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7.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象
学习目标　1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
导语
网上百度一下一个物理实验：“沙摆实验”，就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上，我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么？
这个轨迹与我们今天要学习的正弦函数、余弦函数的图象有关．
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
问题1　结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？
提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质．
问题2　绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)
提示　如图，在x轴上任取一点O′，以O′为圆心，单位长为半径作圆．在⊙O′中，设的长为x0(即∠AO′P＝x0)，则MP＝sin x0，所以点S(x0，sin x0)是以的长为横坐标，正弦线MP的数量为纵坐标的点．
问题3　我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
提示　在⊙O′中，作出对应于，，，…，的角及相应的正弦线，相应地，把x轴上从0到2π这一段分成12等份．把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示．
最后我们只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
问题4　如何画余弦函数的图象呢？
提示　根据诱导公式sin＝cos x，将正弦曲线向左平移个单位，可得到余弦函数的图象．
知识梳理
正弦函数、余弦函数的图象
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
曲线 正弦曲线：正弦函数的图象 余弦曲线：余弦函数的图象
例1　(多选)下列叙述正确的有(　　)
A．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称
B．y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称
C．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象在x＝π时到达最高点
D．正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围
答案　ABD
解析　由函数y＝sin x和y＝cos x的图象，易知ABD均正确．
反思感悟　解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
跟踪训练1　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是(　　)
A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
答案　A
解析　由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确．
二、“五点法”画函数的图象
知识梳理
“五点法”作图
函数 y＝sin x y＝cos x
图象画法 五点法 五点法
关键五点 (0,0)，，(π，0)， ，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)， ，(2π，1)
例2　用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]．
解　(1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
(2)列表：
x 0 π 2π
－2cos x －2 0 2 0 －2
－2cos x＋3 1 3 5 3 1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象．
反思感悟　作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤
跟踪训练2　利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．
解　列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
例3　方程2sin x－1＝0，x∈[0,2π]的解集为________．
答案　
解析　因为2sin x－1＝0，所以sin x＝.
在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及y＝的图象．又sin ＝sin ＝.
所以当x∈[0,2π]时，方程2sin x－1＝0的根为和.
延伸探究
1．不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为2sin x－1≥0，所以sin x≥.
在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及y＝的图象．又sin ＝sin ＝.
所以根据图象可知，sin x≥的解集为.
2．在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．
解　在x∈[0,2π]上的解集为.
所以x∈R时，不等式的解集为.
反思感悟　利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值．
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集．
(4)根据公式一写出定义域内的解集．
跟踪训练3　解关于x的不等式解　作出正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象，作出直线y＝和y＝，如图所示．
由图可知，在[0,2π]上当1．知识清单：
(1)正弦、余弦函数图象的初步认识．
(2)五点法作图．
(3)正弦、余弦函数图象的应用．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：五点法时选取点错误．
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　)
答案　B
解析　y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.
2．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝1的图象的交点个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　将y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝1的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，
显然，数形结合可知，只有1个交点．
3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　)
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
答案　B
解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
4．函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．
答案　，
解析　由得cos x＝0，
当x∈[0,2π]时，x＝或，
∴交点坐标为，.
1．已知余弦函数过点，则m的值为(　　)
A．0 B．－1
C. D.
答案　C
解析　设余弦函数为y＝cos x，
由函数过点，
可得m＝cos＝.
2．(多选)用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　)
A. B.
C．(π，0) D．(2π，3)
答案　AD
解析　五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.代入计算得B，C是关键点．
3．已知函数f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象(　　)
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位长度，得g(x)的图象
D．向右平移个单位长度，得g(x)的图象
答案　D
解析　f(x)＝sin，
g(x)＝cos＝cos＝sin x，
f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象．
4．在[0,2π]上，函数y＝的定义域是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0,2π]上的图象及直线y＝，如图所示．
由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是，故选B.
5．函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝交点的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，
可知其与直线y＝有2个交点．
6．(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是(　　)
A. B.
C. D.∪
答案　AC
解析　在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的是和.
