解析　由2x＋8y－xy＝0，得＋－1＝0，
即＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝8＋＋＋2
＝10＋＋，
∵x>0，y>0，
∴>0，>0，
∴＋≥2＝8(当且仅当＝，即x＝12，y＝6时取等号)，
∴x＋y≥10＋8＝18(当且仅当x＝12，y＝6时取等号)，
∴a≤18.
16．时隔35年，三星堆的发掘再次震惊世人，三千多年前的“中国制造”持续登上热搜．新发现6座三星堆文化“祭祀坑”，已出土众多重要文物，某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体．该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2 000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18 000元．(长方体保护罩最大容积为10立方米)
(1)求该博物馆需支付保护这件文物的总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式；
(2)求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积．
解　(1)设保险费用为y1＝，代入x＝4，y1＝18 000，解得t＝72 000，则总费用
y＝2 000(x－0.5)＋(0.5即y＝2 000x＋－1 000(0.5(2)由基本不等式可得
y＝2 000x＋－1 000
≥2－1 000
＝24 000－1 000＝23 000，
当且仅当2 000x＝ x＝6时等号成立，且x＝6在定义域范围内．
故当长方体保护罩容积为6立方米时，总费用最小，最小值为23 000元．

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