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第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(二)
学习目标　掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题．
一、已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
问题1　确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定三角函数的哪些参数？
提示　A，ω，φ的值．
问题2　观察如图所示的函数图象，你能说说这个图象有什么特点吗？
提示　这是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是－3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质．
例1　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
解　方法一　(逐一定参法)
由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝，
∴y＝3sin.
方法二　(待定系数法)
由图象知A＝3.
∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
方法三　(图象变换法)
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
∴y＝3sin 2，即y＝3sin.
反思感悟　给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
跟踪训练1　(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
答案　A
解析　由题图可知，A＝2，T＝2×＝π，所以ω＝2.由函数经过点可知2sin＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．
解　由最低点M，得A＝2.
在x轴上两相邻交点之间的距离为，
故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.
由点M在图象上得
2sin＝－2，即sin＝－1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
又φ∈，
∴φ＝.故f(x)＝2sin.
二、函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
问题3　你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质吗？
提示　可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可．
知识梳理
函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
对称性 对称中心(k∈Z)
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
例2　(1)(多选)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为(　　)
A. B. C．0 D．－
答案　ABD
解析　将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.当k＝－1时，φ＝－.当k＝1时，φ＝，故选ABD.
(2)若f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间上是增函数，则ω的最大值为________．
答案　
解析　因为f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间上是增函数，可得－·2ω≥－，且·2ω≤，解得ω≤，故ω的最大值为.
反思感悟　(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数．
(2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
②采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
跟踪训练2　在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
①f(x)的最小正周期为π，且f(x)是偶函数；
②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且f ＝0；
③x＝0与x＝是f(x)图象上相邻的两条对称轴，且f(0)＝2.
问题：已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)，若________．
(1)求ω，φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　方案一：选条件①，
(1)∵f(x)的最小正周期为π，
∴T＝＝π，∴ω＝2.
又f(x)是偶函数，
∴f(0)＝2sin φ＝±2，∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，∴φ＝.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＝2cos 2x，
将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝2cos的图象．
再将横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2cos的图象．
由2kπ≤－≤2kπ＋π，k∈Z.
当k＝0时，≤x≤，
∵0≤x≤π，∴≤x≤π，
∴g(x)在[0，π]上的减区间是.
方案二：选条件②，
(1)∵函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，∴T＝＝π，∴ω＝2，又f ＝0，
∴sin＝0，即cos φ＝0，
∴φ＝kπ＋，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝.
(2)同方案一(2)．
方案三：选条件③，
(1)∵x＝0与x＝是f(x)图象上相邻的两条对称轴，∴＝，即T＝＝π.
∴ω＝2，又f(0)＝2sin φ＝2，∴sin φ＝1，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝.
(2)同方案一(2)．
1．知识清单：
(1)由图象求三角函数的解析式．
(2)三角函数的性质的综合应用．
2．方法归纳：特殊点法、数形结合法．
3．常见误区：求φ值时增区间上与x轴的交点和减区间上与x轴的交点的区别．
1．将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得图象所对应的函数是(　　)
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
答案　D
解析　y＝sin
y＝sin＝sin
＝cos 2x，为偶函数．
2．若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是(　　)
A. B. C. D．－
答案　A
解析　令x＝0得f(0)＝2sin＝±2，
∴sin＝±1，把φ＝代入，符合上式．故选A.
3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上是增函数”的一个函数是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案　C
解析　由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.
由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，
验证知只有C符合要求．
4.如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为________．
答案　y＝sin
解析　由图象，可得A＝，
·＝－，∴ω＝2.
∵函数图象过点，∴sin＝0，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又∵－π<φ<0，∴φ＝－，
故函数的解析式为y＝sin.
1．(多选)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x有f ＝f ，则f 等于(　　)
A．－3 B．－1 C．0 D．3
答案　AD
解析　由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f ＝f ，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f 是函数f(x)的最大值或最小值，则f ＝－3或3.
2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
答案　C
解析　由图象知，A＝2，T＝－＝π，
所以ω＝2，又函数图象过点，
所以2sin＝0，
所以－＋φ＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，φ可取，
所以f(x)＝2sin.
3．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两条对称轴之间的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos ωx的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　A
解析　由已知得＝2×，故ω＝2.
y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度可得
y＝cos 2＝cos的图象．
4．将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得y＝sin 2x，再向左平移φ(φ>0)个单位长度后得y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，取k＝0，得φ的最小值为.
5．(多选)函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是(　　)
A．关于点对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
答案　ABC
解析　将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos.
令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，
故A不正确．
令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故B不正确．
令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故C不正确，D正确．
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω和φ的值分别为(　　)
A．4， B．2，
C．2， D．1，
答案　C
解析　由题意知，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2；
又因为当x＝时有最大值2，
f ＝2sin＝2sin＝2，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且|φ|≤，
所以φ＝.
