资源简介 第1课时 奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.导语在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……而对称美在函数中更是体现的淋漓尽致,今天我们来探究函数中的对称美.一、函数的奇偶性的概念及判断问题1 观察下列函数图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?提示 这两个函数图象都关于y轴对称.问题2 如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢?不妨取自变量的一些特殊值,观察下表相应函数值的情况.x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …f(x)=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 …提示 可以发现当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等.问题3 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?提示 可以发现,两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.知识梳理函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数 关于y轴对称奇函数 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数 关于原点对称注意点:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.(2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称.(3)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0.(4)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集.例1 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=1-|x3|;(2)f(x)=+;(3)f(x)=;(4)f(x)=解 (1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=1-|-x3|=1-|x3|=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,则f(x)=0,又f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x),所以f(x)既是偶函数又是奇函数.(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.反思感悟 判断函数的奇偶性,一般有以下两种方法(1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.(2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=;(2)f(x)=x2(x2+2).解 (1)f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(-x)=-=-f(x),∴f(x)=是奇函数.(2)f(x)=x2(x2+2)的定义域为R.∵f(-x)=f(x),∴f(x)=x2(x2+2)是偶函数.二、奇、偶函数的图象及应用例2 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补全函数y=f(x)的图象;(2)根据图象写出函数y=f(x)的增区间;(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.解 (1)由题意作出函数图象如图.(2)据图可知,增区间为(-1,0),(1,+∞).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2延伸探究1.本例条件下,f(x)取何值时,有四个不同的x值与之对应?解 结合图象可知,f(x)的取值范围是(-1,0).2.若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题?解 (1)由题意作出函数图象如图所示.(2)据图可知,增区间为(-1,1).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.反思感悟 巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.跟踪训练2 定义在[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示.(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象;(2)比较f(1)与f(3)的大小.解 (1)由于f(x)是奇函数,则其图象关于原点对称,其图象如图所示.(2)观察图象,知f(3)三、利用函数的奇偶性求值例3 (1)已知函数f(x)=为奇函数,则a=________;b=________.答案 -1 1解析 当x<0时,-x>0,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).即ax2-bx=-x2-x,∴a=-1,b=1.(2)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=________.答案 7解析 令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数,∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,又f(-3)=-3,∴g(3)=5.又f(3)=g(3)+2,∴f(3)=5+2=7.反思感悟 利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数.(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.跟踪训练3 (1)设函数f(x)=为奇函数,则a=________.答案 -1解析 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1.(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x∈[0,+∞)时,f(x)=则f(f(-2))=________.答案 1解析 因为f(x)为R上的偶函数,所以f(-2)=f(2)=0,所以f(f(-2))=f(0)=1.1.知识清单:(1)函数奇偶性的概念.(2)奇函数、偶函数的图象特征.(3)利用函数的奇偶性求值.2.方法归纳:特值法、数形结合法.3.常见误区:忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.1.函数y=f(x),x∈[-1,a]是奇函数,则a等于( )A.-1 B.0C.1 D.无法确定答案 C解析 ∵奇函数的定义域关于原点对称,∴a-1=0,即a=1.2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )答案 B解析 选项A,C中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.3.(多选)下列函数是奇函数的是( )A.y=x(x∈[0,1]) B.y=3x2C.y= D.y=x|x|答案 CD解析 利用奇函数的定义,首先定义域关于原点对称,排除选项A;又奇函数需满足f(-x)=-f(x),排除选项B.4.已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是________.答案 0解析 由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上,所以四个实根的和为0.1.