7．函数f(x)＝sin x－1，x∈[0,2π]与x轴交点的坐标为________．
答案　
解析　令f(x)＝0，∴sin x＝1，
又x∈[0,2π]，
∴x＝.
∴f(x)与x轴交点的坐标为.
8．函数y＝1＋cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点有________个．
答案　2
解析　令1＋cos x＝，
即cos x＝，
∵x∈[0,2π]，
∴x＝或，
所以函数y＝1＋cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点有2个．
9．用“五点法”作出下列函数的图象y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]．
解　列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1＋2sin x 1 3 1 －1 1
描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象如图所示．
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解　(1)y＝sin x＋|sin x|
＝
图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
11．(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]与y＝a有一个交点，则a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．－2
答案　BD
解析　画出y＝sin x－1的图象．如图．
依题意a＝0或a＝－2.
12．方程sin x＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　A
解析　在同一平面直角坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示．
根据图象可知方程有7个根．
13.如图，在平面直角坐标系中，角α(0<α<π)的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，过点B作x轴的垂线，垂足为Q.记线段BQ的长为y，则函数y＝f(α)的图象大致是(　　)
答案　B
解析　由题可得A(cos α，sin α)，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，
可得B，
即B(－sin α，cos α)．
因为线段BQ的长为y，
所以函数y＝f(α)＝|cos α|.
14．已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点，则m＝________；若f(x)<0，则x的取值集合为________．
答案　1　
解析　当x＝时，f(x)＝2cos ＋1＝1，
∴m＝1.
f(x)<0，即cos x<－，作出y＝cos x在x∈[0,2π]上的图象，如图所示．
由图知x的取值集合为.
15．函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
答案　4π
解析　如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
16．若方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
解　在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象，y＝的图象，由图象可知，当≤<1，即当－1学习目标　1.了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．
导语
我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究．我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？
一、正切函数的图象与性质
问题1　我们采用什么方法画正弦函数图象的？
提示　采用平移正弦线的方法，先画出一个周期的图象，再向左、右平移得到正弦函数的图象．
问题2　我们能否采用类似的方法画出函数y＝tan x的图象呢？
提示　可以参照画正弦函数的方法，先利用正切线画出y＝tan x，x∈的图象，如图；再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x的图象．
知识梳理
正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
曲线 正切函数的图象称为正切曲线
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 每个开区间(k∈Z)都是函数的增区间
对称性 对称中心(k∈Z)
注意点：
(1)研究正切函数时应注意定义域；
(2)正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．
角度1　奇偶性与周期性
例1　(1)函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
答案　A
解析　方法一　T＝＝＝.
方法二　f(x)＝tan
＝tan
＝tan
＝f ，
∴T＝.
(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案　A
解析　f(x)的定义域为，关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
反思感悟　与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．
角度2　单调性
例2　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：
①tan ________tan ；
②tan ________tan.
答案　①<　②<
解析　①tan ＝tan ，且0<<<，
又y＝tan x在上是增函数，
所以tan ②tan ＝tan ，tan＝tan ，
因为0<<<，
又y＝tan x在上是增函数，
所以tan (2)求函数y＝tan的单调区间．
解　∵y＝tan x在(k∈Z)上是增函数，∴－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，
即－＋∴函数y＝tan的增区间是(k∈Z)，无减区间．
反思感悟　(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案　A
解析　要使f(x)有意义，必须满足
即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝－
＝－f(x)，
故f(x)＝是奇函数．
(2)函数y＝3tan的减区间为________________．
答案　，k∈Z
解析　y＝3tan可化为
y＝－3tan，
由kπ－得2kπ－故减区间为，k∈Z.
二、正切函数图象与性质的综合应用
例3　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
解　(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，
得x≠＋2kπ(k∈Z)，
所以f(x)的定义域是.
因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f(x)的增区间是(k∈Z)，无减区间．
由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集是
.
反思感悟　解答正切函数图象与性质问题的注意点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个开区间(k∈Z)上都是增函数，但不能说其在定义域内是增函数．
跟踪训练2　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
解　由y＝|tan x|得y＝
其图象如图，
由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为，值域为[0，＋∞)，是偶函数．
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
函数y＝|tan x|的增区间为，k∈Z，减区间为，k∈Z.
