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集合与常用逻辑用语（单元测试题）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x<－5或x>－3}　　 B．{x|－5C．{x|－35}
2.命题“ x∈R，x2－x＋≥0”的否定是(　　)
A． x R，x2－x＋＜0 B． x∈R，x2－x＋＜0
C． x∈R，x2－x＋≥0 D． x∈R，x2－x＋＜0
3.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有(　　)
①{1}∈A；②－1 A；③ A；④{1，－1} A.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4.已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝(　　)
A．1　　 B．2 C．3　　 D．4
5.下列存在量词命题是假命题的是(　　)
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＝0
C．有的有理数没有倒数 D．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角
6.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则“△ABC不是直角三角形”是“a2＋b2≠c2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是(　　)
A．1 B．－1 C．0,1 D．－1,0,1
8.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集M－P＝{x|x∈M且x P}，则M－(M－P)等于(　　)
A．P B．M C．M∩P D．M∪P
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9.已知M＝{x∈R|x≥2}，N＝，其中正确的是(　　)
A．a∈M B．N M C．a M D．N∩M＝N
10.下列不等式：①x＜3；②0＜x＜2；③－3＜x＜0；④－3＜x＜3，其中，可以是x2＜9的一个充分条件的序号为(　　)
A．① B．② C．③ D．④
11.下列命题为真命题的是(　　)
A． x＜0，使得|x|＞x
B． x≥0，都有|x|＝x
C．已知集合A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，则对于 k∈N*，都有A∩B＝
D． x∈R，使得方程x2＋2x＋5＝0成立
12.下列说法中正确的是(　　)
A．“A∩B＝B”是“B＝ ”的必要不充分条件
B．“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
C．“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D．“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．“a<1”是“一元二次方程x2－2x＋a＝0有实数解”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
14．已知全集U＝{不大于20的素数}，若M，N为U的两个子集，且满足M∩( UN)＝{3,5}，( UM)∩N＝{7,19}，( UM)∩( UN)＝{2,17}，则M＝________， N＝________.
15.设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2,1,3}，若P U，( UP) S，则这样的集合P共有________个．
16.给出下列四个命题：
①平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
②任何实数都有算术平方根；
③每个平面四边形的内角和都是360°；
④至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数．
其中假命题的序号为__________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分) 已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
18.(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)有理数都是实数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3) x∈{x|x＞0}，x＋＞2.
19．(12分) 设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．
(1)若a＝1时，求A∩B，A∪B；
(2)设C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．
20．(12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
21．(12分)已知集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，B＝{x||x＋a|<1}．
(1)若a＝3，求A∪B；
(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
22.(12分)已知全集U＝R，A＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，B＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}．
(1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M.
(2)集合A，B是否能满足( UB)∩A＝ ？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．
参考答案：
单项选择题
1.A 2.B　 3.C　 4.B　 5.D　 6.A　 7.D　 8.C　
二、多项选择题
9.ABD　 10.BCD　 11.AB　 12.ABC　
三、填空题
13．答案：充分不必要 14．答案：{3,5,11,13}　{7,11,13,19}
15.答案：8 16.答案：①②④
四、解答题
17.解：(1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)因为M∩N＝M，所以M N，
因为M＝{2}，所以2∈N.所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
18.解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题．
(3)命题中含有全称量词“ ”，是全称量词命题，当x＝1时，x＋＝2，故为假命题．
19．解：(1)因为集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，
所以当a＝1时，A＝{1,3}，B＝{1,4}，所以A∩B＝{1}，A∪B＝{1,3,4}．
(2)因为C＝A∪B，集合C的子集有8个，
所以集合C中有3个元素，而1,3,4∈C，故实数a的取值集合为{1,3,4}．
20．证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0.
两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
21．解：(1)由x2＋2x－3<0，解得－3当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4(2)因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．
又集合A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－a－1＜x＜－a＋1，a∈R}，
所以或
解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}．
22.解：B＝{－4,1,2}．
(1)当b＝4时，A＝ .∴M≠ 且MB.
∴符合题意的集合M有6个，分别是{－4}，{1}，{2}，{－4,1}，{－4,2}，{1,2}．
(2)能．由( UB)∩A＝ ，得A B.
①若A＝ ，则Δ＝(－3)2－4b＝9－4b＜0，∴b＞.
②若A≠ ，则方程x2－3x＋b＝0有实根．
由根与系数的关系知，x1＋x2＝3，
又A B，∴A＝{1,2}．∴由根与系数的关系得b＝1×2＝2.
∴综上，实数b的取值范围为.

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