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培优课　基本不等式的综合问题
基本不等式≤(a，b≥0)在求最值中的应用广泛，方法灵活多变，常见考查情形有常数代换法求最值、消元法求最值、换元法求最值等．
一、常数代换法求最值
例1　已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　)
A. B. C．2 D．3
答案　B
解析　由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，
即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，
∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]
＝≥(5＋4)＝，
当且仅当x＝，y＝时，等号成立．
∴所求最小值为.
反思感悟　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
跟踪训练1　已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求t＝＋的最小值．
解　因为a>0，b>0，a＋2b＝1，
所以t＝＋＝(a＋2b)
＝＋＝1＋＋＋2
≥3＋2＝3＋2.
当且仅当即时等号成立，故t的最小值为3＋2.
二、消元法求最值
例2　已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值．
解　由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，因为x>0，y>0，所以0所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立．
所以x＋2y的最小值为4.
延伸探究　已知x>0，y>0，满足xy＝x＋y＋3，求xy的最小值．
解　由题意可知y＝，
所以xy＝x·＝＝＝x－1＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
所以xy的最小值为9.
反思感悟　含有多个变量的条件最值问题的解决方法
对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．
跟踪训练2　已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________．
答案　5＋2
解析　由2a＋b＝ab－1，得a＝，
因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2，
所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，
当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立．
所以a＋2b的最小值为5＋2.
三、换元法求最值
例3　已知x，y为正实数，且x＋2y＝4，则＋的最小值为________．
答案　2
解析　令x＋2＝a,2y＋2＝b，则a＋b＝8，
原式转化为＋
＝a＋b＋＋－8＝＋
＝(a＋b)
＝1＋≥2，当且仅当a＝b＝4时取等号，此时x＝2，y＝1.故所求最小值为2.
反思感悟　换元法求最值的思路
观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元，将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决．
跟踪训练3　已知a>0，b>0且a＋b＝3.式子＋的最小值是________．
答案　2
解析　令a＋2 020＝x，b＋2 021＝y，
则x>2 020，y>2 021且x＋y＝4 044，
∴(x＋y)＝1，
∴＋＝2 022
＝2 022·(x＋y)
＝1＋≥1＋×2＝2，
当且仅当＝，即x＝y＝2 022，a＝2，b＝1时等号成立．∴所求最小值为2.
1．知识清单：
(1)常数代换法求最值．
(2)消元法求最值．
(3)换元法求最值．
2．方法归纳：常数代换法、消元法、换元法．
3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误．
1．y＝(x＞1)的最小值为(　　)
A．8 B．2
C．6 D．12
答案　A
解析　令t＝x－1＞0，∴x＝t＋1，
∴y＝＝
＝t＋＋2≥2＋2＝8，
当且仅当t＝，即t＝3，x＝4时，等号成立，
∴ymin＝8.
2．已知x>0，y>0，＋＝1，则使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范围是(　　)
A．m≥18 B．m≤18
C．m≥16 D．m≤16
答案　D
解析　因为x>0，y>0，＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9
≥10＋2＝16，当且仅当＝，
即x＝4，y＝12时，等号成立，
又不等式x＋y≥m恒成立，所以只需m≤16.
3．若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是(　　)
A．4 B．2
C．2 D．4
答案　A
解析　因为x2＋xy－2＝0，
所以y＝＝－x，
所以3x＋y＝3x＋－x＝2x＋≥4，
当且仅当x＝1时等号成立．
所以3x＋y的最小值是4.
4．已知x，y为正实数，且x＋y＝2，则＋的最小值为________．
答案　1＋
解析　∵x，y是正实数，且x＋y＝2，
∴＋＝＋
＝＋＋＋＋
＝1＋＋≥1＋，
当且仅当x＝3－，y＝－1时，等号成立．
∴＋的最小值为1＋.
1．若x>4，则y＝(　　)
A．有最大值10 B．有最小值10
C．有最大值6 D．有最小值6
答案　B
解析　因为x>4，
所以y＝＝＝(x－4)＋＋4≥2＋4＝10，
当且仅当x－4＝，即x＝7时，等号成立．
即y＝有最小值10，y＝(x－4)＋＋4在x>4上无最大值．
2．(多选)已知a>0，b>0，a＋b＝1，对于代数式，下列说法正确的是(　　)
A．最小值为9
B．最大值是9
C．当a＝b＝时取得最小值
D．当a＝b＝时取得最大值
答案　AC
解析　原式＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，
因为ab≤2＝，
所以≥4.
