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1.3　交集、并集
课标要求 素养要求
理解两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的并集与交集. 能用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达集合的并集和交集运算，发展学生的数学抽象和数学运算素养.
自主梳理
1.交集
(1)自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”).
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.
(3)图形语言：如图所示.
(4)运算性质
①A∩B＝B∩A；②A∩B A，A∩B B；③A∩ ＝ ；④A∩A＝A.
2.并集
(1)自然语言：由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”).
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
(3)图形语言：如图所示.
(4)运算性质：A∪B＝B∪A，A A∪B，B A∪B，A∪A＝A，A∪ ＝ ∪A＝A.
如果A B，则A∪B＝B，反之也成立.
3.区间
设a，b∈R，且a(1)
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
对并集的理解
(1)A∪B仍是一个集合，A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
(2)“或”字的意义：并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同.生活中的“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定互相排斥.“x∈A或x∈B”包括三种情况，如图所示.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若x∈A∩B，则x∈A∪B.(√)
(2)若集合A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素.(×)
提示　A与B中若有公共元素，则A∪B中就没有4个元素.
(3)若A＝{1，2}，B＝{3，4}，则A与B没有交集.(×)
提示　交集为 .
(4)若A∪B＝A，则A B.(×)
提示　若A∪B＝A，则B A.
2.设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，6}
答案　B
解析　由题意可得A∪B＝{1，2，4，6}，∴(A∪B)∩C＝{1，2，4}.故选B.
3.已知集合M＝{－1，0}，则满足M∪N＝{－1，0，1}的集合N的个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
答案　C
解析　由集合N M∪N，又M＝{－1，0}，M∪N＝{－1，0，1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{－1，1}或{－1，0，1}，共4个.故选C.
4.若P＝{x|x≥1}，Q＝{x|－1答案　{x|1≤x<4}
解析　如图所示，P∩Q＝{x|1≤x<4}.
题型一　交集的概念与运算
【例1】　(1)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(　　)
A.{1，3} B.{3，5} C.{5，7} D.{1，7}
(2)已知区间A＝(－5，2)，B＝(－3，3)，则A∩B等于(　　)
A.(－3，2) B.(－5，2) C.(－3，3) D.(－5，3)
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)既在集合A中，又满足2≤x≤5的元素只有3和5.故A∩B＝{3，5}.
(2)在数轴上将区间A，B表示出来，如图所示.
由交集的定义，可得A∩B为图中阴影部分，
即A∩B＝(－3，2).
思维升华　求“A∩B”的关键是找出集合A与B的所有公共元素，再用适当的方法将A∩B表示出来.
①若集合A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根，再求两集合的交集.
②若集合A，B是连续无限数集，则可以借助数轴的直观性来求解.
【训练1】　(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝(　　)
A.x＝3，y＝－1 B.(3，－1)
C.{3，－1} D.{(3，－1)}
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)分别令3n＋2＝6，8，10，12，14，只有3n＋2＝8，3n＋2＝14有自然数解，故A∩B＝{8，14}，故选D.
(2)由得故M∩N＝{(3，－1)}.
题型二　并集的概念与运算
【例2】　(1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝(　　)
A.{1，2，3，4} B.{1，2，3}
C.{2，3，4} D.{1，3，4}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝(　　)
A.{x|－1≤x＜3} B.{x|－1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥－1}
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由定义知A∪B＝{1，2，3，4}.
(2)在数轴上表示两个集合，
如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}.
思维升华　求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到.
【训练2】　(1)已知集合P＝{0，1，2，3}，Q＝{－2，1，2}，则P∪Q＝(　　)
A.{－2，0，1，2} B.{－2，0，1，2，3}
C.{1，2} D.{0，1，2，3}
(2)若A＝(－1，2]，B＝{x|x≥0}，则A∪B＝________.
答案　(1)B　(2)(－1，＋∞)
解析　(1)根据并集的定义，知P∪Q中包含了集合P和集合Q中的所有元素，但要注意相同元素在并集中只能出现一次，故P∪Q＝{－2，0，1，2，3}.
(2)根据题意，画出数轴，如图，
∴A∪B＝(－1，2]∪{x|x≥0}＝(－1，＋∞).
题型三　集合的交、并集运算的综合应用
【例3】　设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解　(1)由题意可知A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入方程x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0得4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得a＝－5或a＝1.当a＝－5时，集合B＝{2，10}，符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意.
综上所述：a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B A，
∵A＝{1，2}，∴B＝ 或B＝{1}或{2}或{1，2}.
若B＝ ，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，
解得a>3；
若B＝{1}，则
即不成立；
若B＝{2}，则
即不成立；
若B＝{1，2}，则
即此时不成立.
综上，a的取值范围是{a|a>3}.
思维升华　利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
(2)关注点：当集合A B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝ 的情况，否则易漏解.
【训练3】　已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝ ，求实数a的取值范围.
