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章末复习课
一、三角函数式的化简、求值
1．(1)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α.
(2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
2．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方去根号．
3．求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．
4．通过三角函数中公式的正用、逆用及变形应用，提升逻辑推理和数学运算素养．
例1　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解　(1)f(α)＝
＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
又∵<α<，∴cos α即cos α－sin α<0，
∴cos α－sin α＝－.
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f ＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos ·sin ＝×＝.
反思感悟　三角函数式的求值、化简的策略
(1)化弦：当三角函数式中含有正弦、余弦及正切函数时，往往把切化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称统一为正切，再化简．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有时会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些化简却需要利用公式将1代换为三角函数式．
三角函数式化简的实质是灵活地运用公式进行运算，从而得到一个便于观察和研究的结果，在这个过程中，要体现一个“活”字．当然“活”的体现涉及公式的“活”和角的“活”．
跟踪训练1　已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为(　　)
A．1 B．－ C．－1 D．－4
答案　A
解析　根据任意角的三角函数定义，可得tan α＝3，
所以＝
＝tan α－＝－＝1.
二、三角函数的图象与性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换．
3．借助三角函数的图象和性质，培养直观想象和数学运算素养．
例2　已知函数f(x)＝2sin－在x＝处取得最值，其中ω∈(0,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若α为锐角，且g(α)＝－，求cos的值．
解　(1)∵函数f(x)在x＝处取得最值，
∴2ω×－＝kπ＋，k∈Z，
解得ω＝2k＋，k∈Z.又ω∈(0,2)，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin－.∴最小正周期T＝.
令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋π≤x≤＋π，k∈Z，
∴f(x)的增区间为，k∈R.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin－＝2sin－的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sin－的图象，
即g(x)＝2sin－.
∵α为锐角，g(α)＝2sin－＝－，
∴sin＝.
∴cos＝＝.
反思感悟　三角函数的三条性质
(1)单调性：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的增(减)区间对应解出x，即得所求的增(减)区间．
(2)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调，且将函数f(x)的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合．当x∈(0,4π)时，使得不等式f(x)≤成立的x的最大值为________．
答案　
解析　因为函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调，
所以≥－＝，
即T＝≥，
则0<ω≤，
由于函数f(x)的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合，
所以4π＝nT，则T＝＝，
则ω＝，n∈Z，
所以ω＝，
则f(x)＝sin，
由于不等式f(x)≤成立，
故－＋2kπ≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得－3π＋4kπ≤x≤4kπ－(k∈Z)，
由于x∈(0,4π)，当k＝1时，π≤x≤，
则不等式f(x)≤成立的x的最大值为.
三、三角函数模型的简单应用
例3　潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是海水受日月的引力，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象．一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐．某观测站通过长时间的观测，其发现潮汐的涨落规律和函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象基本一致且周期为4π，其中x为时间，f(x)为水深．当x＝时，海水上涨至最高5米．
(1)作出函数f(x)在[0,4π]内的图象，并求出潮汐涨落的频率和初相位；
(2)求海水水深持续加大的时间区间．
解　(1)T＝＝4π，
又因为ω>0，所以ω＝，
又A＝5，x＝时，
sin＝1 φ＝，
故函数f(x)＝5sin，
频率f＝＝；x＝0时，初相位φ＝，
图象应用五点作图法分别取x＝0，
，，，，4π，
求出对应的函数值，并描点和绘制，如图所示．
(2)求海水水深持续加大的时间区间，
即求f(x)的增区间，
令z＝x＋，
函数y＝5sin z的增区间为，k∈Z，
即－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ －＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)．
反思感悟　解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练3　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，且圆O与水平面的距离为2米，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是(　　)
A．H＝4sin＋2
B．H＝4sin＋2
C．H＝4sin＋2
D．H＝4sin＋2
答案　D
解析　设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝Asin(ωt＋φ)＋B，
周期为120 s，ω＝＝＝，
最高高度为4＋2＝6，最低高度为－4＋2＝－2，
所以A＋B＝6，－A＋B＝－2，
∴A＝4，B＝2.
当t＝0时，H＝0,4sin φ＋2＝0，
∴sin φ＝－，
∴φ＝－，
所以H＝4sin＋2.

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