资源简介 7.1.2 弧度制学习目标 1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义,掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数.导语同学们,大家看过《水浒传》吗?在这些类似的古典小说中,经常看到“某人身高八尺”这样的说法,若按照我们今天的标准(1米=3尺)换算,这些人的身高都超过了姚明的身高,难道古人真的都有那么高吗?其实不然,在我国历史的不同时期,一尺的标准是不一样的,比如在春秋战国时期,一尺约等于0.23米,这样算来,八尺也就1.84米,“堂堂七尺男儿”也就1.6米左右.据说在商代的时候,一尺约等于0.17米,人高约一丈,故有“丈夫”之称,那么度量角的大小,除了角度以外,还有其他单位吗?让我们开始今天的新课.一、弧度制的概念及角度制与弧度制的相互转化问题1 我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系?提示 不能,比如30°2′11′′,这种表示不能与实数建立一一对应的关系.知识梳理1.弧度制的概念(1)度量角的两种制度角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制1度的角 1度的角等于周角的弧度制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角(2)弧度数的计算2.角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度360°=2π rad 2π rad=360°180°=π rad π rad=180°1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=度≈57.30°度数×=弧度数 弧度数×°=度数注意点:(1)一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关;(2)①弧度单位rad可以省略;②在同一个题目中,弧度与角度不能混用.例1 把下列角度化成弧度或弧度化成角度:(1)72°;(2)-300°;(3)2;(4)-.解 (1)72°=72×=.(2)-300°=-300×=-.(3)2=2×°=°.(4)-=-°=-40°.反思感悟 角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π rad=180°是关键,由它可以得到:度数×=弧度数,弧度数×°=度数.跟踪训练1 已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,试比较α,β,γ,θ,φ的大小.解 α=15°=15×=,θ=105°=105×=,∵<<1<,∴α<β<γ<θ=φ.二、用弧度制表示角的范围例2 将-1 125°写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π,并判断它是第几象限角?解 -1 125°=-1 125×=-=-8π+,其中<<2π,所以是第四象限角,所以-1 125°是第四象限角.延伸探究 若在本例的条件下,在[-4π,4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.解 依题意得,与α终边相同的角为+2kπ,k∈Z,由-4π≤+2kπ≤4π,k∈Z,知k=-2,-1,0,1,所以所求角的集合为.反思感悟 用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍.(2)注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2 (1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为( )A.B.C.D.答案 D解析 150°=150×=,故与150°角终边相同的角的集合为.(2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合.解 终边落在射线OA上的角为θ=k·360°+135°,k∈Z,即θ=+2kπ,k∈Z.终边落在射线OB上的角为θ=k·360°-30°,k∈Z,即θ=2kπ-,k∈Z,故终边落在阴影部分的角θ的集合为.三、弧度制下的扇形的弧长与面积公式问题2 我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么?提示 圆心角为n°,半径为R的扇形的弧长公式和面积公式分别为l=,S=.知识梳理弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,α(|α|≤2π)为其圆心角,则(1)弧长公式:l=|α|r.(2)扇形面积公式:S=rl=|α|r2.例3 (1)已知一扇形的圆心角是72°,半径为20,求扇形的面积.解 设扇形弧长为l,因为圆心角72°=72×= rad,所以扇形弧长l=|α|·r=×20=8π,于是,扇形的面积S=l·r=×8π×20=80π.(2)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数.解 设扇形圆心角为θ(|θ|≤2π),弧长为l cm,半径为r cm,依题意有①代入②得r2-5r+4=0,解得r1=1,r2=4.当r=1时,l=8,此时,|θ|=8 rad>2π rad,舍去.当r=4时,l=2,此时,|θ|== rad.综上可知,扇形圆心角的弧度数为 rad.反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式:弧度制下扇形的面积公式是S=lr=|α|r2(其中l是扇形的弧长,r是扇形的半径,α是扇形圆心角,|α|≤2π).(2)找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.跟踪训练3 若扇形的圆心角为216°,弧长为30π,求扇形的半径及面积.解 设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S,∵216°=216×=,∴l=|α|·r=r=30π,解得r=25,∴S=lr=×30π×25=375π.1.知识清单:(1)弧度制的概念.(2)弧度与角度的相互转化.(3)扇形的弧长与面积的计算.2.方法归纳:消元法.3.常见误区:弧度与角度混用.1.(多选)下列说法中,正确的是( )A.半圆所对的圆心角是π radB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案 ABC解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误.2.下列命题中的假命题是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的C.1 rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关答案 D解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题.3.