1．知识清单：
(1)正切函数的图象与性质．
(2)正切函数图象与性质的综合应用．
2．方法归纳：整体代换、换元法．
3．常见误区：最小正周期T＝(ω>0)，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z)．
1．函数y＝－2＋tan的增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　A
解析　由－＋kπ解得－＋2kπ2．函数y＝tan的一个对称中心是(　　)
A．(0,0) B. C. D．(π，0)
答案　C
解析　令x＋＝，k∈Z，
得x＝－，k∈Z，
所以函数y＝tan的对称中心是，k∈Z.
令k＝2，可得函数的一个对称中心为.
3．函数y＝tan，x∈的值域为________．
答案　(－1，)
解析　∵x∈，∴x－∈，
∴tan∈(－1，)，
∴值域为(－1，)．
4．比较大小：tan ________tan .
答案　>
解析　因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，
又0<<<，
y＝tan x在内是增函数，
所以tan 1．函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.
2．函数y＝tan的最小正周期为(　　)
A．2π B．π C. D.
答案　C
解析　根据周期公式计算得T＝＝.
3．函数f(x)＝sin xtan x(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
答案　B
解析　f(x)的定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sin x·tan x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
4．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．8
答案　C
解析　由题意可得f(x)的最小正周期为，则＝，∴ω＝3.
5．(多选)与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
答案　AD
解析　令2x－＝＋kπ，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，
∴直线x＝＋，k∈Z与函数
y＝tan的图象不相交，
∴令k＝－1，x＝－.
k＝0，x＝.
6．(多选)下列关于函数y＝tan的说法不正确的是(　　)
A．在区间上是增函数
B．最小正周期是π
C．图象关于点对称
D．图象关于直线x＝对称
答案　ACD
解析　令kπ－7．函数y＝tan的增区间是__________．
答案　，k∈Z
解析　令－＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，
则－所以函数y＝tan的增区间是，k∈Z.
8．函数y＝的值域为______________________________.
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　当－所以<－1；
当0所以>1.
即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9．设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期、对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解　(1)∵ω＝，
∴最小正周期T＝＝＝3π.
令－＝(k∈Z)，得x＝π＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝π；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
10．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和减区间；
(2)试比较f(π)与f 的大小．
解　(1)因为f(x)＝3tan
＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－<－得4kπ－因为y＝3tan在(k∈Z)内是增函数，
所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)内是减函数．
故原函数的最小正周期为4π.
减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，
f ＝3tan＝3tan＝－3tan ，
因为0<<<，
且y＝tan x 在上是增函数，
所以tan f .
11．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　A
解析　因为函数的图象过点，
所以tan＝0，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.
12．已知函数y＝tan ωx在区间内是减函数，则(　　)
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
答案　B
解析　∵y＝tan ωx在内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0.
13．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；
③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
答案　D
解析　y＝tan(－x)＝－tan x在上是减函数，只有图象d符合，即d对应③，故选D.
14．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．
答案　[－4,4]
解析　∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
15．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)
答案　D
解析　当当x＝π时，y＝0；
当πsin x，y＝2sin x，且－216．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围．
解　(1)由题意可得f(x)的周期为
T＝－＝＝，所以ω＝，
得f(x)＝Atan，它的图象过点，
所以tan＝0，即tan＝0，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝－，
于是f(x)＝Atan，
它的图象过点(0，－3)，
所以Atan＝－3，得A＝3.
所以f(x)＝3tan.
