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4.1.1　根　式
学习目标　1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值．
导语
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．这就是本节课我们要学习的根式．
一、n次方根的概念
问题1　如果x2＝a，那么x叫作a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？
提示　如果x2＝a，那么x叫作a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫作a的立方根，这样的x有一个．
问题2　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？
提示　比如(±2)4＝16，我们把±2叫作16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫作81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫作－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫作1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫作a的n次方根．
知识梳理
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根．
2．a的n次方根的表示(n>1，n∈N*)
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3.根式：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．
4．根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的n次方根等于0，记作＝0.
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
注意点：
(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0.
(2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠.
(3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，()n没有意义，对于要注意运算次序．
例1　(1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
答案　7或－11
解析　81的平方根为－9或9，
即a＝－9或9，－8的立方根为－2，即b＝－2，
∴a＋b＝－11或7.
(2)若有意义，求实数x的取值范围．
解　∵有意义，∴x－2≥0，∴x≥2，
即x的取值范围是[2，＋∞)．
反思感悟　(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定．
①当n为偶数，且a≥0时，为非负实数；
②当n为奇数时，的符号与a的符号一致．
跟踪训练1　(1)已知x7＝8，则x等于(　　)
A．2 B. C．－ D．±
(2)16的4次方根是________，有意义，则x的取值范围是________．
答案　(1)B　(2)±2　R
解析　(1)因为7为奇数，所以8的7次方根只有一个.
(2)4是偶数，则偶次方根有两个，为±2；3是奇数，任意实数的奇次方根都有意义，即x的取值范围为R.
二、利用根式的性质化简或求值
例2　化简或求值：
(1)＋()5；(2)＋()6；(3).
解　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝
反思感悟　正确区分与()n
(1)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
跟踪训练2　化简或求值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
解　(1)＝－2.
(2)∵a≤1，
∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)＋＝a＋|1－a|＝
三、有限制条件的根式的化简
例3　已知－3解　原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
延伸探究　本例中，若将“－3解　原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思感悟　有限制条件根式的化简
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
跟踪训练3　已知－1解　原式＝－＝|x－2|－|x＋1|.
因为－10，x－2<0，
所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.
1．知识清单：
(1)n次方根的概念及表示．
(2)根式的性质．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：
(1)对于，当n为偶数时，a≥0.
(2)混淆()n和.
1．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当a<0时，a的偶次方根无意义．
2．下列各式正确的是(　　)
A.＝a B.＝－3
C.＝－4 D．－＝－a
答案　B
解析　当n为偶数时，＝|a|＝
可知＝|a|，＝4，
故A，C错误；
当n为奇数时，＝a，
所以＝－3，－＝－(－a)＝a，
故B项正确，D项错误．
3．当x<0时，x＋＋＝________.
答案　1
解析　原式＝x＋|x|＋＝x－x＋1＝1.
4．若＝－x2＋2x＋3，则实数x的取值范围是________．
答案　[－1,3]
解析　因为＝|x2－2x－3|＝－x2＋2x＋3，所以x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3.
1．()4运算的结果是(　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．不确定
答案　A
解析　因为()n＝a，所以()4＝2.
2．已知m10＝2，则m等于(　　)
A. B．－
C. D．±
答案　D
解析　∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±.
3．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞)
B．[2,4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
答案　B
解析　由题意可知∴a≥2且a≠4.
4．(多选)下列选项中正确的是(　　)
A．81的4次方根是3
B.的运算结果是±2
C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义
D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义
答案　CD
解析　A中81的4次方根应是±3；B中＝2，由根式的性质知，正确的应为CD.
5．若a<，则化简的结果是(　　)
A．4a－1 B．1－4a
C．－ D．－
答案　B
解析　∵a<，
∴4a－1<0，
∴＝|4a－1|＝－(4a－1)＝1－4a.
6．(多选)若n∈N，a∈R，则下列各式中一定有意义的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　AC
解析　(－4)2n>0，故A有意义；
(－4)2n＋1<0，故B无意义；C显然有意义；
当a<0时，a5<0，此时无意义，故D不一定有意义．
7．已知y＝－|2－x|，则当2＜x＜3时，y＝________；当x＞3时，y＝________.
答案　5－2x　－1
解析　y＝－|2－x|＝－|2－x|＝|x－3|－|2－x|，
所以，当2＜x＜3时，y＝3－x＋2－x＝5－2x；
当x＞3时，y＝x－3＋2－x＝－1.
8．化简：＋＝________.
答案　
解析　＋
＝|a－b|＋(a－b)＝
9．化简：
(1)；
(2)(x＜y，n>1，n∈N*)．
解　(1)∵a≤－，∴2a＋1≤0，
∴＝
＝|2a＋1|＝－2a－1.
(2)∵x＜y，∴x－y＜0，
∴当n为大于1的偶数时，
＝|x－y|＝y－x，
当n为大于1的奇数时，＝x－y.
10．已知＋＝－a－b，求＋的值．
解　因为＋＝－a－b，
所以＝－a，＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以
原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
11．当有意义时，化简－的结果是(　　)
A．2x－7 B．－2x＋1
C．1 D．7－2x
答案　C
解析　因为有意义，
所以2－x≥0，即x≤2，
则x－4<0，x－3<0，
所以原式＝－
＝|x－4|－|x－3|
＝(4－x)－(3－x)＝1.
12．下列式子中成立的是(　　)
A．a＝ B．a＝－
C．a＝－ D．a＝
答案　C
解析　由题意知a<0，
故a＝－(－a)＝－
＝－.
13．化简(1－a)的结果是(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　因为原式有意义的条件是a－1>0，
即a>1，
所以(1－a)＝－
＝－.
14.＝________.
答案　3－2
解析　＝
＝＝3－2.
15. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则的值为(　　)
A．a＋b
B．－(a＋b)
C．a－b
D．b－a
答案　D
解析　由题图知当x＝－1时，
y＝a－b＋0.1<0，
∴a－b<0.∴＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.
16．计算：
(1)－＋；
(2)＋－；
(3)×(＋1)＋(－)0.
解　(1)原式＝－＋＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋＝－8.
(3)原式＝·(＋1)＋1
＝·(＋1)＋1
＝×(－1)·(＋1)＋1
＝×(3－1)＋1＝1＋1＝2.

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