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培优课　与指数函数、对数函数有关的复合函数
与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．
一、复合函数单调性的判断与应用
例1　讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
解　由3x2－2x－1>0得函数的定义域为
.
则当a>1时，
若x>1，则u＝3x2－2x－1是增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)是增函数；
若x<－，则u＝3x2－2x－1是减函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)是减函数．
当0若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)是减函数；
若x<－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)是增函数．
综上所述，当a>1时，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，在上是减函数；当0例2　已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．
解　令g(x)＝x2－ax＋a，
g(x)在上是减函数，
∵0<<1，
∴是关于g(x)的减函数．
而已知复合函数在区间(－∞，)上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上是减函数，
且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故实数a的取值范围是[2，2＋2]．
反思感悟　(1)形如函数y＝logaf(x)的单调性判断
首先要求定义域，在定义域内，当a>1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性保持一致，当0(2)已知复合函数的单调性求参数的取值范围要注意
①函数的定义域．
②遵循“同增异减”原则．
③区别“在区间[a，b]上是增(减)函数”与“增(减)区间是[a，b]”．
跟踪训练1　(1)函数的增区间是(　　)
A．(－1,1] B．(－∞，1)
C．[1,3) D．(1，＋∞)
答案　C
解析　由题意得，要使函数有意义，则要满足－x2＋2x＋3>0，
解得－1即函数的定义域为(－1,3)，
令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在区间(－1,1]上是增函数，在区间[1,3)上是减函数，
又由函数在定义域上是减函数，
所以的增区间为[1,3)．
(2)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是________．
答案　a≥1
解析　因为函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，
若f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，
则t＝|x－a|在区间(－∞，1]上单调递减，
又函数t＝|x－a|在区间(－∞，a]上单调递减，
所以(－∞，1] (－∞，a]，故有a≥1.
二、复合函数的值域与最值问题
例3　求函数的值域．
解　设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0又在(0,4]上是减函数，
∴的值域为[－2，＋∞)．
例4　求函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解　因为2≤x≤4，所以
即－2≤≤－1.
设，则－2≤t≤－1.
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；
当t＝－1时，ymin＝.
反思感悟　求复合函数的最值
(1)首先恰当地把复合函数分解为两个或多个基本函数．
(2)然后按照“由内到外”的原则，利用函数的性质求最值．
跟踪训练2　(1)函数的值域为________．
答案　(0,2]
解析　∵1－x2≤1，∴≤21＝2，
∴0(2)函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的最小值为________．
答案　1
解析　令u＝x2＋2x＋4，
则u＝(x＋1)2＋3≥3，
∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，
即函数f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的最小值为1.
三、判断复合函数的奇偶性
例5　(1)判断函数f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)的奇偶性，并说明理由．
解　函数f(x)＝loga(x＋)为奇函数，理由如下：
由题意得，x＋>0恒成立，故f(x)的定义域为R，关于原点对称，
其中f(－x)＝loga(－x＋)
＝loga(－x＋)
＝loga
＝loga(x＋)－1
＝－loga(x＋)＝－f(x)，
故f(x)＝loga(x＋)是奇函数．
(2)若函数f(x)＝2x＋为偶函数，则a＝________.
答案　1
解析　函数的定义域为R，关于原点对称．任取x∈R，
f(－x)＝2－x＋＝＋a·2x.
因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，则有a＝1.
反思感悟　本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零．
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝log2是奇函数，则a＝______，不等式f(x)<0的解集是________．
答案　1　(－1,0)
解析　由题意f(0)＝log2(2－a)＝0，a＝1，
此时函数为f(x)＝log2＝log2为奇函数，
所以由f(x)＝log2<0，得0<<1，
解得－1(2)若a>0且a≠1，则函数f(x)＝＋是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．不是奇函数也不是偶函数
D．奇偶性与a的具体取值有关
答案　B
解析　函数定义域是{x|x≠0}，f(－x)＝－＝－＝－＝＋＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．
1．知识清单：
(1)指数、对数型函数的单调性．
(2)指数、对数型函数的值域和最值问题．
(3)指数、对数型函数的奇偶性．
2．方法归纳：换元法．
3．常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域．
1．函数y＝1－x的增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案　A
解析　函数y＝1－x的定义域为R.
设u＝1－x，则y＝u.