(2)因为3tan≥，
所以tan≥，
得kπ＋≤x－解得＋≤x<＋，k∈Z，
所以满足f(x)≥的x的取值范围是，k∈Z.第3课时　正弦函数、余弦函数的性质(二)
学习目标　1.掌握正弦函数、余弦函数的单调区间.2.会比较三角函数值的大小.3.掌握正弦函数、余弦函数的对称性．
一、正弦函数、余弦函数的单调性
问题1　观察正弦函数y＝sin x的函数图象，你能写出y＝sin x在x∈上的单调区间吗？
提示　
由上图我们发现，区间正好是函数的一个周期，其中在区间上函数单调递增，在区间上函数单调递减．
知识梳理
正弦函数、余弦函数的单调性
正弦函数 余弦函数
图象
单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都是增函数， 在每一个闭区间(k∈Z)上都是减函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)上都是增函数， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都是减函数
例1　求函数y＝2sin的单调区间．
解　令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z是增(减)函数时，
函数y＝2sin也是增(减)函数．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的减区间为(k∈Z)．
延伸探究
1．求函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调区间．
解　由例题知f(x)＝2sin的增区间为，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，
∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的减区间为.
∴函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的增区间为，，减区间为.
2．求函数y＝sin的增区间．
解　y＝sin＝－sin，
令z＝x－，
而y＝－sin z的增区间是，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin的增区间为
，k∈Z.
反思感悟　求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．
跟踪训练1　求函数y＝2cos的单调区间．
解　令2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
即2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴减区间为(k∈Z)．
∴函数y＝2cos的增区间为(k∈Z)，
减区间为(k∈Z)．
二、利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
例2　比较大小：
(1)sin 220°与sin 230°；
(2)sin与cos.
解　(1)因为函数y＝sin x在90°≤x≤270°上是减函数，且90°<220°<230°<270°，
所以sin 220°>sin 230°.
(2)sin＝sin ＝－sin ，
cos＝cos ＝－cos ＝－sin .
因为函数y＝sin x在上是增函数，而－<<<，
所以sin －sin .
故sin>cos.
反思感悟　比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．
(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练2　比较大小：
(1)cos与cos ；
(2)cos 1与sin 2.
解　(1)cos＝cos ＝cos
＝－cos ，
而cos ＝－cos ，
∵函数y＝cos x在上是减函数，
且0<<<，∴cos >cos .
∴－cos <－cos ，∴cos(2)∵1∈，∴cos 1＝sin，
∵y＝sin x在上是减函数，
又＋1,2∈，且＋1>2，
∴sin三、正弦函数、余弦函数的对称性
问题2　正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
提示　有，(kπ，0)(k∈Z)．
问题3　正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？
提示　是轴对称图形，方程为x＝＋kπ(k∈Z)．
问题4　类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？
提示　对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为(k∈Z)．
知识梳理
正弦函数、余弦函数的对称性
正弦函数 余弦函数
图象
对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z
对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z
例3　函数y＝sin的图象的对称轴是直线________，对称中心是________．
答案　x＝＋(k∈Z)　(k∈Z)
解析　要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，
故函数y＝sin的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．
∵函数y＝sin的图象与x轴的交点为对称中心，令y＝0，即sin＝0，∴2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)．
故函数y＝sin的图象的对称中心是(k∈Z)．
反思感悟　正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.
跟踪训练3　求函数y＝2sin的对称轴、对称中心．
解　y＝2sin＝－2sin，
令2x－＝＋kπ，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，
所以函数y＝2sin的对称轴为
x＝＋，k∈Z，
对称中心的横坐标满足2x－＝kπ，k∈Z，
即x＝＋，k∈Z.
所以函数y＝2sin的对称中心为，k∈Z.
1．知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的单调性．
(2)利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小．
(3)正弦函数、余弦函数的对称性．
2．方法归纳：整体代换、换元法．
3．常见误区：单调区间漏写k∈Z.
