资源简介 4.1.1 根 式学习目标 1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.导语公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数来表示,希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.这就是本节课我们要学习的根式.一、n次方根的概念问题1 如果x2=a,那么x叫作a的什么?这样的x有几个?x3=a呢?提示 如果x2=a,那么x叫作a的平方根,这样的x有两个;如果x3=a,那么x叫作a的立方根,这样的x有一个.问题2 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么?提示 比如(±2)4=16,我们把±2叫作16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫作81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫作-32的5次方根;(±2)10=1 024,我们把±2叫作1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫作a的n次方根.知识梳理1.a的n次方根的定义一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次方根.2.a的n次方根的表示(n>1,n∈N*)n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围n为奇数 Rn为偶数 ± [0,+∞)3.根式:式子叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数.4.根式的性质是化简根式的重要依据(1)负数没有偶次方根.(2)0的n次方根等于0,记作=0.(3)()n=a(n∈N*,且n>1).(4)=a(n为大于1的奇数).(5)=|a|=(n为大于1的偶数).注意点:(1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R;若n为偶数,则a≥0.(2)()n与意义不同,比如=-3,=3,而()4没有意义,故()n≠.(3)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,()n没有意义,对于要注意运算次序.例1 (1)若81的平方根为a,-8的立方根为b,则a+b=________.答案 7或-11解析 81的平方根为-9或9,即a=-9或9,-8的立方根为-2,即b=-2,∴a+b=-11或7.(2)若有意义,求实数x的取值范围.解 ∵有意义,∴x-2≥0,∴x≥2,即x的取值范围是[2,+∞).反思感悟 (1)方根个数:正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只有一个.(2)符号:根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.①当n为偶数,且a≥0时,为非负实数;②当n为奇数时,的符号与a的符号一致.跟踪训练1 (1)已知x7=8,则x等于( )A.2 B. C.- D.±(2)16的4次方根是________,有意义,则x的取值范围是________.答案 (1)B (2)±2 R解析 (1)因为7为奇数,所以8的7次方根只有一个.(2)4是偶数,则偶次方根有两个,为±2;3是奇数,任意实数的奇次方根都有意义,即x的取值范围为R.二、利用根式的性质化简或求值例2 化简或求值:(1)+()5;(2)+()6;(3).解 (1)原式=(-2)+(-2)=-4.(2)原式=|-2|+2=2+2=4.(3)原式=|x+2|=反思感悟 正确区分与()n(1)()n已暗含了有意义,根据n的奇偶性可知a的范围.(2)中的a可以是全体实数,的值取决于n的奇偶性.跟踪训练2 化简或求值:(1);(2)(a≤1);(3)+.解 (1)=-2.(2)∵a≤1,∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a.(3)+=a+|1-a|=三、有限制条件的根式的化简例3 已知-3解 原式=-=|x-1|-|x+3|,∵-3原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.∴原式=延伸探究 本例中,若将“-3解 原式=-=|x-1|-|x+3|.∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0,∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.反思感悟 有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.跟踪训练3 已知-1解 原式=-=|x-2|-|x+1|.因为-10,x-2<0,所以原式=2-x-x-1=1-2x.1.知识清单:(1)n次方根的概念及表示.(2)根式的性质.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:(1)对于,当n为偶数时,a≥0.(2)混淆()n和.1.若a是实数,则下列式子中可能没有意义的是( )A. B.C. D.答案 D解析 当a<0时,a的偶次方根无意义.2.下列各式正确的是( )A.=a B.=-3C.=-4 D.-=-a答案 B解析 当n为偶数时,=|a|=可知=|a|,=4,故A,C错误;当n为奇数时,=a,所以=-3,-=-(-a)=a,故B项正确,D项错误.3.当x<0时,x++=________.答案 1解析 原式=x+|x|+=x-x+1=1.4.若=-x2+2x+3,则实数x的取值范围是________.答案 [-1,3]解析 因为=|x2-2x-3|=-x2+2x+3,所以x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3.1.()4运算的结果是( )A.2 B.-2 C.±2 D.不确定答案 A解析 因为()n=a,所以()4=2.2.已知m10=2,则m等于( )A. B.-C. D.±答案 D解析 ∵m10=2,∴m是2的10次方根.又∵10是偶数,∴2的10次方根有两个,且互为相反数.∴m=±.3.若+(a-4)0有意义,则a的取值范围是( )A.[2,+∞)B.[2,4)∪(4,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(-∞,4)∪(4,+∞)答案 B解析 由题意可知∴a≥2且a≠4.4.(多选)下列选项中正确的是( )A.81的4次方根是3B.的运算结果是±2C.当n为大于1的奇数时,对任意a∈R都有意义D.当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义答案 CD解析 A中81的4次方根应是±3;B中=2,由根式的性质知,正确的应为CD.5.若a<,则化简的结果是( )A.4a-1 B.1-4aC.- D.-答案 B解析 ∵a<,∴4a-1<0,∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a.6.(多选)若n∈N,a∈R,则下列各式中一定有意义的是( )A. B.C. D.答案 AC解析 (-4)2n>0,故A有意义;(-4)2n+1<0,故B无意义;C显然有意义;当a<0时,a5<0,此时无意义,故D不一定有意义.7.已知y=-|2-x|,则当2<x<3时,y=________;当x>3时,y=________.答案 5-2x -1解析 y=-|2-x|=-|2-x|=|x-3|-|2-x|,所以,当2<x<3时,y=3-x+2-x=5-2x;当x>3时,y=x-3+2-x=-1.8.化简:+=________.答案 解析 +=|a-b|+(a-b)=9.化简:(1);(2)(x<y,n>1,n∈N*).解 (1)∵a≤-,∴2a+1≤0,∴==|2a+1|=-2a-1.(2)∵x<y,∴x-y<0,∴当n为大于1的偶数时,=|x-y|=y-x,当n为大于1的奇数时,=x-y.10.已知+=-a-b,求+的值.解 因为+=-a-b,所以=-a,=-b,所以a≤0,b≤0,所以a+b≤0,所以原式=|a+b|+a+b=-(a+b)+a+b=0.11.当有意义时,化简-的结果是( )A.2x-7 B.-2x+1C.1 D.7-2x答案 C解析 因为有意义,所以2-x≥0,即x≤2,则x-4<0,x-3<0,所以原式=-=|x-4|-|x-3|=(4-x)-(3-x)=1.12.下列式子中成立的是( )A.a= B.a=-C.a=- D.a=答案 C解析 由题意知a<0,故a=-(-a)=-=-.13.化简(1-a)的结果是( )A. B.-C. D.-答案 B解析 因为原式有意义的条件是a-1>0,即a>1,所以(1-a)=-=-.14.=________.答案 3-2解析 ===3-2.15. 已知二次函数y=ax2+bx+0.1的图象如图所示,则的值为( )A.a+bB.-(a+b)C.a-bD.b-a答案 D解析 由题图知当x=-1时,y=a-b+0.1<0,∴a-b<0.∴=|a-b|=-(a-b)=b-a.16.计算:(1)-+;(2)+-;(3)×(+1)+(-)0.解 (1)原式=-+=-+=.(2)原式=-8+|-2|-(2-)=-8+2--2+=-8.(3)原式=·(+1)+1=·(+1)+1=×(-1)·(+1)+1=×(3-1)+1=1+1=2. 展开更多...... 收起↑ 资源预览