资源简介 第2课时 换底公式及对数的应用学习目标 1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.一、换底公式问题1 上节课我们学习了对数的运算性质,但对于一些式子,比如log48,log927等式子的化简求值问题还不能做到,你能解决这个问题吗?提示 设log48=x,故有4x=8,即22x=23,故x=,而log28=3,log24=2,于是我们大胆猜测log48=,同样log927=.问题2 是否对任意的logab都可以表示成logab=(a>0,a≠1;b>0;c>0,c≠1)?说出你的理由.提示 依据当a>0,a≠1时,ax=N logaN=x推导得出.令=x,则logcb=xlogca=logcax,故b=ax,∴x=logab,∴logab=.知识梳理换底公式(1)logaN=(a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1).(2)对数换底公式的重要推论:①logaN=(N>0,N≠1;a>0,a≠1);②l(a>0,a≠1,b>0).注意点:(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.(2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=或logab=.例1 (1)计算:(log43+log83)(log32+log92);(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645的值.解 (1)原式==·=×=.(2)方法一 ∵log189=a,18b=5,∴log185=b.∴log3645=====.方法二 ∵log189=a,18b=5,∴log185=b.∴log3645====.反思感悟 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧跟踪训练1 (1)的值是( )A. B. C.1 D.2答案 A解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数,即==·=.方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数,即===.(2)计算:.解 原式=·=-·log32·3log23=-.二、有附加条件的对数式求值问题例2 (1)设3a=4b=36,求+的值;(2)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.解 (1)方法一 由3a=4b=36,得a=log336,b=log436,由换底公式得=log363,=log364,∴+=2log363+log364=log369+log364=log3636=1.方法二 由3a=4b=36,两边取以6为底的对数,得alog63=blog64=log636=2,∴=log63,=log64=log62,∴+=log63+log62=log66=1.(2)令2x=3y=5z=k(k>0),∴x=log2k,y=log3k,z=log5k,∴=logk2,=logk3,=logk5,由++=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1,∴k=30,∴x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.反思感悟 利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.跟踪训练2 已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.解 ∵3a=5b=c,∴c>0,∴a=log3c,b=log5c,∴=logc3,=logc5,∴+=logc15.由logc15=2得c2=15,即c=(负值舍去).三、对数的实际应用例3 一台机器原价20万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价格降低8.75%,问经过多少年这台机器的价值为8万元?(lg 2≈0.301 0,lg 9.125≈0.960 2)解 设经过x年,这台机器的价值为8万元.则8=20(1-0.087 5)x,即0.912 5x=0.4,等号两边同时取常用对数,得x===≈10.所以约经过10年这台机器的价值为8万元.反思感悟 解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 某化工厂生产化工产品,今年生产成本为50元/桶,现使生产成本平均每年降低28%,那么几年后每桶的生产成本为20元(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,精确到1年) 解 设x年后每桶的生产成本为20元.1年后每桶的生产成本为50×(1-28%).2年后每桶的生产成本为50×(1-28%)2.则50×(1-28%)x=20.即0.72x=0.4.等号两边同时取常用对数,得xlg 0.72=lg 0.4.故x====≈=≈3.所以约3年后每桶的生产成本为20元.1.知识清单:(1)换底公式.(2)有附加条件的对数式求值问题.(3)对数的实际应用.2.方法归纳:换底公式、转化法.3.常见误区:要注意对数的换底公式的结构形式,易混淆.1.0.25-+log23·log34的值为( )A. B. C.1 D.答案 D解析 原式=-+×=-+×=.2.已知2x=3,log4=y,则x+2y的值为( )A.3 B.8 C.4 D.log48答案 A解析 由2x=3得x=log23,∴x+2y=log23+2log4=log23+=log23+(3log22-log23)=3.3.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)( )A.1033 B.1053C.1073 D.1093答案 D解析 由已知得,lg =lg M-lg N≈361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80=93.28=lg 1093.28.