资源简介

学习目标　1.了解等式的基本性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.3.初步学会用作差法(作商法)比较两实数的大小．
导语
大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系．比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫情传播速度的快与慢的比较．正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．
一、作差法比较大小
问题1　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
知识梳理
基本事实
依据 a>b a－b>0 a＝b a－b＝0 a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
注意点：
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式．
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小．
(3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小．
例1　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
延伸探究
1．若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小．
解　(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．
∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
解　若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*，
则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
反思感悟　作差法比较两个实数a，b大小的基本步骤：
跟踪训练1　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝2＋.
∵2≥0，
∴2＋≥>0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
二、不等式的性质
问题2　你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？
(1)如果a＝b，那么b＝a；
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
提示　(1)如果a>b，那么b(2)如果a>b，b>c，那么a>c；
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c；
(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，则ac知识梳理
不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0， c>d>0 ac>bd 同向
注意点：
(1)可加性是不等式中移项的根据．
(2)应用同向可加性时，应注意“同向”．
(3)同向同正可乘性应注意数的正负．
例2　(1)对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则>
C．若a
D．若a>b，>，则a>0，b<0
答案　D
解析　方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a>b>0，有ab>0 > >，故B为假命题；
>，故C为假命题；
ab<0.
∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题．
方法二　特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错；
取a＝2，b＝1，则＝，＝1.
有<，故B错；
取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，
有<，故C错．
(2)已知－1①求x－y的取值范围；
②求3x＋2y的取值范围．
解　①因为－1所以－3<－y<－2，所以－4②由－1得－3<3x<12,4<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
延伸探究　若将本例条件改为－1解　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则
所以
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又因为－1所以－<(x＋y)<10,1<(x－y)<，
所以－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
所以3x＋2y的取值范围为.
反思感悟　(1)利用不等式性质判断命题真假的注意点
①运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
②解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(2)利用不等式的性质求取值范围的策略
①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
②同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
跟踪训练2　(1)(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　)
A．|a|>|b| B．aC．a＋ba2
答案　CD
解析　由<<0可得b从而|a|<|b|，A，B均不正确；
a＋b<0，ab>0，
则a＋bab>a2，D正确．
(2)已知1答案　(－3,3)　
解析　∵3∴1－4又<<，∴<<，即<<2.
三、利用不等式性质证明不等式
例3　已知a>b>0，c.
证明　因为c－d>0，
因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以0<<，
又因为e<0，所以>.
延伸探究　若a>b>0，c.
证明　∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
两边同乘以，得<.
又e<0，∴>.
反思感悟　利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
跟踪训练3　已知c>a>b>0，求证：>.
证明　∵c>a>b>0，
∴c－a>0，c－b>0，－a<－b，
∴0∴>>0.又a>b>0
∴>.
1．知识清单：
(1)作差法比较大小．
(2)不等式的性质．
(3)利用不等式性质证明不等式．
2．方法归纳：作差法(作商法)、特殊值法．
3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．
1．设bA．a－c>b－d B．ac>bd
C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
答案　C
解析　因为b2．已知xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
答案　B
解析　因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
3．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1>y2
B．y1＝y2
C．y1D．随x值变化而变化
答案　A
解析　y1－y2＝2x2－2x＋1－(x2－4x－1)
＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，
故y1>y2.
4．若1答案　(－2,3)
解析　因为1所以－3<－b<1，所以－21．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　)
A.< B.<
C．a2|b|
答案　A
解析　∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<.
2．(多选)已知a，b，c，d∈R，则下列命题中错误的是(　　)
A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，c
D．若a2>b2，则－a<－b
答案　ACD
解析　选项A，取a＝1，b＝0，c＝2，d＝1，则a＋b选项B，因为a>－b，所以－a选项C，如a>b>0，c<0选项D，如a＝－1，b＝0时不成立．
3．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.< B.>
C．a2>2b D．a>b2
答案　D
解析　A错，例如a＝2，b＝－时，＝，＝－2，此时，>；B错，例如a＝2，b＝时，＝，＝2，此时，<；C错，例如a＝，b＝时，a2＝，2b＝，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正确．
4．已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
答案　B
解析　∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
5．若1A．－3C．－3答案　C
解析　∵－4∴－4<－|b|≤0.
又∵16．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是(　　)
A．c2C．ac>bd D.－>0
答案　AD
解析　因为a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，
对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故选项B错误；
对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；
对于D，因为ad<0，bc<0，又a>b>0，d，故－>0，故选项D正确．
7．若－1答案　(－2,2)
解析　因为－18．若A＝＋3与B＝＋2，则A________B．(填“>”“<”“≥”“≤”或“＝”)
答案　>
解析　A－B＝＋3－
＝2＋≥>0，
所以A>B.
9．利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若a0；
(2)若a<0，－1证明　(1)∵a又c<0，∴(a－b)c>0.
(2)∵－1∴1>b2>0>b>－1，
又a<0，∴a10．已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小．
解　因为－(1＋a)＝，
①当a＝0时，＝0，所以＝1＋a.
②当a<1，且a≠0时，>0，所以>1＋a.
③当a>1时，<0，所以<1＋a.
11．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
答案　C
解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，
所以3x>x＋y＋z＝0,3z所以x>0，z<0.
所以由可得xy>xz.
12．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在(0,1)之间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前比的变化是(　　)
A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小
C．“屏占比”变大 D．变化不确定
答案　C
解析　设升级前“屏占比”为，
升级后“屏占比”为(a>b>0，m>0)．
∴－＝>0，
∴手机的“屏占比”和升级前相比变大．
13．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D.>
答案　C
解析　方法一　a>b>0 0<< a＋>b＋.
方法二(特值法)　令a＝2，b＝1，排除A，D；
再令a＝，b＝，排除B.
14．已知－≤α<β≤，则的取值范围是________．
答案　
解析　∵－≤α<β≤，
∴－≤<≤.
∴－≤<，①
－<≤，
∴－≤－<.②
由①＋②得－≤<.
又知α<β，∴α－β<0.
∴－≤<0.
15．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．如图为希腊的一古建筑．其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均近似为黄金矩形．若A与D间的距离大于18.7 m，C与F间的距离小于12 m．则该古建筑中A与B间的距离可能是(　　)
(参考数据：≈0.618，0.6182≈0.38，0.6183≈0.236)
A．29 m B．29.8 m C．30.8 m D．32.8 m
答案　C
解析　由黄金矩形的定义可知≈0.618，·＝≈0.6182≈0.38，所以AB≈>≈30.26(m)，AB≈<≈31.58(m)，即AB∈(30.26，31.58)，对照各选项，只有C符合．
16．实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a，b的取值范围；
(2)求3a－2b的取值范围．
解　(1)由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
两式相加得，－4≤2a≤6，则－2≤a≤3，
由－1≤a－b≤4，
得－4≤－a＋b≤1，
又－3≤a＋b≤2，
两式相加得，－7≤2b≤3，即－≤b≤.
(2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)
＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
则－4≤3a－2b≤11.