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4.1.2　指数幂的拓展
学习目标　通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
导语
牛顿(Newton 1643－1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将，，，…写成，，，…，将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程．
一、根式与分数指数幂的互化
问题　被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？
提示　
知识梳理
分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈均为正整数)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n均为正整数)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
注意点：
(1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法．
(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
例1　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0.
(1)；(2).
解　(1)＝.
(2) ＝＝＝a3..
反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
跟踪训练1　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0.
(1)；(2).
解　(1)
(2)＝a2.
二、利用指数幂的运算性质化简和求值
知识梳理
1．对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质，保持不变，即：
(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；
(2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；
(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)；
(4)拓展：①＝as－t(a>0，s，t∈Q)．
②t＝(a>0，t∈Q)．
2．一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用．
注意点：
(1)有理数指数幂的运算性质记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘．
(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算．
例2　化简求值：
(1)0＋2－2×－(0.01)0.5；
(2)
(3)(a－2b－3)×(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a>0，b>0，c≠0)．
解　(1)原式＝1＋×－＝.
(2)原式＝＝－＋＋－1－1＝3.
(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－ac－1＝－.
反思感悟　指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．
跟踪训练2　化简求值：
(1)
(2)
(3)2÷4×3(a>0，b>0)．
解　(1)原式＝＝0.3－＋43＋2－＋1
＝64.
(2)原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100.
(3)原式＝
三、整体代换法求分数指数幂
例3　(1)已知，则x2＋x－2＝________.
答案　7
解析　将，两边平方得x＋x－1＋2＝5，
则x＋x－1＝3，
两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，
所以x2＋x－2＝7.
(2)已知x＋x－1＝7，求值：
①；
②x2－x－2.
解　①设m＝，
两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
因为m>0，所以m＝3，即.
②设n＝，
两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，
因为n∈R，所以n＝±，即＝±.
所以
＝±3，
x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.
反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，，
跟踪训练3　已知a2x＝＋1，求的值．
解　由a2x＝＋1，得a－2x＝－1，
即a2x＋a－2x＝2.
所以(ax＋a－x)2－2＝2，
故ax＋a－x＝(舍负)．
所以＝ax＋a－x＝.
1．知识清单：
(1)根式与分数指数幂的互化．
(2)分数指数幂的运算．
2．方法归纳：整体代换法．
3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
1．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．
B.(y<0)
C．(x≠0)
D.(x>0)
答案　CD
解析　对于选项A，
因为(x≥0)，
而(x≤0)，故A错误；
对于选项B，因为(y<0)，
故B错误；
对于选项C，(x≠0)，故C正确；
对于选项D，(x>0)，故D正确．
2.(a>0)的值为________．
答案　
解析　原式＝
3．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.
答案　
解析　∵10x＝3，∴102x＝9，
∴102x－y＝＝.
4．计算：0.25×－4－4÷20－＝______.
答案　－4
解析　原式＝×16－4÷1－－1
＝4－4－4＝－4.
1．若有意义，则x的取值范围是(　　)
A．R
B.∪
C.
D.
答案　D
解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，
解得x<.
2．将化为分数指数幂为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　
3．化简(a>0，b>0)得(　　)
A．－b2 B.b2
C． D.
答案　A
解析　原式＝＝－b2.
4．(多选)已知a＋＝6，则的值可以为(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
答案　AD
解析　∵＝a＋－2＝6－2＝4，
∴＝±2.
5．若x>0，则等于(　　)
A．－23 B．23
C． D．
答案　A
解析　原式＝＝＝－23.
6．(多选)下列化简结果中正确的有(字母均为正数)(　　)
A．(am)n＝amn B．
C． D．an＋bn＝(a＋b)n
答案　AB
解析　由指数幂的运算性质可得(am)n＝amn，，＝am－n≠，AB选项正确，C选项错误，取a＝b＝1，n＝2，则an＋bn＝2≠22＝(a＋b)n，D选项错误．
7．化简：＝________.
答案　1
解析　原式＝
8．已知，则＝________.
答案　
解析　因为＝a＋a－1＋2
＝＝9＋4＝13.
又因为
所以＝.
9．化简下列各式(x>0，y>0)：
(1)；
(2)
解　(1)
＝6x0y1＝6y.
(2)
＝x2y.
10．计算：
(1)7－3－6＋；
(2)
解　(1)原式＝
(2)原式＝
＝－－3＝0.
11.44(a>0)等于(　　)
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
答案　C
解析　原式＝＝a2a2＝a2＋2＝a4.
12．(多选)下列各式中一定成立的有(　　)
A.
B.＝
C.＝
D.＝
答案　BD
解析　A中应为7＝n7m－7；
＝＝，B正确；
C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确．
13．已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B．10 C．20 D．100
答案　A
解析　由题意得m>0，
∵2a＝m,5b＝m，∴2＝，5＝，
∵2×5＝，
∴m2＝10，∴m＝.
14．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．
答案　4
解析　因为
所以①×②得a3m＝26，所以am＝22.
将am＝22代入②得22·a－n＝28，
所以an＝2－6，
所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6
＝22＝4.
15．已知，则＝________.
答案　±－
解析　∵，
两边平方得x＋x－1＋2＝9，
∴x＋x－1＝7，两边再平方得x2＋x－2＝47，
又(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝49－4＝45，
∴x－x－1＝±3，
故原式＝＝±－.
16．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．
解　∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，
∴，∴.
同理，可得，.
∴
即
又＋＋＝，a，b，c为正整数，
∴abc＝70＝2×5×7.
∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.

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