故与最接近的是1093.4.若xlog32=1,则4x的值是( )A.9 B.3C.2log32 D.2log23答案 A解析 因xlog32=1,则x==log23,所以4x==32=9.1.化简得log832的值为( )A. B.2 C.4 D.答案 D解析 log832===.2.(log29)(log34)等于( )A. B. C.2 D.4答案 D解析 方法一 原式=×==4.方法二 原式=2log23×=2×2=4.3.已知正实数a,b,c满足log2a=log3b=log6c,则( )A.a=bc B.b2=acC.c=ab D.c2=ab答案 C解析 由题意得令log2a=log3b=log6c=k,则a=2k,b=3k,c=6k,∴c=6k=(2×3)k=2k×3k=ab.4.等于( )A.lg 3 B.-lg 3 C. D.-答案 C解析 原式5.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1 D.10-10.1答案 A解析 由题意知,m1=-26.7,m2=-1.45,代入所给公式得-1.45-(-26.7)=lg ,所以lg =10.1,所以=1010.1.6.(多选)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的有( )A.+=1 B.+=lg 20C.+=2 D.+=答案 AB解析 a=log210,b=log510,+=+=lg 2+lg 5=1,故A正确;+=+=lg 4+lg 5=lg 20,故B正确;+=+=lg 2+lg 25=lg 50,故C,D不正确.7.log23·log34·log42=________.答案 1解析 原式=··=1.8.若lg 2=a,lg 3=b,则log916=________(用a,b的代数式子表示)答案 解析 log916====.9.计算下列各式的值:(1)log535+-log5-log514;(2)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).解 (1)原式=log535+log550-log514+=log5+=log553-1=2.(2)方法一 原式===log25·3log52=13log25·=13.方法二 原式====13.10.设xa=yb=zc,且+=,求证:z=xy.证明 设xa=yb=zc=k,k>0,则a=logxk,b=logyk,c=logzk.因为+=,所以+=,即logkx+logky=logkz.所以logk(xy)=logkz,即z=xy.11.设log83=p,log35=q,则lg 5等于( )A.p2+q2 B.(3p+2q)C. D.pq答案 C解析 ∵log83===p,∴lg 3=3plg 2.∵log35==q,∴lg 5=qlg 3=3pqlg 2=3pq(1-lg 5),∴lg 5=.12.计算log89×log910×log1011×…×log3132的结果为( )A.4 B. C. D.答案 B解析 log89×log910×log1011×…×log3132=×××…×===.13.根据有关资料,汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010,目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)A. B. C. D.答案 B解析 ∵汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010,目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.∴=,等号两边取常用对数,可得lg =lg 1010-lg 36-lg 230≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88.∴≈10-1.88≈.14.已知a=,log74=b,则log4948=________(用a,b表示).答案 解析 由a=,得a=log73,又b=log74,∴log4948====.15.已知实数x,y,正实数a,b满足ax=by=2,且+=-3,则a2+b的最小值为________.答案 解析 由题意得x=loga2,y=logb2,所以+=2log2a+log2b=log2(a2b)=-3,所以a2b=,a2+b≥2=,当且仅当a2=b,即a=,b=时等号成立.16.已知logax+3logxa-logxy=3(a>1),若设x=at,试用a,t表示y.解 由换底公式,得logax+-=3(a>1),所以logay=(logax)2-3logax+3.当x=at时,logax=logaat=t,所以logay=t2-3t+3.所以(t≠0).4.2.2 对数的运算性质第1课时 对数的运算性质学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.导语同学们,数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史.从人们对天文、航天、航海感兴趣开始,发现数太大了,天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算,对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”,对整个科学的发展起了重要作用.一、对数的运算性质问题1 将指数式M=ap,N=aq化为对数式,结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式?它们之间有何联系(用一个等式表示) 提示 由M=ap,N=aq得p=logaM,q=logaN.由MN=ap+q得p+q=loga(M·N).从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0).