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4.2.1　对数的概念
学习目标　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
导语
我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若x＝128，则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，这节课我们就一起来看看如何解决这一问题的．
一、指数式与对数式的互化
知识梳理
1．一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数．如图所示：
2．两类特殊对数
(1)通常将以10为底的对数称为常用对数，对数log10N简记为lg N.
(2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，正数N的自然对数logeN一般简记为ln N.
注意点：
(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换，即在对数式中，a>0，且a≠1，N>0.
(2)logaN的读法：以a为底N的对数．
例1　将下列对数式化成指数式或将指数式转化为对数式：
(1)33＝27；(2)；
(3)5a＝16；(4)log5a＝20.
解　(1)∵33＝27，∴log327＝3.
(2)∵∴－3＝8.
(3)∵5a＝16，∴log516＝a.
(4)∵log5a＝20，∴520＝a.
反思感悟　指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1　将下列对数式化成指数式或将指数式转化为对数式：
(1)3－2＝；(2)－3＝125；
(3) (4)(x>0，且x≠1)．
解　(1)log3＝－2.
(2)
(3)－3＝27.
(4)()－6＝64.
二、对数的计算
例2　(1)求下列各式的值．
①log981＝________；
②log0.41＝________；
③ln e2＝________.
答案　①2　②0　③2
解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，
故x＝2，即log981＝2.
②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，
故x＝0，即log0.41＝0.
③设ln e2＝x，
所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
(2)求下列各式中x的值．
①log27x＝－；②logx16＝－4.
解　①由log27x＝－，
得
＝3－2＝.
②由logx16＝－4，得x－4＝16，
即x4＝＝4，
又x>0，且x≠1，∴x＝.
反思感悟　对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
跟踪训练2　求下列各式的值：
(1)log28；(2)log9；(3)ln e；(4)lg 1.
解　(1)设log28＝x，则2x＝8＝23.
∴x＝3.∴log28＝3.
(2)设log9＝x，则9x＝＝9－1，
∴x＝－1.∴log9＝－1.
(3)设ln e＝x，则ex＝e，
∴x＝1，∴ln e＝1.
(4)设lg 1＝x，则10x＝1＝100，
∴x＝0，∴lg 1＝0.
三、利用对数的性质求值
问题　你能把20＝1,21＝2，log2x＝log2x化成对数式或指数式吗？
提示　log21＝0；log22＝1；＝x.
知识梳理
对数的性质
(1)loga1＝0(a>0，a≠1)．
(2)logaa＝1(a>0，a≠1)．
(3)零和负数没有对数．
(4)对数恒等式：＝N；
logaax＝x(a>0，a≠1，N>0)．
例3　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)x＝.
解　(1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，
∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)
反思感悟　利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解．
跟踪训练3　求下列各式中x的值．
(1)log8[log7(log2x)]＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1.
解　(1)由log8[log7(log2x)]＝0，
得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1，
得log3(log2x)＝2，
∴log2x＝32＝9，∴x＝29.
1．知识清单：
(1)对数的概念．
(2)自然对数、常用对数．
(3)指数式与对数式的互化．
(4)对数的性质．
2．方法归纳：转化思想、方程思想．
3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．
1．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．只有正数有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以5为底25的对数等于2
D．成立
答案　AC
解析　B错误，如(－2)2＝4就不能化成对数式，D错误，对数式的真数a应大于0.
2．2－3＝化为对数式为(　　)
A．＝－3 B．＝2
C．＝－3 D．log2(－3)＝
答案　C
解析　根据对数的定义知选C.
3．已知log8x＝，则x＝________.
答案　4
解析　log8x＝化为指数式为
4．计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝______.
答案　0
解析　原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.
1．lg 10 000等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
2．已知logx16＝2，则x等于(　　)
A．4 B．±4 C．256 D．2
答案　A
解析　logx16＝2改写成指数式为x2＝16，但x作为对数的底数，必须取正值，∴x＝4.
3．方程的解是(　　)
A．9 B. C. D.
答案　D
解析　∵＝＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
4．(多选)下列等式正确的有(　　)
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
答案　AB
解析　A项，lg(lg 10)＝lg 1＝0；
B项，lg(ln e)＝lg 1＝0；
C项，若lg x＝10，则x＝1010；
D项，若ln x＝e，则x＝ee.
5．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n等于(　　)
A．3 B.
C．9 D.
答案　D
解析　由已知得am＝，an＝3.
所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2
＝×32＝.
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.3)(　　)
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
答案　D
解析　由L＝5＋lg V，L＝4.8，
得lg V＝－0.2，
所以V＝10－0.2＝＝
＝≈0.6，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.6.
7．已知log5[log3(log2x)]＝0，则x＝________，＝________.
答案　8　
解析　∵log5[log3(log2x)]＝0，
∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23＝8，
∴＝＝＝.
8．若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________．
答案　
解析　∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，
∴10b＝3.
∴
9．将下列指数式、对数式互化．
(1)35＝243；(2)2－5＝；
(3)；(4)log2128＝7.
解　(1)log3243＝5.
(2)log2＝－5.
(3)－4＝81.
(4)27＝128.
10．若，，求的值．
解　∵，∴m＝x，x2＝2m.
∵，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
11．－lg 0.01＋ln e3等于(　　)
A．14 B．0 C．1 D．6
答案　B
解析　－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg ＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.
12．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是(　　)
A．1 B．0 C．x D．y
答案　B
解析　由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，
则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，
∴logx(yx)＝log2(12)＝0.
13．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
答案　－3
解析　由log(1－x)(1＋x)2＝1，
得(1＋x)2＝1－x，
∴x2＋3x＝0，∴x＝0或x＝－3.
又∴x＝－3.
14．若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝________.
答案　8或
解析　设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1，所以log2x＝3或log2x＝－1，
所以x＝23＝8或x＝2－1＝.
15．若a>0，，则等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　因为，a>0，
所以a＝，
设＝x，所以x＝a.所以x＝3.
16．已知x＝log23，求的值．
解　由x＝log23，得2x＝3，∴2－x＝＝，
∴23x＝(2x)3＝33＝27,2－3x＝＝，
∴＝＝＝＝.

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