(多选)下列函数中为奇函数的是( )A.f(x)=x3 B.f(x)=x5C.f(x)=x+ D.f(x)=答案 ABC解析 选项ABC中的函数满足f(-x)=-f(x),由奇函数的定义可知选ABC.2.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案 B解析 ∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x).又x∈(-a,a)关于原点对称,∴F(x)是偶函数.3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2-x,则f(1)等于( )A.- B.-C. D.答案 A解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-.4.函数f(x)=-x的图象( )A.关于y轴对称B.关于直线y=x对称C.关于坐标原点对称D.关于直线y=-x对称答案 C解析 ∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=--(-x)=x-=-f(x),∴f(x)是奇函数,图象关于原点对称.5.若f(x)=3x3+5x+a-1为奇函数,则a的值为( )A.0 B.-1 C.1 D.2答案 C解析 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,得a=1.6.(多选)若f(x)为R上的奇函数,下列四个说法正确的是( )A.f(x)+f(-x)=0B.f(x)-f(-x)=2f(x)C.f(x)·f(-x)<0D.=-1.答案 AB解析 ∵f(x)在R上为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A正确.f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B正确.当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故C不正确.当x=0时,分母为0,无意义,故D不正确.7.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为____________,f(-2)=________.答案 5 -6解析 因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a(-3)=-6,解得a=5.f(-2)=(-2)2+5×(-2)=-6.8. 奇函数y=f(x)的局部图象如图,则f(-2)+f(-1)的值为________.答案 -2解析 f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.9.已知函数f(x)=x+(a>0).(1)若f(1)=3,求a的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明.解 (1)由题意知,f(1)=1+a=3,所以a=2>0满足题意.(2)函数f(x)为奇函数,证明如下:函数f(x)=x+(a>0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且关于原点对称.又因为f(-x)=-x+=-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.10.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.解 (1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于原点的对称点为P′(x,f(x)),图③为图①补充后的图象,易知f(3)=-2.(2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于y轴的对称点为P′(x,f(-x)),图④为图②补充后的图象,易知f(1)>f(3).11.函数f(x)=是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案 B解析 若x是有理数,则-x也是有理数,∴f(-x)=f(x)=1;若x是无理数,则-x也是无理数,∴f(-x)=f(x)=0.∴函数f(x)是偶函数.12.(多选)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中不正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 ABD解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得f(x)g(x)是奇函数,|f(x)|g(x)是偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|是偶函数.13.已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=2 023x3-5x+b+2,则f(a)+f(b)的值为________.答案 0解析 因为奇函数的图象关于原点对称,所以a-4+2a-2=0,所以a=2,因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即b+2=0,故b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0.14. 设奇函数f(x)的定义域为[-6,6],当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________.答案 [-6,-3)∪(0,3)解析 由f(x)在[0,6]上的图象知,满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3).又f(x)为奇函数,图象关于原点对称,所以在[-6,0)上,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3).综上可知,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3)∪(0,3).15.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=________.答案 解析 根据题意,f(x)==1+,而h(x)=是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=.16.已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).(1)证明 由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0.所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.(2)解 由(1)知f(x)为奇函数.所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a.又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3),所以f(12)=-4a.第2课时 奇偶性的应用学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.一、利用奇偶性与单调性比较大小问题 想一想奇函数与偶函数的图象特点,如果奇函数在(-2,-1)上为减函数,那么它在(1,2)上的单调性如何?如果偶函数在(-2,-1)上为减函数,那么它在(1,2)上的单调性如何?提示 奇函数在(1,2)上为减函数,偶函数在(1,2)上为增函数.知识梳理函数的奇偶性与单调性(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a例1 设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)D.f(π)答案 A解析 由偶函数与单调性的关系知,若x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则x∈(-∞,0)时,f(x)是减函数,故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小,则其函数值越小,∵|-2|<|-3|<π,∴f(π)>f(-3)>f(-2).