问题2 结合问题1,若==ap-q,又能得到什么结论?提示 将指数式=ap-q化为对数式,得loga=p-q=logaM-logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0).问题3 结合问题1,若Mn=(ap)n=anp(n∈R),又能有何结果?提示 由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM(a>0,a≠1,M>0,n∈R).知识梳理对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)loga=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM(n∈R).注意点:(1)性质的逆运算仍然成立.(2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.(3)性质(1)可以推广为:loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中Nk>0,k∈N*.例1 求下列各式的值.(1)ln e2;(2)log3e+log3;(3)lg 50-lg 5.解 (1)ln e2=2ln e=2.(2)log3e+log3=log3=log33=1.(3)lg 50-lg 5=lg =lg 10=1.反思感悟 对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.跟踪训练1 求下列各式的值:(1)log3(27×92);(2)lg 5+lg 2;(3)ln 3+ln ;(4)log35-log315.解 (1)方法一 log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33=3+4=7.方法二 log3(27×92)=log3(33×34)=log337=7log33=7.(2)lg 5+lg 2=lg(5×2)=lg 10=1.(3)ln 3+ln =ln=ln 1=0.(4)log35-log315=log3=log3=log33-1=-1.二、利用对数的运算性质化简、求值例2 计算下列各式的值:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;(2).解 (1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2=(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2=lg 5+lg 2=1.(2)原式===.反思感悟 对数运算性质的综合应用解题思路(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式逆用;(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用;(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简.跟踪训练2 计算下列各式的值:(1)lg -lg +lg ;(2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.解 (1)方法一 原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.方法二 原式=lg -lg 4+lg 7=lg =lg(·)=lg =.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.三、对数运算性质的综合应用例3 已知lg 2=a,lg 3=b,则lg =________.答案 b+3a-1解析 lg =lg 12-lg 5=lg(3×22)-(1-lg 2)=lg 3+lg 22-1+lg 2=lg 3+3lg 2-1=b+3a-1.反思感悟 对数运算性质的综合应用中的求值(或用代数式表示)问题思路依据对数的运算性质,将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的乘、除,再展开,要注意常用对数中lg 2+lg 5=1.跟踪训练3 用lg x,lg y,lg z表示下列各式:(1)lg(xyz);(2)lg ;(3)lg ;(4)lg .解 (1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z.(2)lg =lg(xy2)-lg z=lg x+lg y2-lg z=lg x+2lg y-lg z.(3)lg =lg(xy3)-lg=lg x+lg y3-=lg x+3lg y-lg z.(4)lg =lg -lg(y2z)=-(lg y2+lg z)=lg x-2lg y-lg z.1.知识清单:(1)对数的运算性质.(2)利用对数的运算性质化简、求值.(3)对数运算性质的运用.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:要注意对数的运算性质的结构形式,易混淆,且不可自创运算法则.1.(多选)若a>0,a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式中正确的有( )A.(logax)n=nlogaxB.logax=-logaC.(logax)n=logaxnD.=loga答案 BD解析 根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0,a>0,a≠1)知BD正确.2.2log510+log50.25等于( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 C解析 原式=log5100+log50.25=log525=2.3.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为( )A.a-b2 B.a-2bC. D.