资源简介 第2课时 一元二次不等式的综合问题学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型,解决实际问题.一、简单的分式不等式问题 >0与(x-3)(x+2)>0等价吗?≥0与(x-3)(x+2)≥0等价吗?提示 >0与(x-3)(x+2)>0等价;≥0与(x-3)(x+2)≥0不等价,前者的解集中没有-2,后者的解集中有-2.例1 解下列不等式:(1)<0;(2)≥0;(3)>1.解 (1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,∴-1故原不等式的解集为.(2)原不等式可化为≤0,∴∴即-故原不等式的解集为.(3)原不等式可化为-1>0,∴>0,>0,则x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}.反思感悟 分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.跟踪训练1 解下列不等式:(1)≥0;(2)<3.解 (1)不等式≥0可转化成不等式组解这个不等式组,可得x≤-1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.(2)不等式<3可改写为-3<0,即<0.可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1所以原不等式的解集为{x|-1二、简单的一元二次不等式恒成立问题例2 对 x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围.解 若m=0,显然-1<0恒成立;若m≠0,则 解得-4综上,m的取值范围为{m|-4延伸探究在本例中,是否存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0,若存在,求m的取值范围;若不存在,说明理由.解 显然m=0时不等式不成立;由题意可得解得m∈ ,所以不存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0.反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题,考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面.(2)转化为二次函数的最值问题:分离参数后,求相应二次函数的最值,使参数大于(小于)这个最值.跟踪训练2 若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是________.答案 {k|-3解析 当k=1时,-1<0恒成立;当k≠1时,由题意得解得-3因此实数k的取值范围为{k|-3三、一元二次不等式的实际应用例3 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x>0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式;(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.解 (1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)万元.依题意得y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)(0(2)原计划税收为200a×10%=20a(万元).依题意得a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,化简得x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2.又因为0即x的取值范围为{x|0反思感悟 利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题目中的未知数;(2)由题目中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);(3)求解所列出的不等式(组);(4)结合题目的实际意义确定答案.跟踪训练3 某农家院有客房20间,日常每间客房日租金为80元,每天都客满.该农家院欲提高档次,并提高租金,经市场调研,每间客房日租金每增加10元,客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元,要使每天客房的租金总收入不低于1 800元,该农家院每间客房日租金提高的空间有多大?解 设每间客房日租金提高x个10元,即每间客房日租金提高到(80+10x)元,则客房出租数减少x间,此时客房的租金总收入为(80+10x)·(20-x)元.因为每天客房的租金总收入不低于1 800元,所以(80+10x)(20-x)≥1 800.化简,得x2-12x+20≤0.解得2≤x≤10,所以20≤10x≤100.又由题意可知80+10x≤130,所以10x≤50.因此,该农家院每间客房日租金提高的空间是20~50元.1.知识清单:(1)简单的分式不等式的解法.(2)一元二次不等式的恒成立问题.(3)一元二次不等式在现实生活中的应用.2.方法归纳:等价变形转化、恒等变形.3.常见误区:(1)解分式不等式的等价变形.(2)利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义.1.不等式≥0的解集为( )A.(-1,1] B.[-1,1)C.[-1,1] D.(-1,1)答案 B解析 原不等式 ∴-1≤x<1.2.不等式≥5的解集是________.答案 解析 原不等式 -5≥0 ≤0 解得03.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________.答案 a>4或a<-4解析 ∵x2+ax+4<0的解集不是空集,即不等式x2+ax+4<0有解,∴Δ=a2-4×1×4>0,解得a>4或a<-4.4.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0答案 {t|10≤t≤15,t∈N}解析 z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,所以解集为{t|10≤t≤15,t∈N}.1.