资源简介 第2课时 函数的图象学习目标 1.理解函数图象的含义.2.会画简单的函数图象.3.能利用图象研究函数的值域.导语同学们,函数的图象在整个函数的学习中占据重要的地位,因为它能带领我们直观的感受变量的发生、发展过程,就好像是有了“两个黄鹂鸣翠柳,一行白鹭上青天”,就能在我们的脑海里呈现出一幅优美的图象一样直接.一、画函数的图象例1 作出下列函数的图象:(1)y=2x2-4x-3(0≤x<3);(2)y=(-2≤x<1且x≠0).解 (1)图象如图(1)所示.(2)图象如图(2)所示.反思感悟 作函数y=f(x)的图象分两种类型(1)若y=f(x)是已学过的基本初等函数,则通过描出y=f(x)的图象上的一些关键点画出y=f(x)的图象.(2)若y=f(x)不是已学过的基本初等函数,则需要通过列表、描点、连线,这些基本步骤作出y=f(x)的图象.跟踪训练1 作出下列函数图象:(1)y=1-x(x∈Z且|x|≤2);(2)y=x2+x(-1≤x≤1).解 (1)图象如图(1)所示.(2)图象如图(2)所示.二、函数图象的应用例2 用描点法画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象处理下列问题:(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小.(2)若x1解 因为函数f(x)=-x2+2x+3的定义域为R,列表:x … -2 -1 0 1 2 3 4 …f(x) … -5 0 3 4 3 0 -5 …描点,连线,得函数图象如图:(1)f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0,所以f(3)(2)根据图象,容易发现当x1延伸探究 把本例(2)中的“若x1解 此时要对x1,x2所处的范围分情况讨论.根据图象,若x1若1≤x1f(x2);若x1<1x2-1时,则f(x1)②当1-x1=x2-1时,则f(x1)=f(x2);③当1-x1f(x2).反思感悟 常借助函数图象解决下列问题(1)比较函数值的大小.(2)求函数的值域.(3)求解不等式或参数范围.跟踪训练2 函数y=f(x)的图象如图所示,则:(1)f(0)=________;(2)f(-2)=________;(3)f(f(2))=________;(4)若-1答案 (1)4 (2)3 (3)2 (4)f(x1)≥f(x2)三、由函数图象求函数的值域例3 作出下列函数的图象并求出其值域.(1)y=2x+1,x∈[0,2];(2)y=,x∈[2,+∞);(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].解 (1)列表:x 0 1 2y 1 2 3 4 5当x∈[0,2]时,图象是一次函数y=2x+1的一部分,观察图象可知,其值域为[1,5].(2)列表:x 2 3 4 5 …y 1 …当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分,观察图象可知,其值域为(0,1].(3)列表:x -2 -1 0 1 2y 0 -1 0 3 8画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.由图可得函数的值域是[-1,8].反思感悟 数形结合法求函数值域要注意找函数的最高点与最低点,并注意定义域的影响.跟踪训练3 已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)画出f(x)图象的简图;(2)根据图象写出f(x)的值域.解 (1)f(x)图象的简图如图所示.(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],则f(x)的值域是[-1,3].1.知识清单:(1)函数图象的概念.(2)函数图象的应用.(3)由函数图象求函数的值域.2.方法归纳:数形结合法、换元法、配方法.3.常见误区:未弄清“实”、“虚”点导致画函数图象错误.1.函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域是( )A.R B.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(-1,0)答案 C解析 由题图知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞).2.函数f(x)=|x-1|的图象是( )答案 B3.函数y=f(x)的图象如图所示,则f(0)=______,f(1)=________,f(f(-2))=________.答案 1 -1 14.某工厂8年来某产品总量y与时间t(年)的函数关系如图,则:①前3年总产量增长速度越来越快;②前3年总产量增长速度越来越慢;③第3年后,这种产品停止生产.以上说法中正确的是________.(填序号)答案 ①③解析 从图可以看出,工厂在前3年增长速度越来越快,3年后,产品停止生产.故①③正确.1.函数y=x-1(x≥0)的图象是( )A.一条射线 B.一条线段C.两条射线 D.一条直线答案 A解析 函数y=x-1为一次函数,图象为直线,但是当x≥0时,所得到的图象为一条射线.2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为( )x 1 2 3f(x) 2 3 0A.3 B.2 C.1 D.0答案 B解析 由函数g(x)的图象知,g(2)=1,则f(g(2))=f(1)=2.3.