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2022年高考数学真题分类汇编专题09：解三角形
一、填空题
1．（2022·浙江）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的面积 　 　．
【答案】
【知识点】秦九韶算法；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解法一：三角形的三边代入公式得
解法二：三角形的三边，代入余弦定理得，则，
则面积.
【分析】直接由秦九韶计算可得面积．
2．（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， 　 　．
【答案】 或
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
3．（2022·浙江学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=　 　.
【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为a=2，A=45°，B=60°， ，
所以 .
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而得出b的值。
4．（2022·上海）在△ABC中， ， ， ，则△ABC的外接圆半径为　 　
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设AB=c,AC=b,BC=a，则c=2,b=3,
则由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得
∴
则由正弦定理得,
则R=
故答案为：
【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可.
二、解答题
5．（2022·浙江）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
【答案】解：（Ⅰ） 由于 ，则 .
由正弦定理可知 ，则 .
（Ⅱ）因为 ，则 .
故 ，
则 ， 的面积 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由，易知，再根据同角三角函数基本关系求出sinC，最后由正弦定理可求得sinA；
（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．
6．（2022·新高考Ⅱ卷）记 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求b．
【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为 ，
∴ ，即 ，
由 得： ，
∴
故 .
（2）解：由正弦定理得： ，故 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
7．（2022·全国乙卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
（1）若 ，求C；
（2）证明： .
【答案】（1）解：∵
且
∴
∵sinB＞0
∴
∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π
即：2C-A=π
又∵A+B+C=π，A=2B
∴C=
（2）证明：由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
8．（2022·全国乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的周长．
【答案】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
9．（2022·北京）在 中， ．
（I）求 ：
（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ；
（II）∵ ，∴ ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，即可得 周长.
10．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
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2022年高考数学真题分类汇编专题09：解三角形
一、填空题
1．（2022·浙江）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的面积 　 　．
2．（2022·全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， ．当 取得最小值时， 　 　．
3．（2022·浙江学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=　 　.
4．（2022·上海）在△ABC中， ， ， ，则△ABC的外接圆半径为　 　
二、解答题
5．（2022·浙江）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
6．（2022·新高考Ⅱ卷）记 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求b．
7．（2022·全国乙卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
（1）若 ，求C；
（2）证明： .
8．（2022·全国乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的周长．
9．（2022·北京）在 中， ．
（I）求 ：
（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
10．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】秦九韶算法；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解法一：三角形的三边代入公式得
解法二：三角形的三边，代入余弦定理得，则，
则面积.
【分析】直接由秦九韶计算可得面积．
2．【答案】 或
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m ，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，，即BD= .
故答案为： .
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
3．【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为a=2，A=45°，B=60°， ，
所以 .
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而得出b的值。
4．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设AB=c,AC=b,BC=a，则c=2,b=3,
则由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得
∴
则由正弦定理得,
则R=
故答案为：
【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可.
5．【答案】解：（Ⅰ） 由于 ，则 .
由正弦定理可知 ，则 .
（Ⅱ）因为 ，则 .
故 ，
则 ， 的面积 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由，易知，再根据同角三角函数基本关系求出sinC，最后由正弦定理可求得sinA；
（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．
6．【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为 ，
∴ ，即 ，
由 得： ，
∴
故 .
（2）解：由正弦定理得： ，故 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
7．【答案】（1）解：∵
且
∴
∵sinB＞0
∴
∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π
即：2C-A=π
又∵A+B+C=π，A=2B
∴C=
（2）证明：由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
8．【答案】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
9．【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ；
（II）∵ ，∴ ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，即可得 周长.
10．【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
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