不等式≤0的解集是( )A.{x|x<-1或-1B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1或x≥2}D.{x|-1答案 D解析 此不等式等价于∴-12.不等式≥1的解集是( )A. B.C. D.答案 B解析 不等式≥1,移项得-1≥0,即≤0,可化为解得≤x<2,则原不等式的解集为.3.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为( )A.{x|x>1或x<-2}B.{x|1C.{x|x>2或x<-1}D.{x|-1答案 C解析 x=1为ax-b=0的根,∴a-b=0,即a=b,∵ax-b>0的解集为{x|x>1},∴a>0,故=>0,等价为(x+1)(x-2)>0.∴x>2或x<-1.4.关于x的不等式kx2-6kx+k+8≤0的解集为空集,则实数k的取值范围是( )A.0≤k<1 B.0C.k>1或k<0 D.k≤0答案 A解析 由题意得不等式kx2-6kx+k+8≤0的解集为空集,则当k=0时,8≤0不成立,因此,k=0满足题意.当k≠0时,必有解得0综上得0≤k<1,所以实数k的取值范围是0≤k<1.5.(多选)若对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,则实数a的值可能为( )A.-2 B.-1C. D.2答案 BC解析 不等式x2-2x-3≤0的解集是[-1,3].因为对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,所以[a,a+2] [-1,3],所以解得-1≤a≤1.所以实数a的值可能为-1,.6.(多选)为配制一种药液,进行了两次稀释,先在体积为V的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出10升后用水补满,搅拌均匀,第二次倒出8升后用水补满,若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的可能取值为( )A.5 B.20 C.35 D.50答案 BC解析 第一次操作后,剩下的纯药液为V-10,第二次操作后,剩下的纯药液为V-10-×8,因为第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,所以V-10-×8≤V×60%,解得5≤V≤40,又V≥10,所以V的取值范围为[10,40].7.不等式≥-1的解集是________.答案 {x|x≤0或x>1}解析 ≥-1 +1≥0 ≥0 ∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}.8.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是________.答案 20解析 由已知,3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2,或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.9.已知关于x的不等式x2-2x-1>a(a∈R).(1)若a=1,求不等式x2-2x-1>a的解集;(2)若不等式x2-2x-1>a的解集为R,求实数a的取值范围.解 (1)当a=1时,不等式x2-2x-1>a,即x2-2x-1>1,可得(x-1)2-3>0,即 (x-1-)(x-1+)>0,解得x<1-或x>1+.即不等式的解集为(-∞,1-)∪(1+,+∞).(2)因为不等式x2-2x-1>a的解集为R,所以x2-2x-1-a>0恒成立,则函数y=x2-2x-1-a的图象恒在x轴上方,与x轴无交点,从而一元二次方程x2-2x-1-a=0无实数根,∴Δ=22-4×(-1-a)<0,解得a<-2.即实数a的取值范围为(-∞,-2).10.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?解 (1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000×(1+0.6x)(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有即解得0所以投入成本增加的比例x应在的范围内.11.不等式<0的解集为( )A.{x|-1B.{x|1C.{x|2D.{x|-1答案 A解析 原不等式等价于解得-112.设集合P={m|-1A.P?Q B.Q PC.P=Q D.P∩Q=Q答案 A解析 集合Q中,当m=0时,-4<0对任意实数x∈R恒成立;当m≠0时,由mx2+4mx-4<0对任意实数x∈R恒成立可得解得-1综上所述,Q={m|-1<m≤0},所以P?Q.13. 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c<0的解集是________,不等式<0的解集是________________.答案 {x|1解析 由题图直接可得不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|11和2是ax2+bx+c=0的两个根,所以-=3且=2,所以b=-3a,c=2a且a>0.不等式<0等价于(ax+b)(cx+a)<0,即(x-3)(2x+1)<0,所以-14.在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.则这次事故的主要责任方为________.答案 乙车解析 由题意列出不等式s甲=0.1x+0.01x2>12,s乙=0.05x+0.005x2>10.分别求解,得x甲<-40或x甲>30,x乙<-50或x乙>40.由于x>0,从而得x甲>30 km/h,x乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速,应负主要责任.15.在R上定义运算a*b=(a+1)b,若存在x∈[1,2],使不等式(m-x)*(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为________.