资源简介 培优课 函数性质的综合问题函数的性质是高中数学的核心内容,包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在历年的高考中函数的性质都占有非常重要的地位.命题时常常多种性质结合在一起进行考查,难度较大,技巧性比较强.一、函数的对称性例1 定义在R上的偶函数y=f(x),其图象关于点对称,且x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f 等于( )A.-1 B.0C.1 D.答案 B解析 ∵y=f(x)的图象关于点对称,∴f +f =0,即f(1+x)+f(-x)=0.又∵y=f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(1+x)+f(x)=0,即f(1+x)=-f(x),∴f =-f =0.反思感悟 求函数对称性问题的方法(1)若函数y=f(x)在定义域内任意的x满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称;(2)若函数y=f(x)在定义域内任意的x满足f(a+x)=-f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于点对称.跟踪训练1 已知奇函数f(x)的定义域R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(4)+f(5)=________.答案 -1解析 由于f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,由于f(x+2)为偶函数,所以f(x)关于直线x=2对称,所以f(4)+f(5)=f(0)+f(-1)=-f(1)=-1.二、函数性质的综合问题例2 已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f =.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.(1)解 根据题意得即解得∴f(x)=.(2)证明 任取x1,x2∈(-1,1),且令x1f(x1)-f(x2)=-=.∵-1∴x1-x2<0,1+x>0,1+x>0,1-x1x2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)解 f(t-1)<-f(t)=f(-t).∵f(x)在(-1,1)上是增函数,∴解得0∴不等式的解集为.反思感悟 奇偶性、单调性的综合应用利用函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值,解题时,一定要特别注意函数的定义域.跟踪训练2 已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).(1)求函数g(x)的定义域.(2)若f(x)为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式g(x)≤0的解集.解 (1)由题意可知所以解得故函数g(x)的定义域为.(2)由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,所以f(x-1)≤-f(3-2x).因为f(x)为奇函数,所以f(x-1)≤f(2x-3).而f(x)在(-2,2)上是减函数,所以解得所以不等式g(x)≤0的解集为.1.知识清单:(1)函数的对称轴和对称中心.(2)函数性质的综合问题.2.方法归纳:数形结合、等价转化.3.常见误区:容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0.1.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若x1<0且x1+x2>0,则( )A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不确定答案 A2.(多选)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则下列结论正确的是( )A.|f(x)|≥2B.当x<0时,f(x)=-x2-2x-3C.x=1是f(x)图象的一条对称轴D.f(x)在(-∞,-1)上是增函数答案 ABD解析 ∵当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3,即B正确;函数f(x)的简图如下,由图可知,|f(x)|≥2,即A正确;x=1不是f(x)图象的对称轴,即C错误;f(x)在(-∞,-1)上是增函数,即D正确.3.已知定义在R上的奇函数f(x),且当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是( )A.(-∞,1) B.(-1,+∞)C.[-1,+∞) D.(-∞,1]答案 C解析 因为函数f(x)是奇函数,所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1).又当x≥0时,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在R上为增函数,所以f(2x+1)≥f(-1)等价于2x+1≥-1,解得x≥-1.4.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x+2)<5的解集是________.答案 (-7,3)1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f(2)的值是( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 A解析 由题意得f(0+2)=f(2)=f(0)=0.2.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上( )A.是增函数 B.是减函数C.有增有减 D.单调性不确定答案 B解析 由f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),得m=0,所以f(x)=-x2+3,画出函数f(x)=-x2+3的图象(图略)知,在区间(2,5)上是减函数.3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)=f(4-x),当-2≤x<0时,f(x)=,则f 等于( )A.-2 B.-C. D.2答案 D解析 ∵f(x)=f(4-x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f =f .又∵函数f(x)为奇函数,∴f =-f =-(-2)=2,即f =2.4.已知偶函数y=f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,且图象经过点(-1,0)和(3,5),则当x∈[-3,-1]时,函数y=f(x)的值域是( )A.[0,5] B.[-1,5]C.[1,3] D.[3,5]答案 A解析 偶函数y=f(x)在区间[0,+∞]上单调递增,则函数在[-3,-1]上单调递减,且f(-3)=f(3)=5,f(-1)=0,故函数的值域为[0,5].5.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,则满足f(2x-1)A. B.C. D.答案 A解析 偶函数满足f(x)=f(|x|),根据这个结论,有f(2x-1)解这个不等式得x的取值范围是.6.(多选)若函数y=f(x)是偶函数,定义域为R,且该函数图象与x轴的交点有3个,则下列说法正确的是( )A.3个交点的横坐标之和为0B.3个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关C.f(0)=0D.f(0)的值与函数解析式有关答案 AC7.