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3.3.1　从函数观点看一元二次方程
学习目标　1.正确理解二次函数零点的概念.2.理解一元二次方程与二次函数的关系.3.掌握图象法解一元二次方程．
导语
同学们，我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法，比如：大约在公元50～100年间编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法，11世纪的时候，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法，13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法，今天，让我们站在这些数学巨人的肩上，来探究方程的解与函数零点的关系吧．
一、二次函数的零点
问题1　观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
利用函数图象探究方程的根与函数图象和x轴的交点之间的关系．
提示　方程x2－2x－3＝0的根为－1,3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1,0)，(3,0)；
x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1,0)；
x2－2x＋3＝0没有实根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点．
问题2　问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？
提示　不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴交点的横坐标．
知识梳理
(1)一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．
(2)一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 x1,2＝ x1＝x2＝－ 无根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 x1,2＝ x＝－ 无零点
注意点：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标．
例1　求下列函数的零点：
(1)y＝3x2－x－4；
(2)y＝－4x2＋4x－1.
解　(1)令3x2－x－4＝0，
解得x1＝－1或x2＝，
所以函数y＝3x2－x－4的零点为－1，.
(2)令－4x2＋4x－1＝0，解得x1＝x2＝，
所以函数y＝－4x2＋4x－1的零点为.
反思感悟　求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根．
跟踪训练1　若x1，x2是函数y＝2x2－4x＋1的两个零点，则＋的值为(　　)
A．6 B．4 C．3 D.
答案　A
解析　由题意可得，x1＋x2＝2，x1x2＝，
所以＋＝＝＝6.
二、由二次函数的零点求参数的值
例2　若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则2a＋b的值为________．
答案　－4
解析　据题意，2＋3＝－a,2×3＝b，
解得
∴2a＋b＝－4.
延伸探究　函数y＝x2＋mx＋4m2－3的两个零点分别为x1，x2且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值为________．
答案　
解析　根据题意，二次方程x2＋mx＋4m2－3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
则有Δ＝m2－4(4m2－3)≥0，
可得m2≤，则x1＋x2＝－m，x1x2＝4m2－3，
若x1＋x2＝x1x2，则－m＝4m2－3，
解得m＝－1或，又m2≤，则m＝.
反思感悟　由函数的零点求参数的值主要是转化为方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确地运用判别式及根与系数的关系．
跟踪训练2　若二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)，B(β，0)，与y轴的交点为C.
(1)若α2＋β2＝51，求p的值；
(2)若△ABC的面积为105，求p的值．
解　(1)由题意，令x2＋(p－2)x－21＝0，
Δ＝(p－2)2＋84>0，所以方程有两个不同的实根，易知α，β为方程x2＋(p－2)x－21＝0的两个实根，
则
∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝51，
∴(2－p)2＋42＝51，
解得p＝－1或p＝5.
即p的值为－1或5.
(2)C(0，－21)，S△ABC＝|α－β|×21＝105，
∴|α－β|＝10，
∴(α＋β)2－4αβ＝100，
∴(2－p)2＋84＝100，解得p1＝－2，p2＝6.
即p的值为－2或6.
三、由二次函数的零点求参数的范围
例3　函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，则实数m的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，5)
C. D.
答案　C
解析　设函数的两个零点分别为x1，x2，
函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，
即方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，
则x1－2>0，x2－2>0，
∴
即
解得－≤m＜－5，
∴实数m的取值范围是.
反思感悟　二次函数的零点分布问题， 一般要结合二次函数图象以及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或者结合二次函数图象，得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数) ，列出不等式组进行求解．
跟踪训练3　已知方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1]
答案　C
解析　当a>0时，
由Δ＝4－4a≥0得0此时x1＋x2＝－<0，x1x2＝>0，
所以方程有两负数根，所以符合题意；
当a＝0时，方程的根为x＝－，符合题意；
当a<0时，Δ＝4－4a>0，
此时x1＋x2＝－>0，
x1x2＝<0，
所以方程有一个正数根和一个负数根，符合题意．所以a的取值范围是(－∞，1]．
1．知识清单：
(1)二次函数的零点．
(2)由二次函数的零点求参数的值．
(3)由二次函数的零点求参数的范围．
2．方法归纳：参数分离的方法、转化思想．
3．常见误区：二次函数的零点是一个实数，误认为是点的坐标导致出错．
1．函数y＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1 B．－，1
C.，－1 D.，1
答案　D
解析　解方程2x2－3x＋1＝0，
得x＝或x＝1，
故函数y＝2x2－3x＋1的零点是和1.
2．若函数y＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
答案　B
解析　∵函数y＝x2＋2x＋a没有零点，
∴二次方程x2＋2x＋a＝0无解，
∴Δ＝4－4a<0，解得a>1.
3．二次函数y＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．不确定
答案　C
解析　因为Δ＝b2－4×2×(－3)＝b2＋24>0，所以二次函数y＝2x2＋bx－3，b∈R的零点个数为2.
4．已知函数y＝x2－ax－3a的一个零点是－2，则它的另一个零点是________．
答案　6
解析　由题意知，4＋2a－3a＝0，解得a＝4，
故方程为x2－4x－12＝0，解出另一个根为6.
1．函数y＝x2－8x＋16的零点是(　　)
A．(0,4) B．(4,0)
C．4 D．8
答案　C
解析　函数y＝x2－8x＋16，
令x2－8x＋16＝0得x1＝x2＝4，
所以函数y＝x2－8x＋16的零点是4.