答案 (-3,2)解析 ∵存在x∈[1,2],使不等式(m-x)*(m+x)<4成立,∴存在x∈[1,2],使不等式(m-x+1)×(m+x)<4成立,∴存在x∈[1,2],使不等式x2-x+4>m2+m成立,∵x∈[1,2],∴函数y=x2-x+4的最大值为22-2+4=6.∴6>m2+m,∴-316.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间),当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段,分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(米/秒),且0≤v≤33.3时,通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9).阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动时间 t0 t1=0.8秒 t2=0.2秒 t3距离 d0=20米 d1 d2 d3=v2米(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式;并求k=0.9时,若汽车达到报警距离,仍以此速度行驶,则汽车撞上固定障碍物的最短时间;(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于80米,则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?合多少千米/时?解 (1)根据题意,得d=d0+d1+d2+d3=20+0.8v+0.2v+=20+v+,所以所求函数关系式为d=20+v+,0≤v≤33.3.当k=0.9时,t==+1+=++1≥2+1=(秒),当且仅当v2=360,即v=6时等号成立,所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是秒.(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于80米,则路况最糟糕时也需满足,即k=0.5时,d=20+v+<80,即v2+10v-600<0,解得0≤v<20,20米/秒=72千米/时,所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下,合72千米/时.3.3.2 从函数观点看一元二次不等式第1课时 一元二次不等式的解法学习目标 1.从函数观点看一元二次不等式,了解一元二次不等式的意义.2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.导语通过前面的学习,我们知道一元一次不等式的解集和一元一次方程的解、一次函数的图象有关系,那么一元二次方程、二次函数和怎样的不等式有关系呢?如何求这一类不等式的解集呢?带着这个问题,我们开始这节课的学习.一、一元二次不等式的解法问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m2,则这个矩形的边长为多少米?提示 设这个矩形的一条边长为x m,则另一条边长为(12-x)m.由题意,得(12-x)x>20,其中x∈{x|0整理得x2-12x+20<0,x∈{x|0求得不等式①的解集,就得到了问题的答案.知识梳理一元二次不等式的概念定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式不等式,叫作一元二次不等式一般形式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数注意点:一元二次不等式一般形式中,应注意二次项系数a≠0.问题2 二次函数y=x2-12x+20的图象与x轴有两个交点,这与方程x2-12x+20=0的根有什么关系?提示 函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根.问题3 你能从二次函数y=x2-12x+20的图象上找x2-12x+20<0的解集吗?提示 从图象上看,位于x轴上方的图象使得函数值大于零,位于x轴下方的图象使得函数值小于零,故x2-12x+20<0的解集为{x|2知识梳理二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 (-∞,x1)∪(x2,+∞) ∪ Rax2+bx+c<0(a>0)的解集 (x1,x2) 注意点:(1)当a>0时,若不等式对应的一元二次方程能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.(2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.例1 解下列不等式:(1)-2x2+x-6<0;(2)-x2+6x-9≥0;(3)x2-2x-3>0.解 (1)原不等式可化为2x2-x+6>0.因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图所示).观察图象可得,原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2-6x+9≤0,即(x-3)2≤0,函数y=(x-3)2的图象如图所示,根据图象可得,原不等式的解集为{x|x=3}.(3)方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3.函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图所示.观察图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}.反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤第一步,将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0).第二步,求出相应一元二次方程的根,或判断出方程没有实根.第三步,画出相应二次函数示意草图,方程有根的将根标在图中.