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第1章 三角函数
5.1.2 弧度制
温故而知新
1、角度制的定义
规定周角的1/360为1度的角.这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。
1°
2、弧长公式及扇形面积公式
nπR
180
l= ———
nπR2
360
S= ———
n°
R
l
1、弧度制
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角
叫做1弧度的角。
设弧AB的长为l，
若l=r，则∠AOB= 1 弧度
l
r
=
O
B
r
l=r
A
1弧度
讲授新课
r
1rad
O
A
B
l=r
AOC的弧度数就是
l
r
2r
r
= = 2
rad
弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小．
C
l=r
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：
︱α︱=
l
r
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r
为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的
制度叫做弧度制。
2、弧度与角度的换算
l
r
=
则∠AOB= 2π弧度
此角为周角
即为360°
360°= 2π 弧度
180°= π 弧度
l=2 π r
O
A
(B)
r
若l=2 π r，
两种单位制的换算：
关系式：
“弧度”或“rad”可省略不写， 保留
2 rad = 360
rad = 180

180
1 rad = ( ) 57.30 57 18'
(2)弧度换成角度
1 = rad 0.01745rad

180
(1)角度换成弧度：
360 = 2 rad
180 = rad
“角化弧”时，将n乘以 ；
“弧化角”时，将 乘以 ；
特殊角的度数与弧度数的对应表：
度数 0 30 45 60 90
弧度 0
150 270 360

6
2
3
3
4
5
6
3
2

4

2

3

2
120
135
180
正角的弧度数是正数，
角的概念推广后，
弧度数的概念也随之推广：
负角的弧度数是负数，
零角的弧度数是零．
正实数
0
负实数
正角
零角
负角
任意角的集合
实数集R
角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系．
3、例题
例1. 把下列各角化成弧度
(1) 67 °30' (2) 120 °
(3) 75 ° (4) 135 °
(5) 300 ° (6) - 210 °
例2: 把下列各弧度化成度.
(2)
(3) (4)
(1)108o
(2)15o
(3)-144o
(4)-150o
例3.把下列各角化成　　　　　　　　　的形式：
（1）　　　；（2）　　　；（3）　　　．
解（1）
（3）
（2）
弧度数的计算公式：
=
l
r
(l是以 角作为圆心角时所对弧的长，
r是圆的半径)
弧度制的提出：
如果命运是块顽石，我就化作大锤，将它砸得粉碎！
——莱昂哈德·欧拉（1707~1783）
大师对话
弧长公式：
例 利用弧度制证明扇形面积公式 ，
（其中l是扇形的弧长，R是圆的半径）．
证明：
如左图，因为圆心角为1rad的扇形
的面积为
而弧长为l的扇形的圆心角的大小为
所以它的面积
即：弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
根据公式 ，可以得到
=
l
r
l = r
O
S
R
l
你能将下列特殊角转化为弧度制吗？
思考题：
试证：扇形周长一定时，当圆心角
=2时，扇形面积最大.
r
l

练习
写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
1、 终边与X轴正半轴重合；
2、 终边与X轴负半轴重合；
3、 终边与X轴重合；
4、 终边与Y轴正半轴重合；
5、 终边与Y轴负半轴重合；
6、 终边与Y轴重合；
7、第一象限内的角；
8、第二象限内的角；
9、第三象限内的角；
10、第四象限内的角；
练习
x
y
0
(1)
x
y
0
(2)
提炼总结：
1.180 = 弧度；
“弧化角”时，将 乘以 ；
2.“角化弧”时，将n乘以 ；
3.弧长公式:
l = r
4.扇形面积公式：
思考题：
试证：扇形周长一定时，当圆心角
=2时，扇形面积最大.
r
l

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