所以原式＝1＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
所以当a＝b＝时取得最小值9.
3．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
答案　C
解析　由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，
∴9m≤54，即m≤6.
4．已知a>b>c，则与的大小关系是(　　)
A.>
B.≥
C.≤
D．不确定
答案　C
解析　因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
所以＝
≥，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
5．若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　∵正数x，y满足x＋4y－xy＝0，
∴y＝>0，解得x>4，
∴＝＝
＝
≤＝，
当且仅当x－4＝，即x＝6时等号成立，
∴的最大值为.
6．(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C.> D.≥2
答案　ABD
解析　a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a＋b≥2，a>0，b>0，
∴≤1，≤，
当且仅当a＝b时，等号成立，C不成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，
当且仅当a＝b时，等号成立，D成立．
7．若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值是________．
答案　
解析　因为a，b都是正数，且a＋b＝1，
所以(a＋1)(b＋1)≤2＝，
当且仅当a＋1＝b＋1，
即a＝b＝时，等号成立．
所以(a＋1)(b＋1)的最大值是.
8．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
答案　－2
解析　y＝t＋－4≥2－4＝－2.
当且仅当t＝1时，等号成立．
故y的最小值为－2.
9．已知正数x，y满足x＋2y＝2.求＋的最小值．
解　由于x＋2y＝2，
所以＋＝(x＋2y)
＝
≥＝ ，
当且仅当＝ ，即x＝y＝时等号成立，
所以＋ 的最小值为.
10．已知a>0，b>0，a＋3b＝1.若m>a2＋9b2＋7ab恒成立，求实数m的取值范围．
解　∵a>0，b>0，a＋3b＝1，
∴a2＋9b2＋7ab＝(a＋3b)2＋ab
＝1＋·a·3b，
∵a·3b≤＝，
当且仅当a＝3b，即a＝，b＝时，等号成立，
∴a2＋9b2＋7ab≤1＋×＝，
∴m>.
11．已知x，y为正实数，则＋的最大值为(　　)
A．4 B．2
C. D.
答案　C
解析　设4x＋y＝a，x＋y＝b，
则a>0，b>0，x＝，y＝.
于是＋
＝－
≤－＝，
当a＝2b，即2x＝y时等号成立．
故所求的最大值是.
12．已知x>0，y>0，且x＋y＝2，若4x＋1－mxy≥0恒成立，则m的最大值为(　　)
A．6 B．4 C．8 D．2
答案　B
解析　要使4x＋1－mxy≥0恒成立，只需m≤恒成立．
因为x＋y＝2，
所以＝
＝＝.
则＋＝(x＋y)
＝，x>0，y>0，
又＋≥2＝6，
当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
所以＋＝≥8，
所以≥4，
即≥4，则m≤4，故m的最大值是4.
13．设0A．9 B.
C．5 D．2
答案　B
解析　∵00，
由基本不等式可得
＋＝[(1－x)＋x]·
＝＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当＝，
即x＝时，等号成立．
14．若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
答案　8
解析　∵实数x，y满足xy＋3x＝3，
∴x＝，∴0<<，解得y>3.
则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6
≥2＋6＝8，
当且仅当y＝4，x＝时，等号成立．
∴＋的最小值为8.
15．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是(　　)
A．大于10 g B．大于等于10 g
C．小于10 g D．小于等于10 g
答案　A
解析　由于天平两臂不等长，
可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，
再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，
则bx＝5a，ay＝5b，
∴x＝，y＝，
∴x＋y＝＋＝5≥5×2＝10，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10，
因此，顾客购得的黄金大于10 g.
16．若正实数a，b，c满足a2－3ab＋4b2－c＝0，则当取得最大值时，求＋－的最大值．
解　由条件可得c＝a2－3ab＋4b2，
则＝＝，
由－3＋4×＝4×＋－3
≥2－3＝1，
当且仅当4×＝，即a＝2b时，有最大值，此时c＝2b2，
所以＋－＝－＝－2＋1，
当b＝1时，＋－有最大值1.
所以＋－的最大值为1.

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