第四步,观察图象中位于x轴上方或下方的部分,对比不等式中不等号的方向,写出解集.跟踪训练1 解下列不等式:(1)x2-5x-6>0;(2)(2-x)(x+3)<0.解 (1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.结合二次函数y=x2-5x-6的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.二、“三个二次”间的关系例2 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2解 由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知=-5,=6.由a<0知c<0,=-,故不等式cx2+bx+a<0,即x2+x+>0,即x2-x+>0,解得x<或x>,所以不等式cx2+bx+a<0的解集为.延伸探究1.若本例中条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.解 由根与系数的关系知=-5,=6且a<0.∴c<0,=-,故不等式cx2-bx+a>0,即x2-x+<0,即x2+x+<0.解得-故原不等式的解集为.2.若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2解 由ax2+bx+c≥0的解集为知a<0.又×2=<0,则c>0.又-,2为方程ax2+bx+c=0的两个根,∴-=,∴=-.又=-,∴b=-a,c=-a,∴不等式cx2+bx+a<0变为x2+x+a<0,即2ax2+5ax-3a>0.又∵a<0,∴2x2+5x-3<0,故所求不等式的解集为.反思感悟 已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:(1)根据解集来判断二次项系数的符号;(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.跟踪训练2 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|10的解集.解 ∵x2+ax+b<0的解集为{x|1∴方程x2+ax+b=0的两根为1,2.由根与系数的关系得得代入所求不等式,得2x2-3x+1>0.解得x<或x>1.∴bx2+ax+1>0的解集为.三、含参的一元二次不等式的解法例3 设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0.解 (1)当a=0时,不等式可化为x-2>0,解得x>2,即原不等式的解集为{x|x>2}.(2)当a≠0时,方程ax2+(1-2a)x-2=0的两根分别为2和-.①当a<-时,解不等式得-即原不等式的解集为;②当a=-时,不等式无解,即原不等式的解集为 ;③当-即原不等式的解集为;④当a>0时,解不等式得x<-或x>2,即原不等式的解集为.反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤跟踪训练3 解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a,函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,则当a<-1时,原不等式解集为{x|a当a=-1时,原不等式解集为 ;当a>-1时,原不等式解集为{x|-11.知识清单:(1)一元二次不等式的解法.(2)三个“二次”之间的关系.2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法.3.常见误区:在求解不等式ax2+bx+c>0时,忽略a的正负导致出错.1.不等式3x2-2x+1>0的解集为( )A. B.C. D.R答案 D解析 因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R.2.不等式3+5x-2x2≤0的解集为( )A.B.C.D.R答案 C解析 3+5x-2x2≤0 2x2-5x-3≥0 (x-3)(2x+1)≥0 x≥3或x≤-.3.若0A.B.C.D.答案 D解析 ∵01>m,故原不等式的解集为.4.已知集合A={x|x2-x-2≤0}, RA等于( )A.(-1,2)B.[-1,2]C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞-1]∪[2,+∞)答案 C解析 ∵x2-x-2≤0,∴(x-2)(x+1)≤0,∴-1≤x≤2,即A=[-1,2].在数轴上表示出集合A,如图所示.由图可得 RA=(-∞,-1)∪(2,+∞).1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是( )A. B.C. D.答案 D解析 原不等式可化为(3x+1)2≤0,∴3x+1=0,∴x=-.2.若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x≤5,x∈N*},则A∩B等于( )A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}答案 B解析 (2x+1)(x-3)<0,∴-又x∈N*且x≤5,则x=1,2.3.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是( )A.B.C.D.答案 D解析 方法一 取x=1检验,满足,排除A;取x=4检验,不满足,排除B,C.方法二 原不等式可化为2x2+7x-9≤0,即(x-1)(2x+9)≤0,解得-≤x≤14.如果关于x的不等式x2A.-81 B.81C.-64 D.64答案 B解析 不等式x2那么,由根与系数的关系得解得a=4,b=-3,所以ba=(-3)4=81.5.(多选)下列不等式的解集为R的有( )A.x2+x+1≥0 B.x2-2x+>0C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<1答案 AC解析 A中Δ=12-4×1<0.满足条件;B中Δ=(-2)2-4×>0,解集不为R;C中Δ=62-4×10<0.满足条件;D中不等式可化为2x2-3x+3<0,所对应的二次函数开口向上,显然不可能.6.