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间),则下图与故事情节相吻合的是( )答案 B解析 A中是同时到达;B中乌龟到达时,兔子还没到;C中乌龟到达时,兔子还在睡觉;D中兔子先到,乌龟后到.4.函数y=的大致图象是( )答案 A解析 y=的定义域为{x|x≠-1},排除C,D,当x=0时,y=0,排除B.5. 如图所示,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直.若小正方形的边长为x,且0答案 D解析 根据题意和图形可知y=x2,06.函数f(x)=x2+x-2(-1≤x≤2)的值域为( )A.[-2,4] B.C. D.答案 B解析 作出函数y=x2+x-2,x∈[-1,2]的图象,观察图象可知值域为.7.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f =______.答案 2解析 由题意知,f(3)=1,所以f =f(1)=2.8.函数的图象如图,则其定义域、值域分别为__________.答案 (a1,a2)∪[a3,a4],[b1,b6]解析 由图象观察知:定义域为(a1,a2)∪[a3,a4],值域为[b1,b6].9.画出下列函数的图象:(1)y=x+1(x≤0);(2)y=x2-x(x>1,或x<-1).解 (1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图(1)所示.(2)y=x2-x(x>1,或x<-1)是抛物线y=x2-x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2)所示.10.画出函数f(x)=x2+2x+3的图象,根据图象回答下列问题.(1)比较f(-2),f(1),f(2)的大小;(2)若函数定义域为[-2,2],求函数的值域;(3)若x1解 函数f(x)=x2+2x+3的图象如图所示.(1)由图象知f(-2)(2)当x∈[-2,2]时,由图象知f(x)的值域为[2,11].(3)当x1f(x2).11.小明骑车上学,开始匀速行驶,途中因交通堵塞停留一段时间,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 与学校距离应逐渐减小,中间段距离不变,后段加速,下降要比前一段快,故C吻合的较好.12.若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R,则a的值是________.答案 -1解析 由一次函数、二次函数的图象知,f(x)为一次函数,则满足所以a=-1.13.已知集合A={x|y=},若函数f(x)=-x,x∈A,则函数f(x)的值域是________.答案 (-∞,2]解析 ∵A={x|y=}={x|x≥-2},画出f(x)的图象(图略),可知函数f(x)的值域是(-∞,2].14.若函数y=x2-4x的定义域为[-4,a],值域为[-4,32],则实数a的取值范围为________.答案 [2,8]解析 y=x2-4x的图象过(4,0),(0,0)点且关于直线x=2对称,如图所示.其中当x=-4或8时,y=32,当x=2时,y=-4.只需a∈[2,8],函数值域不变.15.一水池有2个进水口,1个出水口,进、出水速度如图甲、乙所示.某天从0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水也不出水.则正确论断的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3答案 B解析 由题意可知在0点到3点这段时间,每小时进水量为2,即2个进水口同时进水且不出水,故①正确;从题干丙图可知3点到4点水量减少了1,所以应该是有一个进水口进水,同时出水口也出水,故②错;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量也保持不变,故③错.16.已知函数f(x)=x2-x+,是否存在实数m,使得函数的定义域和值域都是[1,m](m>1)?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.解 存在.理由如下:f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的图象的对称轴为x=1,顶点(1,1)且开口向上.∵m>1,∴当x∈[1,m]时,图象是二次函数f(x)=(x-1)2+1的一部分,∴由函数的图象可得,要使f(x)的定义域和值域都是[1,m],则有∴m2-m+=m,即m2-4m+3=0,∴m=3或m=1(舍),∴存在实数m=3满足条件.第1课时 函数的概念学习目标 1.会用集合语言和对应关系刻画函数.2.理解函数的概念,了解构成函数的要素.3.会求简单函数的定义域与值域.导语在初中我们已经接触过函数的概念,知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如,正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x,而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应,所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗?又如,你能用已有的函数知识判断y=x与y=是否相同吗?