资源简介 济南市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数(其中i为虚数单位)的共轭复数为( )A. B. C. D.2.某公司有员工15名,为了调查该公司员工的工资情况.有两种方案.方案一:调查全部15名员工的工资情况;方案二:收入最高的一人和收入最低的一人工资不纳入调查范围,只调查其他13名员工的工资.这两种调查方案得到的数据,一定相同的是( )A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差3.在空间中,下列说法正确的是( )A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.与同一个平面夹角相等的两条直线平行C.平行于同一个平面的两条直线平行 D.垂直于同一个平面的两条直线平行4.某中学举行高一广播体操比赛,共10个班参赛,为了确定出场顺序,学校制作了10个出场序号签(1号到10号)供大家抽签,高一(1)班先抽,则其抽到的出场序号小于4的概率为( )A. B. C. D.5.掷一枚质地均匀的骰子,记事件“出现的点数不超过3”,事件“出现的点数是3或6”.则事件A与B的关系为( )A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B独立 D.事件A包含于B6.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则( )A. B. C. D.△ABC为钝角三角形7.已知正四面体ABCD,M为BC中点,N为AD中点,则直线BN与直线DM所成角的余弦值为( )A. B. C. D.8.如图,正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动.若,则a的最大值是( )A.1 B. C.2 D.3二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.为比较甲,乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分).绘制了如图所示的六维能力雷达图.例如,图中甲的数学抽象指标值为4,乙的数学抽象指标值为5,则下列说法正确的是( )A.甲的逻辑推理指标高于乙的逻辑推理指标值 B.甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值C.甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值 D.甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平10.已知z为复数,下列说法正确的是( )A. B. C. D.11.已知非零平面向量,,,则( )A.存在唯一的实数对m,n,使得 B.若,则C.若,,共线,则 D.若,则12.如图,正方体的棱长为1,E是的中点,F是侧面上的动点,且平面,下列说法正确的是( )A.F是轨迹长度为B.与是异面直线C.三棱锥的外接球表面积的最大值为D.过A作平面与平面平行,则正方体在内的正投影为正六边形三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在一次校园歌手大赛 中,6位评委对某选手的评分分别为92,93,88,99,89,95.则这组数据的75%分位数是______.14.已知向量,不共线,若与共线,则实数k的值为______.15.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5,0.4,0.3,a,如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率,则a的最大值是______.16.如图,水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯,AB为杯底直径,现以点B为支点将水杯倾斜,使AB所在直线与桌面所成的角为,则此时圆柱母线与水面所在平面所成的角大小为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数,,其中i是虚数单位,.(1)若为纯虚数,求a的值;(2)若,求的虚部.18.(12分)已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180,120,120.现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法,从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动.(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)记事件“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”,求值.19.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求角A的大小;(2)若,求△ABC周长的取值范围.20.(12分)为了调查某中学高一年级学生的身高情况,在高一年级随机抽取100名学生作为样本,把他们的身高(单位:cm)按照区间,,,,分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数;(2)在统计过程中,小明与小张两位同学因事缺席,测得其余98名同学的平均身高为172cm,方差为29.之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm.试根据上述数据求样本的方差.21.(12分)如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为a的菱形,,△PAD为正三角形,平面平面ABCD,G为边AD的中点.(1)求证:平面PAD;(2)若BG与AC交于点E,设点F是棱AP上一动点,试确定点F的位置,使得平面PBC,并证明你的结论;(3)求二面角的正切值.22.(12分)在△ABC中,点P为△ABC内一点.(1)若点P为△ABC的重心,用表示;(2)记△PBC,△PAC,△PAB的面积分别为,,,求证:;(3)若点P为△ABC的垂心,且,求.济南市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A D C C D B A二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.题号 9 10 11 12答案 AD BC BD ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.95; 14.; 15.0.79; 16..四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1)由题意得,因为为纯虚数,所以且,综上,.(2)因为,所以,即,所以,所以,,所以,的虚部为1.18.【解析】(1)由题意知,高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2,又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法,从中抽取7名同学.故应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)由题意知,所有可能的抽取结果为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(ii)法一:不妨设7名同学中来自高一的3人分别为A,B,C,则,,,,,,,,,,,,,,,共含有15个样本点.所以,.19.【解析】(1)由题意得,,则,所以,,所以,,所以,.(2)法一:由正弦定理得:,所以,.又,所以,,所以,,又,所以,△ABC周长的取值范围是.20.【解析】(1)由频率分布直方图知,,所以.又样本中身高不低于175cm的学生的频率为所以,样本中身高不低于175cm的学生人数为人.(2)设除小张与小明外其他98名同学的身高为,,,…,,小张与小明的身高分别为,,样本的平均数为,样本的方差为.由题意.又,所以样本的方差.21.【解析】(1)连接BD,因为底面ABCD为菱形,所以,又,所以△ABD为正三角形,又,所以,又面面ABCD,面面,面ABCD.所以,面PAD.(2)当点F是棱AP上靠近点A的三等分点时,面PBC.理由如下:连接EF,BD.因为底面ABCD为菱形,所以AC与BD互相平分,又,所以是△ABD重心,即,又,则,所以,又,所以,,又平面PBC,平面PBC,所以,面PBC,(3)连接PG,过点G作于M,连接PM,因为△PAD为正三角形.又,所以,又面面ABCD,面面,面,所以,面ABCD,所以,GM是PM在面ABCD上的射影,又,所以,.所以,是二面角的平面角的补角.又中,,正△PAD中,.所以,,所以,二面角的正切值为.22.【解析】(1)由题意,不妨设BC边上的中点为点D,所以,又,所以,.(2)证明:延长AP交BC于点D,令,则,则,所以(3)因为P是△ABC的垂心,,所以由(2)易知,,记△ABC的三个内角分别为A,B,C,则,同理,所以,,又,所以,,即或,又,,同号,所以,所以.又四边形CDPE中,因为P是△ABC的垂心,所以,所以,,又,所以,,所以,,即. 展开更多...... 收起↑ 资源预览