资源简介 培优课 与指数函数、对数函数有关的复合函数与指数函数、对数函数有关的复合函数,主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数,求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题,一般采用换元思想,把复杂的复合函数化成简单的初等函数.一、复合函数单调性的判断与应用例1 讨论函数f(x)=loga(3x2-2x-1)的单调性.解 由3x2-2x-1>0得函数的定义域为.则当a>1时,若x>1,则u=3x2-2x-1是增函数,∴f(x)=loga(3x2-2x-1)是增函数;若x<-,则u=3x2-2x-1是减函数,∴f(x)=loga(3x2-2x-1)是减函数.当0若x>1,则f(x)=loga(3x2-2x-1)是减函数;若x<-,则f(x)=loga(3x2-2x-1)是增函数.综上所述,当a>1时,函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,在上是减函数;当0例2 已知函数在区间(-∞,)上是增函数,求实数a的取值范围.解 令g(x)=x2-ax+a,g(x)在上是减函数,∵0<<1,∴是关于g(x)的减函数.而已知复合函数在区间(-∞,)上是增函数,∴只要g(x)在(-∞,)上是减函数,且g(x)>0在x∈(-∞,)上恒成立,即∴2≤a≤2(+1),故实数a的取值范围是[2,2+2].反思感悟 (1)形如函数y=logaf(x)的单调性判断首先要求定义域,在定义域内,当a>1时,y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性保持一致,当0(2)已知复合函数的单调性求参数的取值范围要注意①函数的定义域.②遵循“同增异减”原则.③区别“在区间[a,b]上是增(减)函数”与“增(减)区间是[a,b]”.跟踪训练1 (1)函数的增区间是( )A.(-1,1] B.(-∞,1)C.[1,3) D.(1,+∞)答案 C解析 由题意得,要使函数有意义,则要满足-x2+2x+3>0,解得-1即函数的定义域为(-1,3),令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在区间(-1,1]上是增函数,在区间[1,3)上是减函数,又由函数在定义域上是减函数,所以的增区间为[1,3).(2)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是________.答案 a≥1解析 因为函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,则t=|x-a|在区间(-∞,1]上单调递减,又函数t=|x-a|在区间(-∞,a]上单调递减,所以(-∞,1] (-∞,a],故有a≥1.二、复合函数的值域与最值问题例3 求函数的值域.解 设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.∵u>0,∴0又在(0,4]上是减函数,∴的值域为[-2,+∞).例4 求函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.解 因为2≤x≤4,所以即-2≤≤-1.设,则-2≤t≤-1.所以y=t2-t+5,其图象的对称轴为直线t=,所以当t=-2时,ymax=10;当t=-1时,ymin=.反思感悟 求复合函数的最值(1)首先恰当地把复合函数分解为两个或多个基本函数.(2)然后按照“由内到外”的原则,利用函数的性质求最值.跟踪训练2 (1)函数的值域为________.答案 (0,2]解析 ∵1-x2≤1,∴≤21=2,∴0(2)函数f(x)=log3(x2+2x+4)的最小值为________.答案 1解析 令u=x2+2x+4,则u=(x+1)2+3≥3,∴log3(x2+2x+4)≥log33=1,即函数f(x)=log3(x2+2x+4)的最小值为1.三、判断复合函数的奇偶性例5 (1)判断函数f(x)=loga(x+)(a>0且a≠1)的奇偶性,并说明理由.解 函数f(x)=loga(x+)为奇函数,理由如下:由题意得,x+>0恒成立,故f(x)的定义域为R,关于原点对称,其中f(-x)=loga(-x+)=loga(-x+)=loga=loga(x+)-1=-loga(x+)=-f(x),故f(x)=loga(x+)是奇函数.(2)若函数f(x)=2x+为偶函数,则a=________.答案 1解析 函数的定义域为R,关于原点对称.任取x∈R,f(-x)=2-x+=+a·2x.因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),则有a=1.反思感悟 本题考查函数奇偶性的应用,以及不等式恒成立问题,将恒成立问题转化为最值问题是关键,另外要注意对数的真数部分也要恒大于零.跟踪训练3 (1)已知函数f(x)=log2是奇函数,则a=______,不等式f(x)<0的解集是________.答案 1 (-1,0)解析 由题意f(0)=log2(2-a)=0,a=1,此时函数为f(x)=log2=log2为奇函数,所以由f(x)=log2<0,得0<<1,解得-1(2)若a>0且a≠1,则函数f(x)=+是( )A.奇函数B.偶函数C.不是奇函数也不是偶函数D.奇偶性与a的具体取值有关答案 B解析 函数定义域是{x|x≠0},f(-x)=-=-=-=+=f(x),故函数f(x)为偶函数.1.知识清单:(1)指数、对数型函数的单调性.(2)指数、对数型函数的值域和最值问题.(3)指数、对数型函数的奇偶性.2.方法归纳:换元法.3.常见误区:求对数型函数的单调性易忽视定义域.1.