反思感悟 比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小.(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.跟踪训练1 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[2,6]上是减函数,则f(-5)________f(3).(填“>”或“<”)答案 <解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-5)=f(5),而函数f(x)在[2,6]上是减函数,∴f(5)二、根据奇偶性求函数的解析式知识梳理用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a,b]上的解析式,求关于原点对称的区间[-b,-a]上的解析式,其解决思路为:(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).例2 (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,求f(x)的解析式.解 当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=-x2-2x-3.即当x<0时,f(x)=-x2-2x-3.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.故f(x)=(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.解 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=,①用-x代替上式中的x,得f(-x)+g(-x)=,∴f(x)-g(x)=,②(①+②)÷2,得f(x)=;(①-②)÷2,得g(x)=.延伸探究1.在本例(1)中,把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”,其余不变,求当x<0时,f(x)的解析式.解 当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(-x),所以f(x)=x2+2x+3.即当x<0时,f(x)=x2+2x+3.2.在本例(2)中,把条件“f(x)是偶函数,g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数,g(x)是偶函数”,再求f(x),g(x)的解析式.解 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),又f(x)+g(x)=,①用-x代替上式中的x,得f(-x)+g(-x)=,即f(x)-g(x)=.②联立①②得f(x)=,g(x)=.反思感悟 (1)已知某区间上函数的解析式,求对称区间上的函数的解析式,应设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,此时-x成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式.(2)已知函数f(x),g(x)组合运算与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.跟踪训练2 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式.解 设x>0,则-x<0,则f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.又f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2-x.又∵函数定义域为R,∴f(0)=0,综上可知f(x)=(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,当x∈(-∞,0)时,求f(x)的解析式.解 设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,又f(x)在R上为偶函数,∴当x∈(-∞,0)时,f(x)=f(-x)=x2-x-1.三、利用单调性与奇偶性解不等式例3 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)解 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上是减函数.所以不等式f(1-m)解得-1≤m<.所以实数m的取值范围为.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式,一般有两类(1)利用图象解不等式.(2)转化为简单不等式求解.①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式;②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.提醒:列不等式(组)时不要忘掉函数定义域.跟踪训练3 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数.若f(-3)=0,则<0的解集为____________________.答案 {x|-33}解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,∴f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.∴f(3)=f(-3)=0.当x>0时,由f(x)<0,解得x>3;当x<0时,由f(x)>0,解得-3故所求解集为{x|-33}.1.知识清单:(1)根据奇偶性求函数的解析式.(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.2.方法归纳:转化法、数形结合法.3.常见误区:解不等式易忽视函数的定义域.1.已知奇函数在(-∞,0)上是增函数,则( )A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)=f(2) D.以上都有可能答案 B解析 ∵f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(1)2.设偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )A.f B.f(2)C.f(2)D.f(-1)答案 B解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2).又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,且-2<-<-1,∴f(2)=f(-2)3.已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,则满足条件f(2x+1)A.(-∞,2) B.C.(2,+∞) D.答案 A解析 奇函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,所以f(x)在R上是增函数,所以由f(2x+1)4.已知函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x+1,则x>0时,f(x)=________.答案 x-1解析 当x>0时,-x<0,∴f(-x)=-x+1,又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x-1.1. 已知定义在区间[-7,7]上的偶函数,它在[0,7]上的图象如图,下列说法正确的是( )A.这个函数仅有一个增区间B.这个函数有两个减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-7答案 C解析 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出函数在[-7,0]上的图象,如图所示,可知这个函数有三个增区间;有三个减区间;在其定义域内最大值是7;在其定义域内最小值不是-7.2.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有( )A.最大值- B.最大值C.最小值- D.