∵u＝1－x为减函数，
y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数．
则y＝1－x的增区间为(－∞，＋∞)．
2．(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,1)上单调递增
B．f(x)在(0,1)上单调递减
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案　AC
解析　由题意知，f(x)的定义域为(0,2)，
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(－x2＋2x)，
令μ＝－x2＋2x，x∈(0,2)，
μ的单调增区间为(0,1)，
μ的单调减区间为(1,2)，
又y＝ln μ单调递增，
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,2)，
∴A正确，B错误；
∵函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，
∴f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x，
即f(x)＝f(2－x)，
即f(x)的图象关于直线x＝1对称．
∴C正确，D错误．
3．函数的值域是________．
答案　
解析　令t＝
＝，
则0≤t≤，
∴y＝t∈，
即函数的值域是.
4．函数f(x)＝log2·log2(1≤x≤4)的值域为________．
答案　
解析　∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－2)·(log2x－1)
＝2－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，
即x＝＝2时，f(x)取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值为2，
∴函数f(x)的值域是.
1．函数f(x)＝的增区间为(　　)
A．(－∞，2) B．(1,2)
C．(2,3) D．(2，＋∞)
答案　B
解析　由题意知f(x)的定义域为[1,3]，
令g(x)＝，
因为f(x)＝2g(x)在定义域上为增函数，
所以只需求g(x)＝的增区间即可，
令h(x)＝－x2＋4x－3，
由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知1≤x≤3，
即f(x)＝的增区间为[1,2]，也可写作(1,2)．
2．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C.∪(1，＋∞) D.
答案　B
解析　令u＝(2a－1)x＋3，由于函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，函数y＝3u为R上的增函数，则函数u＝(2a－1)x＋3为R上的减函数，所以2a－1<0，解得a<.
3．函数f(x)＝x－x＋1在[－1,2]上的最小值是(　　)
A．1 B. C. D．3
答案　C
解析　由题意，得函数f(x)＝x－x＋1＝2x－x＋1，
设t＝x，因为x∈[－1,2]，
所以t＝x∈，
则函数y＝t2－t＋1＝2＋，
当t＝时，ymin＝.
4．对于函数f(x)＝，下列描述正确的选项是(　　)
A．是减函数且值域为(－1,1)
B．是增函数且值域为(－1,1)
C．是减函数且值域为(－∞，1)
D．是增函数且值域为(－∞，1)
答案　B
解析　函数f(x)＝＝1－，x∈R，
因为函数y＝3x>0且在R上是增函数，
所以y＝是减函数，
所以f(x)为R上的增函数，
又3x∈(0，＋∞)，所以3x＋1∈(1，＋∞)，∈(0,2)，
所以f(x)＝1－∈(－1,1)，即f(x)的值域为(－1,1)．
5．(多选)如果函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么(　　)
A．f(x)在(1，＋∞)上为增函数且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上为减函数且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
答案　AD
解析　由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．
设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；
因为f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上为减函数，所以a>1，
所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上为增函数且无最大值，A正确，B错误；
又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．
6．(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　　)
A．g(x)是偶函数
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在R上是增函数
D．g(x)的值域是{－1,0,1}
答案　BC
解析　∵g(1)＝[f(1)]＝＝0，
g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1，
∴g(－1)≠g(1)，则g(x)不是偶函数，
故A错误；
∵f(x)＝－的定义域为R，
f(－x)＋f(x)＝＋－1＝＋－1＝－1＝0，
∴f(x)为奇函数，故B正确；
∵f(x)＝－＝－
＝－，
又y＝2x在R上是增函数，
∴f(x)＝－在R上是增函数，
故C正确；
∵2x>0，∴1＋2x>1，
则0<<1，
可得－<－<.
即－∴g(x)的值域是{－1,0}，故D错误．
7．函数f(x)＝的增区间为________．
答案　(－∞，1)
解析　令t＝x2－2x－1，
所以函数t＝x2－2x－1＝(x－1)2－2在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
又y＝t是R上的减函数，
故f(x)＝在(－∞，1)上是增函数，
在(1，＋∞)上是减函数．
故f(x)的增区间为(－∞，1)．
8．设函数f(x)＝－，若f(2m－1)＋f(m－2)<0，则实数m的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　∵函数的定义域为R，f(－x)＝－＝－＝－＝－＋＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
又f(x)在R上单调递减，由f(2m－1)＋f(m－2)<0，得f(2m－1)<－f(m－2)＝f(2－m)，∴2m－1>2－m，解得m>1.
