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章末复习课
一、根式的化简或求值
1．根式的化简与求值要使用根式的运算性质：
(1)当n为任意正整数时，()n＝a；
(2)当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．通过根式的化简或求值问题，认真领会运算性质，培养数学抽象和数学运算的核心素养．
例1　求值：.
解　要使原式有意义，须使成立，
所以a＝－1，原式＝＝－.
反思感悟　根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
跟踪训练1　(1)若6(2)计算：＋－＝________.
答案　(1)1　(2)
解析　(1)因为6＜a＜7，
所以＋
＝(a－6)＋(7－a)＝1；
(2)原式＝＋－
＝＋－＝.
二、指数幂的运算
1．对有理数指数幂的运算性质的三点说明：
(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：
①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
②幂的幂，底数不变，指数相乘；
③积的幂等于幂的积．
(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．
(3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
2．熟记指数幂的运算性质，掌握指数幂的运算，提升数学运算的核心素养．
例2　计算：(1)(a>0，b>0)；
(2)
解　(1)原式
(2)原式
＝0.4－1－1＋＋0.1＝3.1.
反思感悟　利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧
(1)有括号先算括号里的．
(2)无括号先做指数运算．
(3)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数的运算性质．
跟踪训练2　(1)计算：；
(2)化简：.
解　(1)原式
(2)原式
＝x1·y0·z－2＝xz－2.
三、对数恒等式的应用
1．对数恒等式的两点说明
(1)对数恒等式的证明依据：对数的定义．
(2)对于对数恒等式＝N要注意格式：
①它们是同底的；②指数中含有对数式；③其值为对数的真数．
2．对数的性质与对数恒等式是对数化简求值的重要依据，要认真理解、掌握，提升数学运算的核心素养．
例3　log5(log3(log2a))＝0，计算的值．
解　因为log5(log3(log2a))＝0，
所以log3(log2a)＝1，即log2a＝3.
所以a＝23＝8.
所以原式
反思感悟　性质与logaab＝b的作用
(1)的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)性质logaab＝b的作用在于把任意一个实数转化为以a为底的对数形式．
跟踪训练3　已知，求的值．
解　因为，
所以a＝3＝，
所以原式＝a＝.
四、对数运算
1．对数的运算性质是对数运算的依据，利用对数的运算性质时，要注意公式成立的前提条件．对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．
2．通过对数的运算性质进行对数运算，提升数学运算的核心素养．
例4　计算：log2＋log212－log2.
解　方法一　原式＝(log27－log248)＋log23＋2log22－(log22＋log23＋log27)
＝log27－log23－log216＋log23＋2－－log27＝－.
方法二　原式＝log2
＝－.
反思感悟　对数的运算性质在解题中的两种应用
跟踪训练4　计算：log535－2log5＋log57－log51.8.
解　原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.

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