最小值答案 B解析 方法一 当x<0时,f(x)=x2+x=2-,所以f(x)有最小值-,因为f(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)有最大值.方法二 (直接法)当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-2+,所以f(x)有最大值.3.(多选)若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则( )A.a=-2 B.a=2C.增区间为(-∞,0] D.减区间为(-∞,0]答案 AC解析 因为函数为偶函数,所以a+2=0,a=-2,所以该函数为f(x)=-2x2+1,所以函数的增区间为(-∞,0],减区间为[0,+∞).4.设函数f(x)=且f(x)为偶函数,则g(-2)等于( )A.6 B.-6 C.2 D.-2答案 A解析 g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.5.如果奇函数f(x)在区间[-3,-1]上是增函数且有最大值5,那么函数f(x)在区间[1,3]上( )A.是增函数且最小值为-5B.是增函数且最大值为-5C.是减函数且最小值为-5D.是减函数且最大值为-5答案 A解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(x)在[1,3]上的单调性与[-3,-1]上一致且f(1)为最小值,又已知f(-1)=5,∴f(-1)=-f(1)=5,∴f(1)=-5.6.(多选)已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,且在[0,5]上是单调函数,若f(-4)A.f(0)>f(1) B.f(2)C.f(-3)f(3)答案 AD解析 由题意可得,函数f(x)在[-5,0]上也是单调函数,再根据f(-4)f(1)成立,f(-1)>f(-3)=f(3)成立,其他选项不成立.7.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.答案 (-1,3)解析 因为f(x)是偶函数,所以f(x-1)=f(|x-1|).又因为f(2)=0,所以f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).又因为f(x)在[0,+∞)上是减函数,所以|x-1|<2,解得-2所以-18.已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x(x+1).则函数f(x)的解析式为________.答案 f(x)=解析 设-3-x>0,则有f(-x)=x(-x+1)=-x(x-1),又因为f(x)=-f(-x),所以f(x)=x(x-1),又f(0)=0,所以f(x)=9.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0.解 ∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,由f(1-x)+f(1-2x)<0,得f(1-x)<-f(1-2x),即f(1-x)又∵f(x)在(-1,1)上是减函数,∴解得0∴原不等式的解集为.10.已知定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)=x2-4x+3.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解 (1)当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-4(-x)+3=x2+4x+3,又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=x2+4x+3.∴当x<0时,f(x)=x2+4x+3,∴f(x)=(2)由(1)知f(x)=(x-2)2-1(x≥0)在[0,2]上单调递减,函数f(x)是偶函数.∴f(x)=x2+4x+3(x<0)在[-2,0]上单调递增.又∵f(x)在[-1,a-2]上单调递增,∴[-1,a-2] [-2,0].∴则1故实数a的取值范围是(1,2].11.设奇函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为( )A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f(x)为奇函数,<0,∴<0,∵f(x)在(0,+∞)上是减函数且f(1)=0,∴当x>1时,f(x)<0,<0.∵奇函数图象关于原点对称,∴在(-∞,0)上f(x)是减函数且f(-1)=0,∴当x<-1时,f(x)>0,<0.综上,<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).12.函数y=f(x)在[0,2]上是增函数,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( )A.f(1)B.f C.f D.f 答案 B解析 ∵函数f(x+2)是偶函数,∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f =f ,f =f ,又f(x)在[0,2]上是增函数,∴f 即f 13.已知y=f(x)+x2是奇函数且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.答案 -1解析 ∵y=f(x)+x2是奇函数,∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2],∴f(x)+f(-x)+2x2=0,∴f(1)+f(-1)+2=0.∵f(1)=1,∴f(-1)=-3.∵g(x)=f(x)+2,∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.14.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x)-2.则当x<0时,f(x)=________;若f(m+1)答案 x2-x-2 解析 当x<0时,-x>0,f(x)=f(-x)=-x(-x+1)-2=x2-x-2,所以当x<0时,f(x)=x2-x-2;f(x)=x2+x-2在[0,+∞)上单调递增,则f(m+1)解得m<,所以实数m的取值范围是.15.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x5-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>0时,f(x+1)=f(x),则f(2 023)等于( )A.-2 B.-1 C.0 D.2答案 D解析 因为当x>0时,f(x+1)=f(x),所以当x>0时,f(2 023)=f(2 022)=f(2 021)=…=f(1),又因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)5-1]=2.16.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b∈R,当a+b≠0时,都有>0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.解 (1)因为a>b,所以a-b>0,由题意得>0,所以f(a)+f(-b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-b)=-f(b),所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).(2)由(1)知f(x)为R上的增函数,因为f(1+m)+f(3-2m)≥0,所以f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥f(2m-3),所以1+m≥2m-3,所以m≤4.所以实数m的取值范围为(-∞,4]. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 苏教版高中数学 必修1 第5章 §5.4 .1 奇偶性的概念(学案+课时练 word版含解析).docx 苏教版高中数学 必修1 第5章 §5.4 .2 奇偶性的应用(学案+课时练 word版含解析).docx