1．函数y＝－cos x在区间上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．先减后增 D．先增后减
答案　C
解析　因为y＝cos x在区间上先增后减，
所以y＝－cos x在区间上先减后增．
2．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°答案　C
解析　∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
∴由正弦函数的单调性，
得sin 11°即sin 11°3．(多选)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)
A．y轴 B．直线x＝－
C．直线x＝ D．直线x＝π
答案　BC
解析　当x＝时，y取最大值，
∴x＝是一条对称轴，
当x＝－时y取最小值，
∴x＝－是一条对称轴．
4．函数f(x)＝cos的减区间是__________________________．
答案　(k∈Z)
解析　令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即f(x)＝cos的减区间是(k∈Z)．
1．函数y＝|sin x|的一个增区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由y＝|sin x|的图象知，该函数在上是增函数．
2．(多选)关于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中错误的是(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
答案　ACD
解析　因为函数y＝sin x在上单调递减，
所以f(x)＝sin 2x在上单调递减，故A错误；
因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin(－2x)
＝－sin 2x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，
故B正确；
f(x)的最小正周期为π，故C错误；
f(x)的最大值为1，故D错误．
3．函数y＝sin图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
答案　C
解析　逐一判断四个选项是否满足方程2x＋＝＋kπ(k∈Z)即可．
4．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　C
解析　∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
5．当x∈[－π，π]时，函数y＝3cos的减区间为(　　)
A．[－π，0] B．[0，π]
C. D.和
答案　C
解析　由题意可知y＝3cos＝－3sin x，即求正弦函数的增区间．正弦函数的增区间为
(k∈Z)，
结合x∈[－π，π]，当k＝0时，符合题意．
则函数y＝3cos的减区间为.
6．(多选)如果函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值可以为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　CD
解析　由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，
可得2π＋φ＝＋kπ，k∈Z，
即φ＝－＋kπ，k∈Z，
当|φ|取最小值时，
k＝1，即φ＝－，或k＝2，即φ＝.
故|φ|取最小值时，φ的值为±.
7．函数y＝cos x在区间[－π，a]上是增函数，则a的取值范围是________．
答案　(－π，0]
解析　因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π8．函数f(x)＝sin，x∈[0，π]的增区间为________，减区间为________．
答案　　
解析　f(x)＝－sin，
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，f(x)是减函数．
又0≤x≤π，所以0≤x≤，
即f(x)的减区间为，
同理得f(x)的增区间为，
所以f(x)在x∈[0，π]上的减区间为，
增区间为.
9．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
解　(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的增区间为(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f(x)的图象关于点对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)的增区间．
解　(1)依题意T＝π，∴ω＝2，
f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f(x)的图象关于点对称，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，
得φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|≤，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的增区间为，k∈Z.
11．(多选)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的一个周期为2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)与x轴的一个交点坐标为
D．f(x)在上是减函数
答案　ABC
解析　A显然正确．
f(x)的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，
即x＝－＋kπ，k∈Z，
当k＝3时，x＝，故B正确．
令f(x)＝0，
∴x＋＝＋kπ，k∈Z，
得x＝＋kπ，k∈Z，
令k＝0，∴x＝，故C正确．
令t＝x＋，当x∈时，t∈，
由y＝cos t的图象知y＝cos t在上是减函数，在上是增函数，故D不正确．
12．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)，若f(x)关于x＝对称，则f(x)的一个增区间可以是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵f(x)关于x＝对称，
则＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝－2sin.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，得≤x≤.
即f(x)的一个增区间可以是.
13．(多选)下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin
B．cos 400°>cos
C．sin 3D．sin >cos
答案　BD
解析　y＝sin x在上是增函数，
又－<－<－<0，
∴sincos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，
故B成立．
y＝sin x在上是减函数，
又<3<4<，
∴sin 3>sin 4，故C不成立．
sin ＝－sin ，
cos ＝－cos ＝－sin＝－sin .
∵0<<<，且y＝sin x在上是增函数．
∴sin ∴sin >cos ，故D成立．
14．将sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为______________．
答案　sin 3解析　∵1<<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，
sin(π－3)＝sin 3，y＝sin x在上是增函数，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 315．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A>sin B，则(　　)
A．cos C>0 B．cos C<0
C．cos C＝0 D．cos C≥0
答案　B
解析　因为角A，B均为锐角，
所以0cos A>sin B cos A>cos A<－B A＋B< π－C< C>，
而C为三角形的内角，所以因此cos C<0.