函数y=1-x的增区间为( )A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(0,1)答案 A解析 函数y=1-x的定义域为R.设u=1-x,则y=u.∵u=1-x为减函数,y=u在(-∞,+∞)上为减函数,∴y=1-x在(-∞,+∞)上是增函数.则y=1-x的增区间为(-∞,+∞).2.(多选)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A.f(x)在(0,1)上单调递增B.f(x)在(0,1)上单调递减C.f(x)的图象关于直线x=1对称D.f(x)的图象关于点(1,0)对称答案 AC解析 由题意知,f(x)的定义域为(0,2),f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),令μ=-x2+2x,x∈(0,2),μ的单调增区间为(0,1),μ的单调减区间为(1,2),又y=ln μ单调递增,∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,2),∴A正确,B错误;∵函数f(x)=ln x+ln(2-x),∴f(2-x)=ln(2-x)+ln x,即f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称.∴C正确,D错误.3.函数的值域是________.答案 解析 令t==,则0≤t≤,∴y=t∈,即函数的值域是.4.函数f(x)=log2·log2(1≤x≤4)的值域为________.答案 解析 ∵f(x)=log2·log2=(log2x-2)·(log2x-1)=2-,又∵1≤x≤4,∴0≤log2x≤2,∴当log2x=,即x==2时,f(x)取最小值-;当log2x=0,即x=1时,f(x)取得最大值为2,∴函数f(x)的值域是.1.函数f(x)=的增区间为( )A.(-∞,2) B.(1,2)C.(2,3) D.(2,+∞)答案 B解析 由题意知f(x)的定义域为[1,3],令g(x)=,因为f(x)=2g(x)在定义域上为增函数,所以只需求g(x)=的增区间即可,令h(x)=-x2+4x-3,由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知1≤x≤3,即f(x)=的增区间为[1,2],也可写作(1,2).2.若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,则实数a的取值范围为( )A. B.C.∪(1,+∞) D.答案 B解析 令u=(2a-1)x+3,由于函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,函数y=3u为R上的增函数,则函数u=(2a-1)x+3为R上的减函数,所以2a-1<0,解得a<.3.函数f(x)=x-x+1在[-1,2]上的最小值是( )A.1 B. C. D.3答案 C解析 由题意,得函数f(x)=x-x+1=2x-x+1,设t=x,因为x∈[-1,2],所以t=x∈,则函数y=t2-t+1=2+,当t=时,ymin=.4.对于函数f(x)=,下列描述正确的选项是( )A.是减函数且值域为(-1,1)B.是增函数且值域为(-1,1)C.是减函数且值域为(-∞,1)D.是增函数且值域为(-∞,1)答案 B解析 函数f(x)==1-,x∈R,因为函数y=3x>0且在R上是增函数,所以y=是减函数,所以f(x)为R上的增函数,又3x∈(0,+∞),所以3x+1∈(1,+∞),∈(0,2),所以f(x)=1-∈(-1,1),即f(x)的值域为(-1,1).5.(多选)如果函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,那么( )A.f(x)在(1,+∞)上为增函数且无最大值B.f(x)在(1,+∞)上为减函数且无最小值C.f(x)在定义域内是偶函数D.f(x)的图象关于直线x=1对称答案 AD解析 由|x-1|>0得,函数y=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1}.设g(x)=|x-1|=则g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,且g(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,D正确;因为f(x)=loga|x-1|在(0,1)上为减函数,所以a>1,所以f(x)=loga|x-1|在(1,+∞)上为增函数且无最大值,A正确,B错误;又f(-x)=loga|-x-1|=loga|x+1|≠f(x),所以C错误.6.(多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是( )A.g(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)在R上是增函数D.g(x)的值域是{-1,0,1}答案 BC解析 ∵g(1)=[f(1)]==0,g(-1)=[f(-1)]==-1,∴g(-1)≠g(1),则g(x)不是偶函数,故A错误;∵f(x)=-的定义域为R,f(-x)+f(x)=+-1=+-1=-1=0,∴f(x)为奇函数,故B正确;∵f(x)=-=-=-,又y=2x在R上是增函数,∴f(x)=-在R上是增函数,故C正确;∵2x>0,∴1+2x>1,则0<<1,可得-<-<.即-∴g(x)的值域是{-1,0},故D错误.7.函数f(x)=的增区间为________.答案 (-∞,1)解析 令t=x2-2x-1,所以函数t=x2-2x-1=(x-1)2-2在(-∞,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.