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________.答案 (-4,-2)∪(0,2)解析 设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数,由图象可知,当-40,g(x)<0,即h(x)<0,则当00,即h(x)<0,所以h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________.答案 0解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.又f(x)关于直线x=对称,∴f =f .①在①式中,当x=时,f(0)=f(1)=0.在①式中,以+x代替x,得f =f ,即f(-x)=f(1+x).∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0,f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0,同理,f(4)=f(5)=0.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.9.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=1+.(1)求f(2)的值.(2)用定义法判断y=f(x)在区间(-∞,0)上的单调性.(3)求当x>0时,f(x)的解析式.解 (1)根据题意,得函数f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=1+,则f(2)=-f(-2)=-=-.(2)根据题意得,当x<0时,f(x)=1+.在(-∞,0)上任取x1,x2,设x1则f(x1)-f(x2)=-=-=.又由x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).由定义可知,函数y=f(x)在区间(-∞,0)上为减函数.(3)当x>0时,-x<0,则f(-x)=1-,由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x),所以f(x)=-1+=-.10.已知函数f(x)=x2-mx(m>0)在区间[0,2]上的最小值为g(m).(1)求函数g(m)的解析式;(2)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数h(x)为偶函数,且当x>0时,h(x)=g(x).若h(t)>h(4),求实数t的取值范围.解 (1)因为f(x)=x2-mx=2-(m>0),所以当0<≤2,即0g(m)=f =-.当m>4时,函数f(x)=2-在区间[0,2]上单调递减,此时g(m)=f(2)=4-2m.综上可知,g(m)=(2)因为当x>0时,h(x)=g(x),所以当x>0时,h(x)=易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数h(x)为偶函数,且h(t)>h(4),所以0<|t|<4,解得-4综上所述,实数t的取值范围为(-4,0)∪(0,4).11.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上是减函数,且f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f 的大小关系为( )A.f(4)B.f(-1)C.f D.f(-1)答案 A解析 函数y=f(x+2)为偶函数,则函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f =f ,f(4)=f(0),∵f(x)在(-∞,2)上单调递减,-<-1<0,∴f >f(-1)>f(0),即f(4)12.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( )A.f(x)-1为奇函数B.f(x)-1为偶函数C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数答案 C解析 ∵对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,令x1=x2=0,得f(0)=-1.令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1.∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1],∴f(x)+1为奇函数.13.设定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为( )A.{x|-11}B.{x|x<-1或0C.{x|x<-1或x>1}D.{x|-1答案 D解析 ∵奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(-x)=-f(x),x[f(x)-f(-x)]<0,∴xf(x)<0,又f(1)=0,∴f(-1)=0,从而有函数f(x)的大致图象如图所示.则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为{x|-114.已知函数f(x)=若f(x-1)答案 (-∞,-2)∪(0,+∞)解析 若x>0,则-x<0,f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x=f(x),同理可得,当x<0时,f(-x)=f(x),且x=0时,f(0)=f(0),所以f(x)是偶函数.因为当x>0时,函数f(x)是增函数,所以不等式f(x-1)整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.15.已知函数f(x)是R上的偶函数,且对任意的x∈R有f(x+3)=-f(x),当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,则f(8)等于( )A.-1 B.-9 C.5 D.11答案 B解析 根据题意,函数f(x)满足f(x+6)=f(x),则f(8)=f(2),由函数f(x)为偶函数,得f(2)=f(-2).当x∈(-3,0)时,f(x)=2x-5,则f(-2)=2×(-2)-5=-9.则f(8)=f(2)=f(-2)=-9.16.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数y=f(x)满足f(xy)=f(x)-f ,且函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.(1)求f(-1),并证明函数y=f(x)是偶函数;(2)若f(2)=1,解不等式f -f ≤1.解 (1)令y=≠0,则f =f(x)-f ,得f(1)=f(x)-f(x)=0,再令x=1,y=-1,可得f(-1)=f(1)-f(-1),得2f(-1)=f(1)=0,所以f(-1)=0,令y=-1,可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x),又该函数的定义域关于原点对称,所以f(x)是偶函数.(2)因为f(2)=1,又该函数为偶函数,所以f(-2)=1.因为函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f -f =f =f(2x-4),所以f(|2x-4|)≤f(2),即解得2所以不等式f -f ≤1的解集为[1,2)∪(2,3]. 展开更多...... 收起↑ 资源预览