资源简介

济南市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．某公司有员工15名，为了调查该公司员工的工资情况．有两种方案．方案一：调查全部15名员工的工资情况；方案二：收入最高的一人和收入最低的一人工资不纳入调查范围，只调查其他13名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
3．在空间中，下列说法正确的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．与同一个平面夹角相等的两条直线平行
C．平行于同一个平面的两条直线平行 D．垂直于同一个平面的两条直线平行
4．某中学举行高一广播体操比赛，共10个班参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签（1号到10号）供大家抽签，高一（1）班先抽，则其抽到的出场序号小于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或6”．则事件A与B的关系为（ ）
A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B独立 D．事件A包含于B
6．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．△ABC为钝角三角形
7．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若，则a的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分）．绘制了如图所示的六维能力雷达图．例如，图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的逻辑推理指标高于乙的逻辑推理指标值 B．甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值
C．甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值 D．甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平
10．已知z为复数，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知非零平面向量，，，则（ ）
A．存在唯一的实数对m，n，使得 B．若，则
C．若，，共线，则 D．若，则
12．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，F是侧面上的动点，且平面，下列说法正确的是（ ）
A．F是轨迹长度为
B．与是异面直线
C．三棱锥的外接球表面积的最大值为
D．过A作平面与平面平行，则正方体在内的正投影为正六边形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在一次校园歌手大赛 中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95．则这组数据的75%分位数是______．
14．已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值为______．
15．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______．
16．如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则此时圆柱母线与水面所在平面所成的角大小为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数，，其中i是虚数单位，．
（1）若为纯虚数，求a的值；
（2）若，求的虚部．
18．（12分）已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动．
（1）应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）记事件“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，求值．
19．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
20．（12分）为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；
（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，，△PAD为正三角形，平面平面ABCD，G为边AD的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）若BG与AC交于点E，设点F是棱AP上一动点，试确定点F的位置，使得平面PBC，并证明你的结论；
（3）求二面角的正切值．
22．（12分）在△ABC中，点P为△ABC内一点．
（1）若点P为△ABC的重心，用表示；
（2）记△PBC，△PAC，△PAB的面积分别为，，，求证：；
（3）若点P为△ABC的垂心，且，求．
济南市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C C D B A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 AD BC BD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．95； 14．； 15．0.79； 16．．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）由题意得，
因为为纯虚数，所以且，综上，．
（2）因为，所以，即，
所以，所以，，所以，的虚部为1．
18．【解析】（1）由题意知，高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，
又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学．
故应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（i）由题意知，所有可能的抽取结果为，，，，，，,，，，，，，，，，，，，，，
（ii）法一：不妨设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，则，，，，，，，，，，，，，，，共含有15个样本点．
所以，．
19．【解析】（1）由题意得，，
则，所以，，
所以，，所以，．
（2）法一：由正弦定理得：，
所以，
．
又，所以，，所以，，
又，所以，△ABC周长的取值范围是．
20．【解析】（1）由频率分布直方图知，，所以．
又样本中身高不低于175cm的学生的频率为
所以，样本中身高不低于175cm的学生人数为人．
（2）设除小张与小明外其他98名同学的身高为，，，…，，小张与小明的身高分别为，，样本的平均数为，样本的方差为．
由题意．
又，
所以样本的方差．
21．【解析】（1）连接BD，因为底面ABCD为菱形，所以，
又，所以△ABD为正三角形，又，所以，
又面面ABCD，面面，面ABCD．
所以，面PAD．
（2）当点F是棱AP上靠近点A的三等分点时，面PBC．理由如下：
连接EF，BD．因为底面ABCD为菱形，所以AC与BD互相平分，
又，所以是△ABD重心，即，
又，则，
所以，又，所以，，又平面PBC，
平面PBC，所以，面PBC，
（3）连接PG，过点G作于M，连接PM，
因为△PAD为正三角形．又，所以，
又面面ABCD，面面，面，
所以，面ABCD，所以，GM是PM在面ABCD上的射影，
又，所以，．
所以，是二面角的平面角的补角．
又中，，正△PAD中，．
所以，，
所以，二面角的正切值为．
22．【解析】（1）由题意，不妨设BC边上的中点为点D，所以，
又，所以，．
（2）证明：延长AP交BC于点D，令，则
，
则，所以
（3）因为P是△ABC的垂心，，
所以由（2）易知，，
记△ABC的三个内角分别为A，B，C，则，
同理，所以，，
又，所以，，
即或，又，，同号，所以，所以．
又四边形CDPE中，因为P是△ABC的垂心，所以，
所以，，又，
所以，，所以，，即．

展开更多......

收起↑