答案 B解析 ∵lg 3=a,lg 7=b,∴lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b.4.=________.答案 2解析 原式===2.1.log242+log243+log244等于( )A.1 B.2 C.24 D.答案 A解析 原式=log24(2×3×4)=log2424=1.2.已知3a=2,那么log38-2log36用a表示为( )A.a-2 B.5a-2C.3a-(1+a)2 D.3a-a2答案 A解析 因为3a=2,所以a=log32,所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2.3.计算lg 2-lg -eln 2等于( )A.-1 B. C.3 D.-5答案 A解析 原式=lg-2=-1.4.下列计算正确的是( )A.(a3)2=a9B.log26-log23=1C.D.log3(-4)2=2log3(-4)答案 B解析 由题意,根据实数指数幂的运算,可得(a3)2=a6,=a0=1,所以A,C不正确;由对数的运算性质,可得log26-log23=log2=log22=1,所以B正确;根据对数的化简,可得log3(-4)2=2log34,而log3(-4)无意义,所以D不正确.5.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则ab的值等于( )A.2 B. C.100 D.答案 C解析 ∵lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,∴由根与系数的关系得lg a+lg b=2,∴lg(ab)=2,∴ab=100.6.(多选)已知f(x)=log5x,则对任意的a,b∈(0,+∞),下列关系成立的是( )A.f(ab)=f(a)+f(b)B.f(ab)=f(a)f(b)C.f =f(a)+f(b)D.f =f(a)-f(b)答案 AD解析 ∵f(x)=log5x,a,b∈(0,+∞),∴f(ab)=log5(ab)=log5a+log5b=f(a)+f(b),f =log5=log5a-log5b=f(a)-f(b).7.lg +lg 的值是________.答案 1解析 原式=lg =lg 10=1.8.若lg x+lg y=2lg(x-2y),则=________.答案 4解析 因为lg x+lg y=2lg(x-2y)=lg(x-2y)2,所以由xy=(x-2y)2,知x2-5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y.又x>0,y>0且x-2y>0,所以舍去x=y,故x=4y,则=4.9.已知lg 2=m,lg 3=n,试用m,n表示.解 ∵lg 2=m,lg 3=n,∴===.10.计算下列各式的值:(1)log3+lg 25+lg 4+;(2)2log32-log3+log38-.解 (1)原式==-+2+2=.(2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.11.已知logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x>0且a,b,c,x≠1),则logx(abc)等于( )A. B. C. D.答案 D解析 x=a2=b=c4,所以(abc)4=x7,所以abc=,即logx(abc)=.12.已知xlog32=1,则2x+2-x的值是( )A.1 B.3 C. D.答案 D解析 由xlog32=1,可知log32x=1,即2x=3,故2x+2-x=3+=.13.已知函数f(x)的定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(4+x),若f(1)=6,则f(log2128)+f(log216)等于( )A.6 B.0 C.-6 D.-12答案 C解析 因为函数f(x)的定义域为R且满足f(-x)=-f(x),所以f(0)=0,f(-1)=-f(1)=-6,故f(7)=f(4+3)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-6,f(4)=f(0)=0,所以f(log2128)+f(log216)=f(log227)+f(log224)=f(7)+f(4)=-6+0=-6.14.已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2,且f =4,则f(2 023)=________.答案 0解析 由f =alog2+blog3+2=4,得-alog22 023-blog32 023=2.∴alog22 023+blog32 023=-2,∴f(2 023)=alog22 023+blog32 023+2=-2+2=0.15.设a,b,c为△ABC的三边的长,且关于x的方程x2-2x+log2(c2-b2)-2log2a+1=0有两个相等的实数根,那么这个三角形的形状是______.答案 直角三角形解析 由题意得Δ=4-4log2(c2-b2)+8log2a-4=0,∴2log2a=log2(c2-b2).∴a2=c2-b2,故有a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形.16.已知lg 2=a,lg 3=b.(1)求lg 72,lg 4.5;(2)若lg x=a+b-2,求x的值.解 (1)lg 72=lg(23×32)=3lg 2+2lg 3=3a+2b;lg 4.5=lg =2lg 3-lg 2=2b-a.(2)lg x=a+b-2=lg 2+lg 3-2=lg 2+lg 3+lg =lg ,所以x==0.06. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 苏教版高中数学 必修1 第4章 4.2.2 第1课时 对数的运算性质(学案+课时练 word版含解析).docx 苏教版高中数学 必修1 第4章 4.2.2 第2课时 换底公式及对数的应用(学案+课时练 word版含解析).docx