资源简介 4.2.1 对数的概念学习目标 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.导语我们知道若2x=4,则x=2;若3x=81,则x=4;若x=128,则x=-7等等这些方程,我们可以轻松求出x的值,但对于2x=3,1.11x=2,10x=5等这样的指数方程,你能求出方程的解吗?为了解决这个问题,早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案,这节课我们就一起来看看如何解决这一问题的.一、指数式与对数式的互化知识梳理1.一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.如图所示:2.两类特殊对数(1)通常将以10为底的对数称为常用对数,对数log10N简记为lg N.(2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,正数N的自然对数logeN一般简记为ln N.注意点:(1)对数是由指数转化而来,则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变换,即在对数式中,a>0,且a≠1,N>0.(2)logaN的读法:以a为底N的对数.例1 将下列对数式化成指数式或将指数式转化为对数式:(1)33=27;(2);(3)5a=16;(4)log5a=20.解 (1)∵33=27,∴log327=3.(2)∵∴-3=8.(3)∵5a=16,∴log516=a.(4)∵log5a=20,∴520=a.反思感悟 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.跟踪训练1 将下列对数式化成指数式或将指数式转化为对数式:(1)3-2=;(2)-3=125;(3) (4)(x>0,且x≠1).解 (1)log3=-2.(2)(3)-3=27.(4)()-6=64.二、对数的计算例2 (1)求下列各式的值.①log981=________;②log0.41=________;③ln e2=________.答案 ①2 ②0 ③2解析 ①设log981=x,所以9x=81=92,故x=2,即log981=2.②设log0.41=x,所以0.4x=1=0.40,故x=0,即log0.41=0.③设ln e2=x,所以ex=e2,故x=2,即ln e2=2.(2)求下列各式中x的值.①log27x=-;②logx16=-4.解 ①由log27x=-,得=3-2=.②由logx16=-4,得x-4=16,即x4==4,又x>0,且x≠1,∴x=.反思感悟 对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值,或求对数式中参数字母的值,要注意利用方程思想求解.(2)基本方法①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.②利用幂的运算性质和指数的性质计算.跟踪训练2 求下列各式的值:(1)log28;(2)log9;(3)ln e;(4)lg 1.解 (1)设log28=x,则2x=8=23.∴x=3.∴log28=3.(2)设log9=x,则9x==9-1,∴x=-1.∴log9=-1.(3)设ln e=x,则ex=e,∴x=1,∴ln e=1.(4)设lg 1=x,则10x=1=100,∴x=0,∴lg 1=0.三、利用对数的性质求值问题 你能把20=1,21=2,log2x=log2x化成对数式或指数式吗?提示 log21=0;log22=1;=x.知识梳理对数的性质(1)loga1=0(a>0,a≠1).(2)logaa=1(a>0,a≠1).(3)零和负数没有对数.(4)对数恒等式:=N;logaax=x(a>0,a≠1,N>0).例3 求下列各式中x的值:(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg x)=1;(3)x=.解 (1)∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1,∴x=51=5.(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,∴x=103=1 000.(3)反思感悟 利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再求解.跟踪训练3 求下列各式中x的值.(1)log8[log7(log2x)]=0;(2)log2[log3(log2x)]=1.解 (1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,∴x=27.(2)由log2[log3(log2x)]=1,得log3(log2x)=2,∴log2x=32=9,∴x=29.1.知识清单:(1)对数的概念.(2)自然对数、常用对数.(3)指数式与对数式的互化.(4)对数的性质.2.方法归纳:转化思想、方程思想.3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.1.(多选)下列说法正确的有( )A.只有正数有对数B.任何一个指数式都可以化成对数式C.以5为底25的对数等于2D.成立答案 AC解析 B错误,如(-2)2=4就不能化成对数式,D错误,对数式的真数a应大于0.2.2-3=化为对数式为( )A.=-3 B.=2C.=-3 D.log2(-3)=答案 C解析 根据对数的定义知选C.3.已知log8x=,则x=________.答案 4解析 log8x=化为指数式为4.计算:3log22+2log31-3log77+3ln 1=______.答案 0解析 原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0.1.lg 10 000等于( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 D2.已知logx16=2,则x等于( )A.4 B.±4 C.256 D.2答案 A解析 logx16=2改写成指数式为x2=16,但x作为对数的底数,必须取正值,∴x=4.3.方程的解是( )A.9 B. C. D.答案 D解析 ∵==2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2=.4.(多选)下列等式正确的有( )A.lg(lg 10)=0B.lg(ln e)=0C.若lg x=10,则x=10D.若ln x=e,则x=e2答案 AB解析 A项,lg(lg 10)=lg 1=0;B项,lg(ln e)=lg 1=0;C项,若lg x=10,则x=1010;D项,若ln x=e,则x=ee.5.已知loga=m,loga3=n,则am+2n等于( )A.3 B.C.9 D.答案 D解析 由已知得am=,an=3.所以am+2n=am×a2n=am×(an)2=×32=.6.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.3)( )A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.6答案 D解析 由L=5+lg V,L=4.8,得lg V=-0.2,所以V=10-0.2===≈0.6,所以其视力的小数记录法的数据约为0.6.7.已知log5[log3(log2x)]=0,则x=________,=________.答案 8 解析 ∵log5[log3(log2x)]=0,∴log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=23=8,∴===.8.若a=lg 2,b=lg 3,则的值为________.答案 解析 ∵a=lg 2,∴10a=2.∵b=lg 3,∴10b=3.∴9.将下列指数式、对数式互化.(1)35=243;(2)2-5=;(3);(4)log2128=7.解 (1)log3243=5.(2)log2=-5.(3)-4=81.(4)27=128.10.若,,求的值.解 ∵,∴m=x,x2=2m.∵,∴m+2=y,y=2m+4.∴==2m-(2m+4)=-4=16.11.-lg 0.01+ln e3等于( )A.14 B.0 C.1 D.6答案 B解析 -lg 0.01+ln e3=4--lg +3=4-32-(-2)+3=0.12.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是( )A.1 B.0 C.x D.y答案 B解析 由x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,∴x=2,y=1,∴logx(yx)=log2(12)=0.13.若log(1-x)(1+x)2=1,则x=________.答案 -3解析 由log(1-x)(1+x)2=1,得(1+x)2=1-x,∴x2+3x=0,∴x=0或x=-3.又∴x=-3.14.若x满足(log2x)2-2log2x-3=0,则x=________.答案 8或解析 设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,解得t=3或t=-1,所以log2x=3或log2x=-1,所以x=23=8或x=2-1=.15.若a>0,,则等于( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 B解析 因为,a>0,所以a=,设=x,所以x=a.所以x=3.16.已知x=log23,求的值.解 由x=log23,得2x=3,∴2-x==,∴23x=(2x)3=33=27,2-3x==,∴====. 展开更多...... 收起↑ 资源预览