要解决这些问题,就需要进一步学习函数概念.一、函数的概念的理解问题1 你还记得初中所学函数的概念吗?提示 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就称y是x的函数,x是自变量.问题2 下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗?(1)某“复兴号”高速列车提速到350 km/h后保持匀速运行半小时,这半小时内,列车行进的路程s与运行时间t的关系是函数关系吗?(2)如图是某市某日的空气质量指数变化图.你认为这里的空气质量指数I是时刻t的函数吗?(3)国际上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.年份y 2011 2012 2013 2014 2015恩格尔系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57上表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况.你认为该表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?提示 (1)中s是t的函数;(2)中I是t的函数;(3)中r是y的函数.问题3 上述例子中的函数有哪些共同特征?提示 每个例子中都含有两个变量,当一个变量的取值确定后,另一个变量的值随之唯一确定.每一个例子都涉及确定的函数.知识梳理概念 给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数对应关系 y=f(x),x∈A 对应关系相同,定义域相同的两个函数就是同一个函数定义域 集合A(自变量x的取值范围)值域 若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之对应.我们将所有输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.注意点:(1)A,B是非空的实数集,定义域是数集A,函数的值域是集合B的子集.(2)应注意函数定义中的“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词.(3)函数符号“y=f(x)”是一个整体,不表示y等于f与x的乘积.(4)函数三要素:定义域,对应关系与值域.例1 (1)(多选)下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={x|x≥0},f:A中的数取绝对值答案 AD解析 按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的要求;选项C中,集合A中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求;选项A和D符合函数的定义.(2)下列各组函数表示同一个函数的序号是________.①f(x)=2x+1与g(x)=;②f(x)=|x2-1|与g(t)=;③f(x)=2x+1,g(x)=2x-1.答案 ②解析 对于①,f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是{x|x≠0},定义域不同,不是同一个函数;对于②,f(x)=|x2-1|,g(t)=|t2-1|,虽然表示自变量的字母不同,但定义域与对应关系都相同,是同一个函数;对于③,f(x),g(x)的定义域都是R,但对应关系不同,不是同一个函数.反思感悟 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法(2)判断两个函数为同一个函数的注意点①先求定义域,定义域不同则不是同一个函数;②若定义域相同,再看对应关系是否相同.跟踪训练1 (1)(多选)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个选项,不能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )答案 ACD解析 A中,因为在集合M中当1B中,对于集合M中的任意一个数x,在N中都有唯一的数与之对应,所以B是;C中,x=2对应元素y=3 N,所以C不是;D中,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,所以D不是.(2)下列各组函数中表示同一个函数的是( )A.f(x)=,g(x)=x+2B.f(x)=x2-3x,g(t)=t2-3tC.f(x)=()2,g(x)=xD.f(x)=,g(x)=x答案 B解析 A中,f(x)=的定义域为{x|x≠0},g(x)=x+2的定义域为R,故不是同一个函数;B中,f(x)=x2-3x与g(t)=t2-3t定义域都为R,且解析式相同,故是同一个函数;C中,f(x)=()2的定义域为{x|x≥0},g(x)=x的定义域为R,故不是同一个函数;D中,f(x)==|x|与g(x)=x解析式不同,故不是同一个函数.二、函数的定义域问题4 初中我们学习过哪些函数?提示 一次函数、二次函数和反比例函数.问题5 你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗?提示 一次函数的定义域是R,值域也是R,对应关系实际上就是f(x)=ax+b(a≠0);二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R,当a>0时,它的值域是;当a<0时,它的值域是,对应关系实际上就是f(x)=ax2+bx+c(a≠0);反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是{x|x≠0},值域是{y|y≠0},对应关系是f(x)=(k≠0).例2 求下列函数的定义域:(1)y=3-x;(2)y=;(3)y=;(4)y=.解 (1)函数y=3-x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义,故x+1≠0,即x≠-1.又x+2>0,即x>-2,所以函数y=的定义域为{x|x>-2,且x≠-1}.(3)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤5,且x≠±3,所以函数y=的定义域为{x|x≤5,且x≠±3}.(4)要使函数有意义,则即解不等式组得-1≤x<1.因此函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}.反思感悟 求函数的定义域应关注三点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件,函数有意义的准则一般有:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0要求x≠0.(2)不对解析式化简变形,以免定义域变化.(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.跟踪训练2 求下列函数的定义域:(1)y=-;(2)y=+.解 (1)由得所以定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.(2)由得x≤-或2≤x<4,所以定义域为.三、求函数值或函数的值域例3 已知f(x)=x2-4x+2.(1)求f(2),f(a),f(a+1)的值;(2)求f(x)的值域;(3)若g(x)=x+1,求f(g(3))的值.解 (1)f(2)=22-4×2+2=-2,f(a)=a2-4a+2,f(a+1)=(a+1)2-4(a+1)+2=a2-2a-1.(2)f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2≥-2,∴f(x)的值域为[-2,+∞).(3)g(3)=3+1=4,∴f(g(3))=f(4)=42-4×4+2=2.反思感悟 (1)函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值,因此由函数关系求函数值,只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得;(2)求f(g(a))时,一般要遵循由里到外逐层计算的原则;(3)配方法是一种常用的求值域的方法,主要解决“二次函数型”的函数求值域.跟踪训练3 求下列函数的值域:(1)f(x)=x2+2x+3,x∈{-1,0,1,2};(2)f(x)=x2+2x+3.解 (1)∵函数定义域为{-1,0,1,2},f(x)=(x+1)2+2.∴f(-1)=2,f(0)=3,f(1)=6,f(2)=11,∴函数f(x)的值域为{2,3,6,11}.(2)f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2,∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2,∴f(x)的值域为[2,+∞).1.知识清单:(1)函数的概念.(2)求函数的定义域.(3)求函数值或值域.2.方法归纳:定义法.3.常见误区:理解函数的概念要紧扣函数的定义.1.(多选)下列关于函数y=f(x)的说法正确的是( )A.y是x的函数B.x是y的函数C.对于不同的x,y也不同D.f(a)表示当x=a时,f(x)的函数值是一个常数答案 AD解析 由函数的定义可知B错误,根据函数的定义,对于不同的x,y可以相同,例如f(x)=1,故C错误.2.下列图形中不是函数图象的是( )答案 A解析 A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,B,C,D均符合函数定义.3.若f(x)=,则f(3)=________,f(f(-2))=________.答案 - 解析 f(3)==-,f(f(-2))=f =.4.函数y=的定义域是________________________.答案 {x|x≥-1且x≠1}解析 由题意可得所以x≥-1且x≠1,故函数y=的定义域为{x|x≥-1,且x≠1}.1.(多选)下列四种说法中,正确的有( )A.在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只含有一个元素答案 ACD解析 由函数定义知,A,C,D正确,B不正确.2.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是( )A.0 B. 3a2-1C.6a2-2 D.6a2答案 A解析 f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.3.若A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形中能表示以A为定义域,B为值域的函数的是( )答案 B解析 A中值域为{y|0≤y≤2},故错误;C,D中值域为{1,2},故错误.4.