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是( )A.--8π B.-8πC.-10π D.-10π答案 D解析 -1 485°=-5×360°+315°,化为α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为-10π.4.周长为9,圆心角为1 rad的扇形面积为______.答案 解析 设扇形的半径为r,弧长为l,由题意可知所以所以S=lr=.1.角终边所在的象限是( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案 A解析 =2π+,是第一象限角,故是第一象限角.2.若一个扇形的半径变为原来的2倍,而弧长也变为原来的2倍,则( )A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍答案 B解析 ∵|α|=.∴当r,l均变为原来的2倍时,|α|不变.而S=|α|r2中,∵|α|不变,∴S变为原来的4倍.3.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中,正确的是( )A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z)D.2kπ+(k∈Z)答案 CD解析 A,B中弧度与角度混用,不正确;=2π+,所以与终边相同.-315°=-360°+45°,所以-315°也与45°终边相同,即与终边相同.4.时针经过一小时,转过了( )A. rad B.- rad C. rad D.- rad答案 B解析 时针经过一小时,转过-30°,-30°=- rad.5.集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k为偶数时,集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分(包含边界);当k为奇数时,集合对应的区域为第三象限内直线y=x的右下部分(包含边界).6.(多选)圆的一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )A. B.C. D.答案 AD解析 设该弦所对的圆周角为α,则其圆心角为2α或2π-2α,由于弦长等于半径,所以可得2α=或2π-2α=,解得α=或α=.7.-135°化为弧度为________,化为角度为________.答案 - 660°解析 -135°=-135×=-;=×180°=660°.8.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是________弧度,扇形面积是________.答案 48解析 |α|===,S=l·r=×12×8=48.9.已知角α=1 200°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角;(2)在区间[-4π,0]上找出与α终边相同的角.解 (1)因为α=1 200°=1 200×==3×2π+,所以角α与的终边相同,又<<π,所以角α是第二象限的角.(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+,k∈Z,所以由-4π≤2kπ+≤0,得-≤k≤-.因为k∈Z,所以k=-2或k=-1.故在区间[-4π,0]上与角α终边相同的角是-,-.10.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解 (1)由⊙O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,∴α=∠AOB=60°=.(2)由(1)可知α=,r=10,∴弧长l=|α|·r=×10=,∴S扇形=lr=××10=,而S△AOB=·AB·AB=×10×5=25,∴S=S扇形-S△AOB=25.11.(多选)下列表示中正确的是( )A.终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}B.终边在第二象限角的集合为C.终边在坐标轴上角的集合是D.终边在直线y=x上角的集合是答案 ABC解析 A,B显然正确.对于C,终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为,其并集为,故C正确;对于D,终边在直线y=x上的角的集合为或,其并集为,故D不正确.12.自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是( )A. B.C. D.答案 B解析 由题意,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮逆时针转过周,小链轮转过的弧度是×2π=.13.若角α与角x+有相同的终边,角β与角x-有相同的终边,那么α与β间的关系为( )A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=2kπ(k∈Z)D.α-β=2kπ+(k∈Z)答案 D解析 因为α=x++2k1π(k1∈Z),β=x-+2k2π(k2∈Z),所以α-β=+2(k1-k2)π(k1∈Z,k2∈Z).因为k1∈Z,k2∈Z,所以k1-k2∈Z.所以α-β=+2kπ(k∈Z).14.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为4 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2(精确到1 m2).答案 9解析 =120°,根据题意,弦=2×4×sin =4(m),矢=4-2=2(m),因此弧田面积=×(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2≈9(m2).15.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的 “弓”,掷铁饼者的手臂长约米,肩宽约为米,“弓”所在圆的半径约为1.25米,你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)( )A.1.012米 B.2.043米C.1.768米 D.2.945米答案 C解析 弓形所在的扇形如图所示,则“弓”所在弧长为++=,故扇形的圆心角为=,故AB=×≈×1.414=1.767 5≈1.768.16.如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间及P,Q点各自走过的弧长.解 如图,设P,Q第一次相遇时所用的时间是t 秒,则t·+t·=2π,所以t=4,即P,Q第一次相遇时所用的时间为4秒.P点走过的弧长为×4=,Q点走过的弧长为×4=. 展开更多...... 收起↑ 资源预览