9．已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的值域．
解　(1)∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0，
解得a＝2，经检验a＝2符合题意．
(2)由(1)知，f(x)＝＝＝1－在R上单调递增，
∵2x＋1>1，
∴0<<2，
∴－2<－<0，
∴－1<1－<1，
∴函数f(x)的值域为(－1,1)．
10．已知函数f(x)＝log2.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)解不等式f(2x)>f(1－x) .
解　(1)由>0得－1又因为f(－x)＝log2＝log2－1
＝－log2＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
(2)设任意x1，x2∈(－1,1)，x1则1－x2>0,1＋x1>0，
f(x1)－f(x2)＝log2－log2
＝log2，
又(1＋x1)(1－x2)－(1－x1)(1＋x2)＝2(x1－x2)<0，(1＋x1)(1－x2)>0，
则0<(1＋x1)(1－x2)<(1－x1)(1＋x2)，
则0<<1，
即log2<0，
即f(x1)(3)由(2)知，函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
所以由f(2x)>f(1－x)，可得
解得所以不等式的解集为.
11．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
答案　B
解析　∵y＝loga(2－ax)在[0,1]上单调递减，
令u＝2－ax，又a>0，∴u＝2－ax在[0,1]上单调递减，∴y＝logau在[2－a,2]上单调递增，∴a>1.又2－ax>0在x∈[0,1]时恒成立，
∴umin＝2－a×1＝2－a>0，即a<2，
综上，a的取值范围为(1,2)．
12．函数f(x)＝(log2x)2－log2x3＋4，x∈(1,4]的值域为(　　)
A．[2,4) B.
C. D.
答案　C
解析　令t＝log2x，
则t∈(0,2]，
∴原函数化为y＝t2－3t＋4，t∈(0,2]，
其对称轴方程为t＝，
∴当t＝时，y有最小值为2－3×＋4＝；
当t＝0时，y有最大值为4，但取不到．
∴f(x)的值域为.
13．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则满足f(log2x)>f(2)的x的取值范围是(　　)
A．(－4,4) B.∪(4，＋∞)
C. D.∪(4，＋∞)
答案　B
解析　由于函数y＝f(x)是偶函数，
由f(log2x)>f(2)，得f(|log2x|)>f(2)，
又∵函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，
∴|log2x|>2，
即log2x<－2或log2x>2，
解得04.
因此，所求x的取值范围是∪(4，＋∞)．
14．已知函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(x2－2x－8)的增区间为________．
答案　(4，＋∞)
解析　函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝ln x，
所以f(x2－2x－8)的增区间满足解得x>4.
15．(多选)定义运算 ：①对 m∈R，m 0＝0 m＝m；②对 m，n，p∈R，(m n) p＝p (mn)＋m p＋n p.若f(x)＝ex－1 e1－x，则有(　　)
A．函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称
B．函数f(x)在R上单调递增
C．函数y＝f(x)的最小值为2
D．
答案　AD
解析　依题意，得f(x)＝ex－1 e1－x＝(ex－1 e1－x) 0＝0 (ex－1·e1－x)＋ex－1 0＋e1－x 0＝e0＋ex－1＋e1－x＝ex－1＋e1－x＋1，
故f(1－x)＝e－x＋ex＋1，f(1＋x)＝ex＋e－x＋1，
即f(1－x)＝f(1＋x)，函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故A正确；
f(x)＝ex－1＋e1－x＋1＝ex－1＋＋1，
令u＝ex－1，则y＝u＋＋1，
当x<1时，u＝ex－1∈(0,1)，单调递增，此时y＝u＋＋1单调递减，故y＝f(x)在(－∞，1)上单调递减；
当x>1时，u＝ex－1∈(1，＋∞)，单调递增，此时y＝u＋＋1单调递增，故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故B错误；
根据单调性知y＝f(x)在x＝1时取得最小值，
f(1)＝e0＋e0＋1＝3，故C错误；
因为，
根据单调性得，故D错误．
16．已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
解　(1)由f(x)的定义域为R，
得ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，由2x＋1>0，
解得x>－，不符合题意；
当a≠0时，
由 得a>1.
即实数a的取值范围为(1，＋∞)．
(2)因为f(x)的值域为R，
所以{y|y＝ax2＋2x＋1} (0，＋∞)，
(也可以说y＝ax2＋2x＋1取遍一切正数)
①当a＝0时，y＝2x＋1可以取遍一切正数，符合题意；
②当a≠0时，需即0综上，实数a的取值范围为[0,1]．

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