16．已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，求ω的取值范围．
解　∵函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
当－－＋<ωx＋<＋，
又当x＝0时，ωx＋＝，
∴解得ω≤，
∵ω>0，∴0<ω≤，
因此，ω的取值范围是.第2课时　正弦函数、余弦函数的性质(一)
学习目标　1.会求与正弦函数、余弦函数有关的定义域.2.会求与正弦函数、余弦函数有关的的值域(最值).3.解决正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性有关的问题．
导语
我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质．
一、正弦函数、余弦函数的定义域
问题1　观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的定义域、值域吗？
提示　定义域都是R，值域都是[－1,1]．
知识梳理
正、余弦函数的定义域
y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
例1　求函数y＝＋lg(2sin x－1)的定义域．
解　要使函数有意义，
只要
即
如图所示，
cos x≤的解集为；
sin x>的解集为，
它们的交集为，即为函数的定义域．
反思感悟　用三角函数图象求解定义域的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集．
(3)根据公式一写出方程或不等式的解集．同时注意区间端点的取舍．
跟踪训练1　求函数f(x)＝的定义域．
解　要使函数有定义，
需满足2cos2x＋sin x－1≥0，
即2sin2x－sin x－1≤0，
解得－≤sin x≤1，
由正弦函数的图象，可得函数的定义域为
.
二、正弦函数、余弦函数的值域
知识梳理
正、余弦函数的值域
y＝sin x y＝cos x
图象
值域 [－1,1] [－1,1]
例2　求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R.
解　(1)由y＝cos，x∈，
可得x＋∈，
由函数y＝cos x在区间上的图象(图略)可得值域为.
(2)y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，x∈R，
则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，－1≤t≤1，
当t＝－1时，函数取得最大值10；
当t＝1时，函数取得最小值2，
所以函数的值域为[2,10]．
反思感悟　三角函数值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．
跟踪训练2　已知f(x)＝2sin＋1，x∈，求f(x)的最大值和最小值．
解　∵x∈，
∴－≤2x－≤，
当2x－＝－，
即x＝0时，f(x)min＝－＋1，
当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝3，
综上，当x＝0时，f(x)min＝－＋1，
当x＝时，f(x)max＝3.
三、正弦函数、余弦函数的奇偶性与周期性
问题2　观察正弦函数、余弦函数的图象，你能得到这两个函数的奇偶性吗？
提示　由正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称可知，正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数．
问题3　知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？
提示　通过研究一个周期内的函数图象，可推导出整个函数具有相同的性质．
知识梳理
正、余弦函数的奇偶性与周期性
y＝sin x y＝cos x
图象
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 2π 2π
例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　f ＝f ＝f ＝f
＝f ＝f ＝sin ＝.
延伸探究
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f 的值为________．
答案　－
解析　f ＝f ＝f ＝f
＝f ＝－f ＝－sin ＝－.
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f ＝－f(x)，f ＝1，则f 的值为________．
答案　1
解析　∵f ＝－f(x)，
∴f(x＋π)＝－f ＝－[－f(x)]＝f(x)，∴T＝π，
∴f ＝f ＝f ＝f ＝1.
反思感悟　三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acos ωx(A≠0，ω>0)其中的一个．
跟踪训练3　函数f(x)＝sin(ω≠0)，则f(x)是________(填“奇函数”或“偶函数”)，若f(x)的周期为π，则ω＝________.
答案　偶函数　±2
解析　f(x)＝sin＝－cos ωx.
∴f(－x)＝－cos(－ωx)
＝－cos ωx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，
又T＝π，∴＝π，∴ω＝±2.
1．知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的定义域．
(2)正弦函数、余弦函数的值域(最值)．
(3)正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性．
2．方法归纳：整体代换法、换元法，数形结合法．
3．常见误区：求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围．
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案　A
解析　由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．函数y＝|cos x|，x∈R的周期为(　　)
A．π B．2π C. D．4π
答案　A
解析　y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.
3．函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为____________________．
答案　
解析　要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.画出y＝sin x，x∈的草图，如图所示．
当－－成立，
所以sin x>－的解集为.
即函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为.
4．函数y＝3－4cos的值域为________．
答案　[－1,7]
解析　因为－1≤cos≤1，
所以－1≤3－4cos≤7，
故该函数的值域为[－1,7]．
1．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　)
A. B．π C．2π D．4π
答案　D
解析　由题意得T＝＝4π.