7.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.
答案　3＋
解析　由图可知A＝2，＝－＝，
所以T＝2π，所以ω＝1.
再根据f ＝2得sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又因为－<φ<，
所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋.
8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.
答案　
解析　由图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f(0)＝sin φ＝sin ＝.
9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的增区间．
解　(1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16，
所以ω＝＝，
所以f(x)＝sin，
将点(－2,0)代入得sin＝0，
所以－＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f(x)＝sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
所以f(x)的增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解　(1)由题意知A＝3，
T＝＝＝5π，
所以ω＝.
由f(x)＝3sin的图象过点，
得sin＝0，
又|φ|<，所以φ＝－，
所以f(x)＝3sin.
(2)由f(x＋m)＝3sin
＝3sin为偶函数(m>0)，
知－＝kπ＋(k∈Z)，
即m＝kπ＋(k∈Z)．
因为m>0，所以mmin＝.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．
11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)
A．B＝4 B．φ＝ C．ω＝1 D．A＝4
答案　B
解析　由函数图象可知
f(x)min＝0，f(x)max＝4.
所以A＝＝2，B＝＝2.
由周期T＝＝4＝π知ω＝2.
由f ＝4得2sin＋2＝4，
sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，故φ＝.
12．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0.若f(x)在区间上单调，且f ＝f ＝－f ，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B．2π C．4π D．π
答案　D
解析　因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调，ω>0，
所以－≤＝·＝，
解得0<ω≤3.
又因为f ＝f ＝－f ，
所以直线x＝＝为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的一条对称轴，且＝，点为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的一个对称中心．
因为0<ω≤3，所以直线x＝与点为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，
所以T＝4＝π.
13.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f 的值为________．
答案　
解析　取KL的中点N，则MN＝，
∴A＝.
由T＝2，得ω＝π.
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝cos πx，∴f ＝cos ＝.
14．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
答案　
解析　依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，
∴f(x)图象关于直线x＝对称，
即关于直线x＝对称，且－≤T＝，
∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω≤12，
∴ω＝.
15．方程2sin πx＝在x∈[－2,1)∪(1,4]内的所有实数解之和为________．
答案　8
解析　作函数y＝2sin πx与y＝的图象如图所示，
由图可知共有8个公共点，所以方程有8个实数解．
易知两函数图象都关于点(1,0)中心对称，设8个交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，…，x8，则x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，从而x1＋x2＋…＋x8＝8，
所以原方程的实数解之和为8.
16.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－lg x＝0的解的个数．
解　(1)由题图，知A＝2，
由函数图象过点(0,1)，
得f(0)＝1，即sin φ＝，
又|φ|<，所以φ＝.
易知点是五点作图法中的第五点，
所以ω＋＝2π，所以ω＝2.
因此所求函数的解析式为
f(x)＝2sin.
(2)在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lg x的图象如图所示．
因为f(x)的最大值为2，
令lg x＝2，得x＝100，
令＋kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)．
而＋31π>100，且＋30π＋<100，
所以在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间．
在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31＝62(个)交点．
另外，两函数的图象在上还有一个交点，
所以方程f(x)－lg x＝0共有63个实数解．7.3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)
第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(一)
学习目标　1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
导语
通过前面的学习，我们知道形如y＝Asin(ωx＋φ)这类函数的性质，与正弦函数的性质有一定的相似性，那么这类函数的图象与正弦曲线是否有关系呢？带着这个问题，开始今天的学习．
一、φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
问题1　你能在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝sin的函数图象吗？
提示　
我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段AB的长度保持不变．可以发现，y＝sin的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上的点的横坐标加，这说明y＝sin的图象可以看作是把正弦函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
知识梳理
φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
例1　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
解　函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
延伸探究
1．函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sin的图象经过怎样的变换而得到的？
解　函数y＝sin x的图象，可以看作是由y＝sin上所有的点向左平移个单位长度而得到的．
2．函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换而得到的？
解　因为y＝sin＝sin，故是由y＝sin(－x)的图象向右平移个单位长度得到的．
反思感悟　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减．
跟踪训练1　为了得到y＝sin的图象只需将函数y＝cos x的图象________________而得到．
答案　向右平移个单位长度
解析　y＝sin＝cos
＝cos＝cos，
只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin的图象．
二、A(A >0且A≠1)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
问题2　在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝3sin x的图象，你能得出什么结论？
提示　(图略)可以发现对于同一x值，y＝3sin x的图象上的点的纵坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点纵坐标的3倍．
问题3　在同一坐标系下函数y＝sin和y＝3sin的图象如图所示，问题2的结论还成立吗？
提示　依然成立．
知识梳理
A(A >0且A≠1)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
例2　函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标变为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
答案　3
反思感悟　在研究A(A>0且A≠1)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标变成原来的A倍(横坐标不变)，即可得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
跟踪训练2　为了得到函数y＝cos x的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有点的(　　)
A．横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变
答案　D
三、ω(ω >0且ω≠1)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
问题4　如图是y＝sin x与y＝sin x的图象，你能发现什么？
提示　由图象我们可以看到，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sin x的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝sin x的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．
问题5　借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sin和y＝sin的函数图象如图所示，你能得到什么？
提示　可以发现，对于同一个y值，y＝sin的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin的图象上的点的横坐标的，这说明y＝sin的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
知识梳理
ω(ω >0且ω≠1)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
例3　(1)为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的(　　)
A．横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变
答案　B
(2)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案　C
解析　将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin的图象．
反思感悟　在研究 ω(ω>0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到y＝sin(ωx＋φ)的图象．
跟踪训练3　函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
答案　
解析　函数y＝cos x
y＝cos x，所以ω＝.