2．函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案　B
解析　设方程ax2＋2ax＋c(a≠0)＝0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝－＝－2，所以方程的另一个根为1.
3．若函数y＝x2－4x＋2m没有零点，则m的取值范围为(　　)
A．m<4 B．m>2
C．m>6 D．m<8
答案　B
解析　由题意知，Δ＝16－8m<0，解得m>2.
4．已知方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0有两个正根，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－2 B．m≤－4
C．m>－5 D．－5＜m≤－4
答案　D
解析　若方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0有两个正根x1，x2，
由根与系数的关系可得，
x1＋x2＝－(m＋2)>0，
x1·x2＝m＋5>0，
解得－5又由Δ≥0得(m＋2)2－4(m＋5)≥0，
解得m≤－4或m≥4，故－55．(多选)若函数y1＝ax＋b只有一个零点2，那么函数y2＝bx2－ax的零点是(　　)
A．－ B．0
C. D．1
答案　AB
解析　由题意知2a＋b＝0，
∴b＝－2a，a≠0，
∴y2＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
使y2＝0，则x＝－或x＝0.
6．(多选)关于函数y＝mx2－4x－m＋5的零点，以下说法正确的是(　　)
A．当m＝0时，该函数只有一个零点
B．当m＝1时，该函数只有一个零点
C．当m＝－1时，该函数没有零点
D．当m＝2时，该函数有两个零点
答案　AB
解析　当m＝0时，函数y＝－4x＋5，
令－4x＋5＝0，解得x＝，
此时方程只有一个实数根，即函数只有一个零点，A正确；
当m＝1时，函数y＝x2－4x＋4，
令x2－4x＋4＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，
所以方程有两个相等的实数根，即函数只有一个零点，B正确；
当m＝－1时，函数y＝－x2－4x＋6，
令－x2－4x＋6＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×(－1)×6>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即函数有两个零点，C错误；
当m＝2时，函数y＝2x2－4x＋3，
令2x2－4x＋3＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×2×3<0，
所以方程无实数根，即函数无零点，D错误．
7．函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝________.
答案　
解析　因为函数y＝2x2－3x－7，
所以根据根与系数的关系可知，两个零点a，b满足a＋b＝，ab＝－，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
＝2－2×＝.
8．函数y＝x2－5x－6在区间[1,4]上的零点个数为________．
答案　0
解析　由x2－5x－6＝0得x1＝－1，x2＝6.
即函数的零点是－1,6，∴函数在[1,4]上的零点个数为0.
9．已知函数y＝x2－x－2.求：
(1)y＝x2－x－2的零点；
(2)y<0时x的取值范围．
解　(1)函数y＝x2－x－2的零点即是方程x2－x－2＝0的根，解方程得方程的根为－1和2，故得函数y＝x2－x－2的零点为－1,2.
(2)由图得y<0即是函数y＝x2－x－2的图象在x轴下方，y<0时x的取值范围即在两根之间，故x的取值范围是(－1,2)．
10．已知二次函数y＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)在区间(－1，1)内存在零点，求a的取值范围．
解　二次函数y＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)
＝(3x＋a＋2)(x－a)，
令y＝0，解得x1＝－(a＋2)，x2＝a，
由于在区间(－1,1)内存在零点，
故当x1在(－1,1)内时，－1<－(a＋2)<1，
解得－5∴a的取值范围是(－5,1)．
11．若函数y＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则y＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和－
答案　B
解析　函数y＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，b＝2×3＝6.
∴y＝bx2－ax－1＝6x2－5x－1
＝(6x＋1)(x－1)，令y＝0，
得x＝－和1.
12．函数y＝ax2－2x＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，－1)
B.
C.
D．(－∞，－3)∪
答案　B
解析　利用排除法：当a＝1时，y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，此时函数只有一个零点1，不符合题意，排除D选项，当a＝－2时，y＝－2x2－2x＋1，此时函数有两个零点，不符合题意，排除AC选项，故选B.
13．若x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的零点，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(　　)
A．－1或2 B．1或－2
C．－2 D．1
答案　D
解析　因为x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的零点，则x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，
所以x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－m－1，
Δ＝4m2－4(m2－m－1)≥0，即m≥－1.
因为x1＋x2＝1－x1x2，
所以2m＝2－m2＋m，解得m＝1或－2，
又m≥－1，所以m＝1.
14．函数y＝(1－k)x2－2x－1有两个零点，则实数k的取值范围是________．
答案　k<2且k≠1
解析　函数y＝(1－k)x2－2x－1有两个零点，即一元二次方程(1－k)x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则解得k<2且k≠1.
15．已知y＝(x－a)(x－b)－2(aA．a<αC．α答案　C
解析　设y1＝(x－a)(x－b)，则a，b是y1＝(x－a)(x－b)的两个零点；函数y＝(x－a)(x－b)－2的图象可以看成y1＝(x－a)(x－b)的图象向下平移2个单位得到，且a∴α16．已知函数y＝x2＋ax＋1.若不等式y≥0对一切x∈(0,1]恒成立．
(1)求实数a的最小值；
(2)若函数y＝x2＋ax＋1的一个零点比1大，另一个零点比1小，求实数a的取值范围．
解　(1)函数y＝x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，
即－a≤x＋对一切x∈(0,1]恒成立，
设t＝x＋，x∈(0,1]，
则t＝x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，
所以－a≤2，即a≥－2，所以a的最小值为－2.
(2)若函数y＝x2＋ax＋1的一个零点比1大，另一个零点比1小，由二次函数的图象可知，
当x＝1时，y＝2＋a<0，即a<－2.

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