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,可看作是从A到B的函数关系的是( )A.f:x→y=x B.f:x→y=xC.f:x→y=x D.f:x→y=x答案 ABC解析 根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,在集合B中没有元素与它对应,故不正确.5.(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )A.f(x)=与g(x)=xB.f(x)=x与g(x)=C.f(x)=x0与g(x)=D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1答案 CD解析 A项,f(x)==-x与g(x)=x的对应关系和值域不同,故不是同一个函数.B项,g(x)==|x|与f(x)=x的对应关系和值域不同,故不是同一个函数.C项,f(x)=x0与g(x)=都可化为y=1且定义域是{x|x≠0},故是同一个函数.D项,f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域都是R,对应关系也相同,故是同一个函数.6.函数f(x)=的定义域为( )A.B.{x|x>1}C.D.答案 C解析 要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得即函数的定义域为.7.已知函数f(x)=,又知f(t)=6,则t=________.答案 -解析 由f(t)=6,得=6,即t=-.8.若f(x)=,x∈{1,2},则函数的值域为________.答案 解析 ∵函数的定义域为{1,2},∴f(1)==,f(2)===,∴函数的值域为.9.求下列函数的定义域:(1)f(x)=++4;(2)f(x)= .解 (1)要使函数式有意义,必须满足即所以≤x≤,即函数的定义域为.(2)要使函数式有意义,必须满足即解得所以函数的定义域为{x|x<0,且x≠-3}.10.已知函数f(x)=-.(1)求函数f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.解 (1)根据题意知x-1≠0且x+4≥0,∴x≥-4且x≠1,即函数f(x)的定义域为{x|x≥-4,且x≠1}.(2)f(-1)=-=-3-.f(12)=-=-4=-.11.已知≈1.414 21,如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字,则f(2)+f(4)等于( )A.5 B.6 C.3 D.2答案 C解析 由题意f(2)=1,f(4)=2,所以f(2)+f(4)=3.12.下列函数中,对于定义域内的任意x,f(x+1)=f(x)+1恒成立的为( )A.f(x)=x+1 B.f(x)=-x2C.f(x)= D.f(x)=|x|答案 A解析 对于A选项,f(x+1)=(x+1)+1=f(x)+1,成立.对于B选项,f(x+1)=-(x+1)2,f(x)+1=-x2+1,不成立.对于C选项,f(x+1)=,f(x)+1=+1,不成立.对于D选项,f(x+1)=|x+1|,f(x)+1=|x|+1,不成立.13.若对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)=________,f(-1)=________.答案 2 0解析 对任意x∈R,2f(x)-f(-x)=3x+1,令x=1,则2f(1)-f(-1)=4, ①令x=-1,则2f(-1)-f(1)=-2. ②由①②解得f(1)=2,f(-1)=0.14.已知集合A={1,2,3},B={4,5},则从A到B的函数f(x)有________个.答案 8解析 利用表格确定函数的个数.f(1) 4 4 4 4 5 5 5 5f(2) 4 4 5 5 4 4 5 5f(3) 4 5 4 5 4 5 4 515.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f +f(x-1)的定义域是________.答案 {x|0解析 由题意知即解得0于是函数g(x)的定义域为{x|016.已知函数f(x)=.(1)求f(2)与f ,f(3)与f ;(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f 有什么关系吗?证明你的发现;(3)求f(2)+f +f(3)+f +…+f(2 023)+f 的值.解 (1)由f(x)==1-,所以f(2)=1-=,f =1-=.f(3)=1-=,f =1-=.(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f =1.证明如下:f(x)+f =+=+=1.(3)由(2)知f(x)+f =1,∴f(2)+f =1,f(3)+f =1,f(4)+f =1,…,f(2 023)+f =1.∴f(2)+f +f(3)+f +…+f(2 023)+f =2 022. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 苏教版高中数学 必修1 第5章 §5.1 .1 函数的概念(学案+课时练 word版含解析).docx 苏教版高中数学 必修1 第5章 §5.1 .2 函数的图象(学案+课时练 word版含解析).docx