又y=t是R上的减函数,故f(x)=在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.故f(x)的增区间为(-∞,1).8.设函数f(x)=-,若f(2m-1)+f(m-2)<0,则实数m的取值范围是________.答案 (1,+∞)解析 ∵函数的定义域为R,f(-x)=-=-=-=-+=-f(x),∴f(x)为奇函数,又f(x)在R上单调递减,由f(2m-1)+f(m-2)<0,得f(2m-1)<-f(m-2)=f(2-m),∴2m-1>2-m,解得m>1.9.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)是定义在R上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域.解 (1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,解得a=2,经检验a=2符合题意.(2)由(1)知,f(x)===1-在R上单调递增,∵2x+1>1,∴0<<2,∴-2<-<0,∴-1<1-<1,∴函数f(x)的值域为(-1,1).10.已知函数f(x)=log2.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解不等式f(2x)>f(1-x) .解 (1)由>0得-1又因为f(-x)=log2=log2-1=-log2=-f(x),故函数f(x)为奇函数.(2)设任意x1,x2∈(-1,1),x1则1-x2>0,1+x1>0,f(x1)-f(x2)=log2-log2=log2,又(1+x1)(1-x2)-(1-x1)(1+x2)=2(x1-x2)<0,(1+x1)(1-x2)>0,则0<(1+x1)(1-x2)<(1-x1)(1+x2),则0<<1,即log2<0,即f(x1)(3)由(2)知,函数f(x)在(-1,1)上单调递增,所以由f(2x)>f(1-x),可得解得所以不等式的解集为.11.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上单调递减,则a的取值范围为( )A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2) D.[2,+∞)答案 B解析 ∵y=loga(2-ax)在[0,1]上单调递减,令u=2-ax,又a>0,∴u=2-ax在[0,1]上单调递减,∴y=logau在[2-a,2]上单调递增,∴a>1.又2-ax>0在x∈[0,1]时恒成立,∴umin=2-a×1=2-a>0,即a<2,综上,a的取值范围为(1,2).12.函数f(x)=(log2x)2-log2x3+4,x∈(1,4]的值域为( )A.[2,4) B.C. D.答案 C解析 令t=log2x,则t∈(0,2],∴原函数化为y=t2-3t+4,t∈(0,2],其对称轴方程为t=,∴当t=时,y有最小值为2-3×+4=;当t=0时,y有最大值为4,但取不到.∴f(x)的值域为.13.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,则满足f(log2x)>f(2)的x的取值范围是( )A.(-4,4) B.∪(4,+∞)C. D.∪(4,+∞)答案 B解析 由于函数y=f(x)是偶函数,由f(log2x)>f(2),得f(|log2x|)>f(2),又∵函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,∴|log2x|>2,即log2x<-2或log2x>2,解得04.因此,所求x的取值范围是∪(4,+∞).14.已知函数y=f(x)与y=ex的图象关于直线y=x对称,则f(x2-2x-8)的增区间为________.答案 (4,+∞)解析 函数y=f(x)与y=ex的图象关于直线y=x对称,则f(x)=ln x,所以f(x2-2x-8)的增区间满足解得x>4.15.(多选)定义运算 :①对 m∈R,m 0=0 m=m;②对 m,n,p∈R,(m n) p=p (mn)+m p+n p.若f(x)=ex-1 e1-x,则有( )A.函数y=f(x)的图象关于x=1对称B.函数f(x)在R上单调递增C.函数y=f(x)的最小值为2D.答案 AD解析 依题意,得f(x)=ex-1 e1-x=(ex-1 e1-x) 0=0 (ex-1·e1-x)+ex-1 0+e1-x 0=e0+ex-1+e1-x=ex-1+e1-x+1,故f(1-x)=e-x+ex+1,f(1+x)=ex+e-x+1,即f(1-x)=f(1+x),函数y=f(x)的图象关于x=1对称,故A正确;f(x)=ex-1+e1-x+1=ex-1++1,令u=ex-1,则y=u++1,当x<1时,u=ex-1∈(0,1),单调递增,此时y=u++1单调递减,故y=f(x)在(-∞,1)上单调递减;当x>1时,u=ex-1∈(1,+∞),单调递增,此时y=u++1单调递增,故y=f(x)在(1,+∞)上单调递增,故B错误;根据单调性知y=f(x)在x=1时取得最小值,f(1)=e0+e0+1=3,故C错误;因为,根据单调性得,故D错误.16.已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.解 (1)由f(x)的定义域为R,得ax2+2x+1>0恒成立,当a=0时,由2x+1>0,解得x>-,不符合题意;当a≠0时,由 得a>1.即实数a的取值范围为(1,+∞).(2)因为f(x)的值域为R,所以{y|y=ax2+2x+1} (0,+∞),(也可以说y=ax2+2x+1取遍一切正数)①当a=0时,y=2x+1可以取遍一切正数,符合题意;②当a≠0时,需即0综上,实数a的取值范围为[0,1]. 展开更多...... 收起↑ 资源预览