(多选)若不等式ax2+bx+c>0的解集是,则以下结论正确的有( )A.a<0B.=-1C.cx2+bx+a>0的解集为D.a+2b+3c>0答案 ABD解析 不等式ax2+bx+c>0的解集是,故a<0,故A正确;-,2是方程ax2+bx+c=0的两个根,=2×=-1,故B正确;-,2是方程ax2+bx+c=0的两个根,-=2-=,=2×=-1,当x=0,c>0,故cx2+bx+a=cx2+cx-c>0,解得x∈(-∞,-2)∪,C错误;根据对称轴-=和4a+2b+c=0可推出代入选项中的式子可得a+2b+3c=a+2×-3a=-5a>0,故D正确.7.已知集合A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0},且B A,则a的取值范围为________.答案 {a|a≤1}解析 A={x|3x-2-x2<0}={x|x2-3x+2>0}={x|x<1或x>2},B={x|x8.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是,则ax2-bx+c>0的解集为________.答案 解析 由题意知,-2,-是方程ax2+bx+c=0的两个根且a<0,故解得a=c,b=a.所以不等式ax2-bx+c>0,即为2x2-5x+2<0,解得即不等式ax2-bx+c>0的解集为.9.解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).解 原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0.对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.①当a>0时,x1>x2,不等式的解集为{x|-a②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;③当a<0时,x1综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a当a=0时,原不等式的解集为 ;当a<0时,原不等式的解集为{x|2a10.已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为.(1)求a,c的值;(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.解 (1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和,由根与系数的关系,得解得a=-6,c=-1.(2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0,即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1,所以所求不等式的解集为.11.在R上定义运算“⊙”:a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为( )A.{x|0B.{x|-2C.{x|x<-2或x>1}D.{x|-1答案 B解析 根据给出的定义得,x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是{x|-212.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式ax2+bx+c>0的解集是( )A.RB.空集C.(-∞,-2)∪(3,+∞)D.(-2,3)答案 C解析 由题意知,二次函数图象开口向上,当x=-2和x=3时,y=0,故ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).13.(多选)不等式mx2-mx-2<0的解集可能是( )A.R B. C. D.(-1,2)答案 ACD解析 当m=0时,mx2-mx-2<0的解集为R;当m>0,mx2-mx-2=0的两个根异号,且即m=1时,该不等式的解集为(-1,2);当m<0,Δ=(-m)2+8m<0,即-8当m<0,Δ=(-m)2+8m=0,即m=-8时,不等式mx2-mx-2<0的解集为;当m<0,Δ=(-m)2+8m>0,即m<-8的解集在两个根之外,解集不可能为空集.14.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的非空解集为{x|1答案 2解析 因为ax2-6x+a2<0的解集为{x|10,且1与m是方程ax2-6x+a2=0的根.则即1+m=,所以m2+m-6=0,解得m=-3或m=2,当m=-3时,a=m<0(舍去),故m=2.15.对于实数x,当且仅当n≤x答案 {x|2≤x<8}解析 由4[x]2-36[x]+45<0,得<[x]<,又当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时,[x]=n,所以[x]=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}.16.已知函数y=ax2-(a+2)x+2,a∈R.(1)y<3-2x恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a>0时,求不等式y≥0的解集.解 (1)由题意得ax2-(a+2)x+2<3-2x恒成立,即ax2-ax+(-1)<0恒成立,当a=0时,-1<0恒成立,符合题意;当a≠0时,则解得即-4综上可得-4(2)由题意知,ax2-(a+2)x+2≥0, 即 (ax-2)(x-1)≥0,由于a>0,则(x-1)≥0,且-1=.①当01,不等式的解集为;②当a=2时,不等式的解集为R;③当a>2时,<1,不等式的解集为;综上可得,当0当a=2时,不等式的解集为R;当a>2时,不等式的解集为. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 苏教版高中数学 必修1 第3章 3.3.2 第1课时 一元二次不等式的解法(学案+课时练 word版含解析).docx 苏教版高中数学 必修1 第3章 3.3.2 第2课时 一元二次不等式的综合问题(学案+课时练 word版含解析).docx