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
答案　B
解析　∵f(x)＝sin＝－sin
＝－cos 2x，x∈R，
又T＝＝π，且f(－x)＝－cos(－2x)
＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
3．函数y＝f(x)＝xsin x的部分图象是(　　)
答案　A
解析　∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x
＝f(x)，
∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，故选A.
4．(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是(　　)
A．y＝|sin x| B．y＝sin 2x
C．y＝sin D．y＝cos x
答案　AC
解析　A中，由y＝|sin x|的图象知，
y＝|sin x|是周期为π的偶函数，所以A正确；
B中，函数为奇函数，所以B不正确；
C中，y＝sin＝cos 2x，T＝π，
所以C正确；
D中，函数y＝cos x，T＝4π，所以D不正确．
5．函数y＝cos2x＋sin x的最大值为(　　)
A．2 B. C．1 D．0
答案　B
解析　y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x，
令t＝sin x，t∈[－1,1]，
y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
当t＝时，ymax＝.
6．(多选)若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为(　　)
A．2 B．－2 C．0 D．－1
答案　AB
解析　当a>0时，得
所以ab＝2.
当a<0时，
得
所以ab＝－2，
综上所述ab＝±2.
7．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
答案　－9
解析　令g(x)＝x3cos x，
∴g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x
＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，
∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
8．函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为________________．
答案　∪∪
解析　由题意得x满足不等式组
即
作出y＝cos x的图象，如图所示．
结合图象可得函数的定义域为
∪∪.
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2cos；
(2)f(x)＝cos x－x3sin x.
解　(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∵f(x)＝2cos＝2cos
＝－2sin x，
又f(－x)＝－2sin
＝2sin x＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
∵f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)
＝cos x－x3sin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
10．设a，b为实数，已知定义在区间上的函数f(x)＝2asin 2x＋b的最大值为1，最小值为－5，求a，b的值．
解　因为x∈，
则2x∈，
所以－1≤sin 2x≤1，
因为函数f(x)＝2asin 2x＋b的最大值为1，最小值为－5，
当a>0时，有2a＋b＝1，－2a＋b＝－5，
解得a＝，b＝－2；
当a<0时，有2a＋b＝－5，－2a＋b＝1，
解得a＝－，b＝－2.
11．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．1 D.
答案　B
解析　依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值．因此|x1－x2|＝T(k∈Z)．
∴当k＝0时，|x1－x2|min＝T＝×＝2.
12．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)在R上为偶函数，则φ可等于(　　)
A．0 B. C. D．π
答案　C
解析　代入排除，当φ＝时，
y＝sin＝cos x为偶函数．
13．已知函数f(x)＝sin ωx在上恰有4个零点，则正整数ω的值为(　　)
A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．5或6
答案　C
解析　因为函数f(x)＝sin ωx在上恰有4个零点，
所以·≤<2·，
解得4≤ω<，
所以正整数ω的值为4或5.
14．函数f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈，当x＝________时，f(x)最小且最小值为________．
答案　　－
解析　令t＝cos x，x∈，
∴t∈，
y＝3t2－4t＋1＝32－.
∵y＝32－在t∈上是减函数，
∴当t＝，即x＝时，
ymin＝3×2－4×＋1＝－.
15．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为________．
答案　2π
解析　作出函数y＝sin x的图象，如图所示．由图可知，
b－a的最大值为－＝，
b－a的最小值为－＝.
所以最大值与最小值之和为＋＝2π.
16．若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，求实数m的取值范围．
解　因为cos2θ＋2msin θ－2m－2<0，
即sin2θ－2msin θ＋2m＋1>0恒成立，
令t＝sin θ，则t∈[－1,1]，
所以不等式可化为2m(t－1)当t＝1时，不等式变为0<2恒成立，
所以m∈R；
当t∈[－1,1)时，不等式可化为
2m>＝
＝2－恒成立，
因为2－≤2－2，
当且仅当1－t＝，
即t＝1－时等号成立，
所以2m>2－2，解得m>1－，
所以实数m的取值范围是(1－，＋∞)．

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