解　由A∩B＝ ，
(1)若A＝ ，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠ ，如图：
∴解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是.
1.理解2个概念——并集、交集
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义.
(2)对于交集，A∩B中的元素是“所有”属于A且属于B的元素，而不是部分.
2.注意2个易错点
(1)对于元素个数有限集合，可直接利用“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限集合，进行“交、并”运算时借助数轴求解，但要注意端点值能否取到.
一、选择题
1.已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)
A.{0} B.{1} C.{1，2} D.{0，1，2}
答案　C
解析　∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，
∴A∩B＝{1，2}，故选C.
2.已知集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)
A.{2} B.{2，3}
C.{－1，2，3} D.{1，2，3，4}
答案　D
解析　由题意可知A∩C＝{1，2}，则(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}，故选D.
3.已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)
A.A∩B＝ B.A∩B＝
C.A∪B＝ D.A∪B＝R
答案　A
解析　由3－2x>0得x<，
则B＝，画出数轴，如图，
所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}，故选A.
4.若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案　B
解析　∵A∪B＝A，∴B A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验，当x＝或－时满足题意，故选B.
5.(多选题)已知集合A＝{－2，－1，0，2，3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，则下列选项中是A∩B中的元素的为(　　)
A.－1 B.0 C.3 D.1
答案　ABC
解析　当x＝±2时，y＝3；
当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1；
当x＝3时，y＝8.
∴B＝{－1，0，3，8}，∴A∩B＝{－1，0，3}.
二、填空题
6.已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________.
答案　(－∞，1]
解析　如图，A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，要使A∪B＝R，只需a≤1.
7.已知集合A＝{(x，y)|y＝2x－1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，则A∩B＝________.
答案　{(4，7)}
解析　由解得故A∩B＝{(4，7)}.
8.设非空集合A＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，B＝{x|－4≤x≤2}.若m＝2，则A∩B＝________；
若A A∩B，则实数m的取值范围是________.
答案　{x|1≤x≤2}　
解析　把m＝2代入得A＝{x|1≤x≤5}，
∵B＝{x|－4≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1≤x≤2}；
∵A A∩B，∴A B，又A≠ ，
即 解得－2≤m≤，
即m的取值范围为.
三、解答题
9.已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1)A∪B；(2)C∩B.
解　(1)由集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2得到A∪B＝{x|2(2)由集合B＝{x|2则C∩B＝{x|210.设集合A＝{x|－1(1)若C＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若C≠ 且C (A∩B)，求实数a的取值范围.
解　(1)∵C＝{x|1－2a∴a≤，即实数a的取值范围是.
(2)∵C＝{x|1－2a∴1－2a<2a，即a>.
∵A＝{x|－1∴A∩B＝.
∵C (A∩B)，∴解得即实数a的取值范围是.
11.(多选题)已知集合A＝{x|y＝}，A∩B＝ ，则集合B可能是(　　)
A.{x|x<－1} B.{(x，y)|y＝x－1}
C.{y|y＝－x2} D.{x|x≥－1}
答案　ABC
解析　集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}.当B＝{x|x＜－1}时，A∩B＝ ，选项A符合题意；当B＝{(x，y)|y＝x－1}时，B是点集，显然A∩B＝ ，选项B符合题意；当B＝{y|y＝－x2}＝{y|y≤0}时，A∩B＝ ，选项C符合题意；当B＝{x|x≥－1}时，A∩B≠ ，选项D不符合题意.故选ABC.
12.若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，则实数m的取值范围是________.
答案　{m|－2≤m≤－1}
解析　∵A∪B＝B，
∴A B，如图所示，
∴
解得－2≤m≤－1.
∴实数m的取值范围为{m|－2≤m≤－1}.
13.集合A＝(－1，1)，B＝(－∞，a).
(1)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若A∪B＝(－∞，1)，求实数a的取值范围.
解　(1)如图所示，A＝(－1，1)，B＝(－∞，a)，
且A∩B＝ ，
∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，
∴a≤－1，即实数a的取值范围为(－∞，－1].
(2)如图所示，A＝(－1，1)，
B＝(－∞，a)，
且A∪B＝(－∞，1)，
∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)，
∴－114.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，或x≥5}，B＝{x|x≤2}.求：
(1) U(A∪B)；
(2)记 U(A∪B)＝D，C＝{x|2a－3≤x≤－a}，且C∩D＝C，求a的取值范围.
解　(1)由题意知，A＝{x|x≤－2，或x≥5}，B＝{x|x≤2}，
则A∪B＝{x|x≤2，或x≥5}，
又全集U＝R，则 U(A∪B)＝{x|2(2)由(1)得D＝{x|2由C∩D＝C得C D.
①当C＝ 时，有－a<2a－3，解得a>1；
②当C≠ 时，有解得a∈ ；
综上，a的取值范围为{a|a>1}.

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