资源简介

7.1.1　任意角
学习目标　1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．
导语
同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课．
一、任意角的概念
问题1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示　角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
知识梳理
任意角
(1)角的概念：
角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
(2)角的表示：
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点：O.
(3)角的分类：
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
(4)角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
①α＋β：把角α的终边旋转角β.
②α－β：α－β＝α＋(－β)．
例1　(1)(多选)下列说法，不正确的是(　　)
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
答案　ACD
解析　A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；
B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；
C中钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；
D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．
(2)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)
A．120° B．－120° C．－60° D．60°
答案　B
解析　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
即为－×360°＝－120°.
反思感悟　理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
答案　B
解析　钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.
二、终边相同的角
问题2　给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°.
知识梳理
终边相同的角
一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
例2　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
解　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，
(1)最小的正角为315°.
(2)最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
反思感悟　终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．
(2)终边相同的角相差360°的整数倍．
跟踪训练2　(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于(　　)
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
答案　B
解析　角2α与240°角的终边相同，
则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，
则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　)
A．－37° B．143°
C．379° D．－143°
答案　D
解析　与37°角的终边在同一直线上的角可表示为k·180°＋37°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°.
三、象限角
知识梳理
象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
注意点：
(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；
(2)每一个象限都有正角和负角；
(3)无法比较象限角的大小．
例3　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　)
A．－200° B．100°
C．220° D．420°
答案　AB
解析　－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角．
(2)如图所示．
①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解　①终边落在射线OA上的角的集合是
{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是
{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
②终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是
{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
反思感悟　(1)象限角的判定方法
①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．
(2)表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
跟踪训练3　已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
解　30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z},180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
1．知识清单：
(1)任意角的概念．
(2)终边相同的角．
(3)象限角、区域角的表示．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
1．2 022°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
解析　2 022°＝5×360°＋222°，
所以2 022°角的终边与222°角的终边相同，为第三象限角．
2．与－460°角终边相同的角可以表示成(　　)
A．k·360°＋460°，k∈Z
B．k·360°＋100°，k∈Z
C．k·360°＋260°，k∈Z
D．k·360°－260°，k∈Z
答案　C
解析　因为－460°＝(－2)×360°＋260°，故与－460°角终边相同的角可以表示成k·360°＋260°，k∈Z.
3．(多选)下列命题中，为假命题的是(　　)
A．终边在x轴的非正半轴上的角是零角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝k·360°＋α(k∈Ζ)，则α与β终边相同
答案　ABC
解析　终边在x轴负半轴上的角是α＝k·360°＋180°，k∈Z，零角是没有旋转的角，所以A为假命题；
第二象限角应表示为{β|k·360°＋90°<β第四象限角表示为{β|k·360°＋270°<β若β＝k·360°＋α(k∈Z)，则α与β终边相同，所以D为真命题．
4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________．
答案　{α|k·360°＋45°<α解析　观察图形可知，角α的集合是
{α|k·360°＋45°<α1．与－30°终边相同的角是(　　)
A．－330° B．150° C．30° D．330°
答案　D
解析　因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.
2．如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么α(　　)
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．是第三或第四象限角
D．不是象限角
答案　D
解析　点P(0，－3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的负半轴．
3．(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(　　)
A．160° B．480° C．－960° D．1 530°
答案　ABC
解析　160°是第二象限角；
480°＝120°＋360°是第二象限角；
－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．
4．“α是锐角”是“α是第一象限角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　因为α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．
5．(多选)下列命题，为真命题的是(　　)
A．－75°是第四象限角
B．225°是第三象限角
C．475°是第二象限角
D．－225°是第一象限角
答案　ABC
解析　A，B显然为真命题.475°＝360°＋115°为第二象限角，－225°＝－360°＋135°为第二象限角，故C为真命题，D为假命题．
6.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
答案　C
解析　如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}．
7．与－2 022°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________．
答案　138°　－222°
解析　因为－2 022°＝－6×360°＋138°，
138°－360°＝－222°，
所以最小正角为138°，最大负角为－222°.
8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
答案　120°，300°
解析　与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝k·180°－60°，k∈Z.
∵所求角在0°～360°范围内，
∴0°≤k·180°－60°<360°，
解得≤k<，k∈Z，
∴k＝1或2，当k＝1时，β＝120°，
当k＝2时，β＝300°.
9．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解　(1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．
(2)令θ＝n·360°＋250°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解　先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．
11．(多选)角α＝k·180°＋45°(k∈Z)的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　AC
解析　当k＝2m＋1(m∈Z)时，
α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，
故α为第三象限角；
当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，
故α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．
12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
答案　C
解析　方法一　特例法，取α＝30°，可知C正确．
方法二　因为α是第一象限角，所以k·360°<α13．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
答案　D
解析　终边在坐标轴上的角大小为90°的整数倍，
所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
14．如图1是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A，B，C，D(视为点)，并四等分圆弧(如图2)．小明从A点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周运动，假设他每分钟转过的圆心角为θ(0°<θ<180°)，3分钟第一次到达劣弧CD之间(不包括C，D点)，15分钟时回到出发点A，则θ的值为________．
答案　72°
解析　依题意知，小明3分钟转过3θ的圆心角，且180°<3θ<270°，
所以60°<θ<90°，又15分钟时回到出发点A，
所以15θ＝k·360°，k∈N，所以θ＝72°.
15．设集合M＝，N＝，那么(　　)
A．M＝N B．N M
C．M N D．M∩N＝
答案　C
解析　由题意得
M＝
＝，
即M是由45°的奇数倍构成的集合，
又N＝
＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}，
即N是由45°的整数倍构成的集合，
∴M N.
16．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解　由题意可知
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°，①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得α＝15°，β＝65°.

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