资源简介 4.1.2 指数幂的拓展学习目标 通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1,m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.导语牛顿(Newton 1643-1727)是大家所熟悉的物理学家,可是你知道他在数学史上的贡献吗?他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说:“因为数学家将aa,aaa,aaaa,…写成a2,a3,a4,…,所以可将,,,…写成,,,…,将,,,…写成a-1,a-2,a-3,…”,这是牛顿首次使用任意实数指数,这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程.一、根式与分数指数幂的互化问题 被开方数的指数不能被根指数整除的根式,比如,,,,a>0,是否也可以表示为分数指数幂的形式?如何表示?提示 知识梳理分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:(a>0,m,n∈均为正整数);(2)规定正数的负分数指数幂的意义是:(a>0,m,n均为正整数);(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注意点:(1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法.(2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.例1 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0.(1);(2).解 (1)=.(2) ===a3..反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数 分数指数的分母,被开方数(式)的指数 分数指数的分子.(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.跟踪训练1 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0.(1);(2).解 (1)(2)=a2.二、利用指数幂的运算性质化简和求值知识梳理1.对于有理数指数幂,原整数指数幂的运算性质,保持不变,即:(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q);(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q);(3)(ab)t=atbt(a>0,b>0,t∈Q);(4)拓展:①=as-t(a>0,s,t∈Q).②t=(a>0,t∈Q).2.一般地,当a>0且x是一个无理数时,ax是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用.注意点:(1)有理数指数幂的运算性质记忆口诀:乘相加,除相减,幂相乘.(2)不要自创公式,严格按照公式化简、运算.例2 化简求值:(1)0+2-2×-(0.01)0.5;(2)(3)(a-2b-3)×(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0,b>0,c≠0).解 (1)原式=1+×-=.(2)原式==-++-1-1=3.(3)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-.反思感悟 指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于运用指数幂的运算性质.跟踪训练2 化简求值:(1)(2)(3)2÷4×3(a>0,b>0).解 (1)原式==0.3-+43+2-+1=64.(2)原式=+100+-3+=100+-3=100.(3)原式=三、整体代换法求分数指数幂例3 (1)已知,则x2+x-2=________.答案 7解析 将,两边平方得x+x-1+2=5,则x+x-1=3,两边再平方得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7.(2)已知x+x-1=7,求值:①;②x2-x-2.解 ①设m=,两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9,因为m>0,所以m=3,即.②设n=,两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5,因为n∈R,所以n=±,即=±.所以=±3,x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±21.反思感悟 利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键.(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式.x2+x-2=(x±x-1)2 2,,跟踪训练3 已知a2x=+1,求的值.解 由a2x=+1,得a-2x=-1,即a2x+a-2x=2.所以(ax+a-x)2-2=2,故ax+a-x=(舍负).所以=ax+a-x=.1.知识清单:(1)根式与分数指数幂的互化.(2)分数指数幂的运算.2.方法归纳:整体代换法.3.常见误区:在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.1.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.B.(y<0)C.(x≠0)D.(x>0)答案 CD解析 对于选项A,因为(x≥0),而(x≤0),故A错误;对于选项B,因为(y<0),故B错误;对于选项C,(x≠0),故C正确;对于选项D,(x>0),故D正确.2.(a>0)的值为________.答案 解析 原式=3.若10x=3,10y=4,则102x-y=________.答案 解析 ∵10x=3,∴102x=9,∴102x-y==.4.计算:0.25×-4-4÷20-=______.答案 -4解析 原式=×16-4÷1--1=4-4-4=-4.1.若有意义,则x的取值范围是( )A.RB.∪C.D.答案 D解析 将分数指数幂化为根式,可知需满足1-2x>0,解得x<.2.将化为分数指数幂为( )A. B.C. D.答案 B解析 3.化简(a>0,b>0)得( )A.-b2 B.b2C. D.答案 A解析 原式==-b2.4.(多选)已知a+=6,则的值可以为( )A.-2 B.-C. D.2答案 AD解析 ∵=a+-2=6-2=4,∴=±2.5.若x>0,则等于( )A.-23 B.23C. D.答案 A解析 原式===-23.6.(多选)下列化简结果中正确的有(字母均为正数)( )A.(am)n=amn B.C. D.an+bn=(a+b)n答案 AB解析 由指数幂的运算性质可得(am)n=amn,,=am-n≠,AB选项正确,C选项错误,取a=b=1,n=2,则an+bn=2≠22=(a+b)n,D选项错误.7.化简:=________.答案 1解析 原式=8.已知,则=________.答案 解析 因为=a+a-1+2==9+4=13.又因为所以=.9.化简下列各式(x>0,y>0):(1);(2)解 (1)=6x0y1=6y.(2)=x2y.10.计算:(1)7-3-6+;(2)解 (1)原式=(2)原式==--3=0.11.44(a>0)等于( )A.a16 B.a8 C.a4 D.a2答案 C解析 原式==a2a2=a2+2=a4.12.(多选)下列各式中一定成立的有( )A.B.=C.=D.=答案 BD解析 A中应为7=n7m-7;==,B正确;C中当x=y=1时,等式不成立;D正确.13.已知2a=5b=m,且+=2,则m等于( )A. B.10 C.20 D.100答案 A解析 由题意得m>0,∵2a=m,5b=m,∴2=,5=,∵2×5=,∴m2=10,∴m=.14.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为________.答案 4解析 因为所以①×②得a3m=26,所以am=22.将am=22代入②得22·a-n=28,所以an=2-6,所以a4m+n=a4m·an=(am)4·an=(22)4·2-6=22=4.15.已知,则=________.答案 ±-解析 ∵,两边平方得x+x-1+2=9,∴x+x-1=7,两边再平方得x2+x-2=47,又(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=49-4=45,∴x-x-1=±3,故原式==±-.16.对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,ω,有ax=by=cz=70ω,=++,求a,b,c的值.解 ∵ax=70ω,且x,ω为非零实数,∴,∴.同理,可得,.∴即又++=,a,b,c为正整数,∴abc=70=2×5×7.∵a≤b≤c,∴a=2,b=5,c=7. 展开更多...... 收起↑ 资源预览