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3.2.1　基本不等式的证明
学习目标　1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式.3.会利用基本不等式求简单的函数的最值．
导语
国际数学家大会是世界上数学家的盛会，如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中证明勾股定理时采用了该图形，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的大小关系吗？带着这个问题我们继续研究不等式的相关知识．
一、基本不等式的推导与证明
问题1　我们可以将(a－b)2≥0变形，有不等式a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式．现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？
提示　用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤.
问题2　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明．
提示　方法一　(作差法)
－＝
＝
＝≥0，即≥，
当且仅当a＝b时，等号成立．
方法二　(性质法)
要证≤，
只需证2≤a＋b，
只需证2－a－b≤0，
只需证－(－)2≤0，
显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立．
方法三　对于正数a，b，有
(－)2≥0 a＋b－2≥0
a＋b≥2 ≥.
当且仅当a＝b时，等号成立．
方法四　(利用几何意义证明)
如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤，由此也可以得出圆的半径不小于半弦．
知识梳理
基本不等式：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式．
对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
注意点：
(1)均值不等式常见的变形：①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；②当a＞0，b＞0，则ab≤2.
(2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等．
例1　(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
(2)不等式a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　)
A．a＝0 B．a＝
C．a＝1 D．a＝2
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)对于A项，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，所以A项错；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)因为a>0，根据基本不等式≤，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋1≥2中当且仅当a＝1时等号成立．
反思感悟　在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”．
一正：a，b均为正数；
二定：不等式一边为定值；
三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解．
跟踪训练1　下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x>1，则x＋≥2＝2；
②若x<0，则x＋＝－
≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
答案　②
解析　①中忽视了基本不等式等号成立的条件，
当x＝，即x＝1时，等号成立，
因为x>1，所以x＋>2；
③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．
二、用基本不等式证明不等式
例2　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得
≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
延伸探究　例2的条件不变，求证：＋＋≥9.
证明　＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
反思感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
跟踪训练2　已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
证明　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
因为a，b，c为正数，
所以＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
所以＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
三、用基本不等式求最值
例3　(1)若x>0，求＋4x的最小值；
(2)若x<1，求＋x的最大值．
解　(1)∵x>0，
∴＋4x≥2＝12，
当且仅当＝4x，即x＝时等号成立，
∴＋4x的最小值为12.
(2)∵x<1，∴1－x>0，
∴＋x＝＋x－1＋1
＝－＋1
≤－2＋1＝－1，
当且仅当＝1－x，即x＝0时等号成立，
∴＋x的最大值为－1.
反思感悟　拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．
跟踪训练3　(1)当x>1时，求2x＋的最小值；
(2)求函数f(x)＝的最小值．
解　(1)2x＋＝2＋2，
∵x>1，∴x－1>0，
∴2x＋≥2×2＋2＝10，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立．
(2)∵x≥，∴x－2>0，
则＝＝(x－2)＋≥2，
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．
1．知识清单：
(1)基本不等式：≤(a≥0，b≥0)．
(2)推论：当a，b∈R时，①ab≤；
②ab≤2.
(3)利用基本不等式求最值．
2．方法归纳：通过凑项、拆项凑成基本不等式的形式．
3．常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误．
1．下列等式中最小值为4的是(　　)
A．y＝x＋ B．y＝2t＋
C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋
答案　C
解析　A中x＝－1时，y＝－5<4；
B中t＝－1时，y＝－3<4；
C中y＝4t＋≥2＝4，
当且仅当t＝时，等号成立；
D中t＝－1时，y＝－2<4.
2．已知a>0，b>0，a＋b＝4，则下列各式中正确的是(　　)
A.＋≤ B.＋>1
C.≤2 D.≥1
答案　C
解析　当a＝b＝2时，＋＝1，
所以A，B选项错误；
同时＝<1，所以D选项错误；
对于C选项，由基本不等式得≤＝＝2，
当且仅当a＝b＝2时等号成立．
所以C选项正确．
3．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是______．
答案　4
解析　因为a>0，
所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，
当且仅当a＝1时等号成立．故所求最小值为0.
4．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2
答案　D
解析　∵x>0，∴3x＋≥2＝2，
当且仅当x＝时，等号成立，
∴－≤－2，
则3－3x－≤3－2.
1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
答案　ACD
解析　根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0.
2．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
答案　A
解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，
∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
3．已知x>－2，则x＋的最小值为(　　)
A．－ B．－1 C．2 D．0
答案　D
解析　∵x>－2，∴x＋2>0，
∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝－1时，等号成立．故所求最小值为0.
4．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
答案　A
解析　因为a>2，所以a－2>0.
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，
所以m≥2＋2＝4，
由b≠0得b2≠0，
所以4－b2<4，即n<4，所以m>n.
5．(多选)设y＝x＋－2，则(　　)
A．当x>0时，y有最小值0
B．当x>0时，y有最大值0
C．当x<0时，y有最大值－4
D．当x<0时，y有最小值－4
答案　AC
解析　当x>0时，
y＝x＋－2≥2－2＝2－2＝0，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，
故A正确，B错误；
当x<0时，y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立，故C正确，D错误．
6．若0A．a>>>b
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
答案　C
解析　∵0a＋b，
∴b>>.
又∵b>a>0，∴ab>a2，
∴>a.故b>>>a.
7．函数y＝4x＋(x>－1)的最小值是________．
答案　4
解析　由题意可知，x>－1，则x＋1>0，
所以函数y＝4x＋＝4(x＋1)＋－4
≥2－4＝4，
当且仅当4(x＋1)＝时，
即x＝0时取等号，
所以函数y＝4x＋(x>－1)的最小值是4.
8．已知x<0，则x＋的最大值是________．
答案　－3
解析　已知x<0，则
x＋＝－≤－2＝－3，
当且仅当－x＝即x＝－时，等号成立．
所以x＋(x<0)的最大值是－3.
9．设a，b为正实数，求证：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3.
证明　因为a，b为正实数，
所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，
a3＋b3≥2＝2ab，
当且仅当a＝b时取等号，
所以(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥2×2ab×2ab＝8a3b3，
即(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3，当且仅当a＝b时取等号．
10．设x>－1，求的最小值．
解　因为x>－1，
所以x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有：
＝
＝＝t＋＋5
≥2＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.所以当x＝1时，取得最小值9.
11．式子的最小值为(　　)
A．3 B．4 C．6 D．8
答案　B
解析　＝|x|＋≥2＝4，当且仅当|x|＝，即x＝±2时，等号成立，故最小值为4.
12．下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．x2＋≥2 D.≥
答案　C
解析　若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；
若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；
由基本不等式可知C项正确；
若a＝4，b＝16，则<，故D错误．
13．(多选)下面四个推导过程正确的有(　　)
A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，则≤ab
答案　AC
解析　A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；
B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的；
C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；
D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以D不正确．
14．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝________.
答案　36
解析　4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，所以＝3，即a＝36.
15. 《几何原本》第二卷中的几何代数法(几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB. 设AC＝a，BC＝b(a>0，b>0)，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥ B．a2＋b2≥ 2ab
C.≤ D.≤
答案　D
解析　由题图知，OF＝AB＝，OC＝，
在Rt△OCF中，
CF＝＝，
因为CF≥OF，
所以≤(a>0，b>0)．
16．已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
证明　∵＋≥2，
∴≤，即≤.
又∵2＝
≤＝，
∴≤.
又由基本不等式得≥，
故≤≤≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．

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