1．知识清单：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响．
(2)y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：先平移和先伸缩作图时平移的量不一样．
1．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　A
2．要得到函数y＝cos的图象，只需将y＝cos 3x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　C
解析　将y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝cos 3＝cos的图象．
3．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
答案　A
解析　当x＝0时，y＝sin＝－<0，故排除B，D；当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C.
4．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
答案　D
解析　C1：y＝cos x＝sin.
即y＝siny＝sin
＝sin 2y＝sin 2
＝sin.
1．将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得y＝sin 4＝sin，所以φ的值为.
2．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　B
解析　y＝sin＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象．
3．函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的倍，然后将图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos
答案　B
解析　y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；再把y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos＝－sin 2x的图象．
4．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案　A
解析　y＝sin 2x
y＝sin 2＝sin
＝－sin(π－2x)＝－sin 2x.
由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．
5．函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)
A. B．2 C．1 D.
答案　C
解析　依题意得，函数f ＝sin ω(ω>0)的图象过点，
于是有f ＝sin ω
＝sin ωπ＝0(ω>0)，
所以ωπ＝kπ，k∈N*，即ω＝k，k∈N*，
因此正数ω的最小值是1.
6．(多选)有下列四种变换，其中能使y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是(　　)
A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的倍
B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的倍
C．各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度
答案　AD
解析　由y＝sin x的图象变为y＝sin的图象有两种变换方式，第一种：先平移，后伸缩，向左平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的倍；第二种：先伸缩，后平移，各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度．
7．函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，将横坐标变为原来的5倍，可得到函数____________的图象．
答案　y＝sin
解析　y＝sin的图象y＝sin的图象．
8．将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________．
答案　y＝－cos 2x
解析　将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x.
9．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解　先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象．
10．已知函数f(x)＝sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)求函数f(x)的增区间；
(3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？
解　(1)列表如下：
2x－ 0 π 2π
x
f(x) 0 1 0 －1 0
描点连线，图象如图所示．
(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的增区间是，k∈Z.
(3)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到f(x)的图象．
11．将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝sin x
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
答案　B
解析　将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象．
12．(多选)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得函数的性质有(　　)
A．在上是减函数
B．在上是增函数
C．周期为π
D.是一个对称中心
答案　BCD
解析　把函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝3sin，
即y＝3sin.
其周期为π，是一个对称中心．
当函数为增函数时，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
取k＝0，得≤x≤.所得图象对应的函数在区间上为增函数．
13．设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D．3
答案　C
解析　
y＝sin＋2
y1＝sin＋2
＝sin＋2.
因为y与y1的图象重合，
所以－ω＝2kπ(k∈Z)．
所以ω＝－k.
又因为ω>0，k∈Z，
所以k＝－1时，ω取最小值为.
14．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝Asin x的图象，则ω＝________，φ＝________.
答案　　
解析　y＝Asin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝Asin的图象，再将每一点的横坐标变为原为的2倍(纵坐标不变)，得到y＝Asin的图象，即为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，
所以f(x)＝Asin，
所以ω＝，φ＝.
15．已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．若g＝，则f 的值为________．
答案　
解析　∵f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝Asin 2x，
将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x，
∵g＝，
∴g＝Asin ＝A＝，
∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x，
∴f ＝2sin ＝2×＝.
16．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上为增函数，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a解　(1)因为ω>0，根据题意有
解得0<ω≤.
所以ω的取值范围是.
(2)由f(x)＝2sin 2x可得，
g(x)＝2sin 2＋1
＝2sin＋1，
g(x)＝0 sin＝－
x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z，即g(x)的图象与x轴交点相邻间隔依次为和，故若y＝g(x)的图象在[a，b]上与x轴至少有30个交点，
则b－a的最小值为14×＋15×＝.

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