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浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期7月返校联考适应性考试
数学学科
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数（i为虚数单位），则（ ▲ ）
A．1 B． C． D．
2．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．设A，B是一个随机试验中的两个事件，则（ ▲ ）
A． B．
C． D．若，则
4．在正方体中，M，N，P，Q分别为，，，的中点，则直线PM与NQ所成的角为（ ▲ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．函数的图像大致为（ ▲ ）
A． B． C． D．
6．已知，则以下关系不正确的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分。
9．下列命题中正确的是（ ▲ ）
A．已知平面向量满足，则
B．已知复数z满足，则
C．已知平面向量，满足，则
D．已知复数，满足，则
10．已知函数，则（ ▲ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称
C．有唯一一个零点
D．不等式的解集为
11．下列说法中，正确的是（ ▲ ）
A．若，则与夹角为锐角
B．若是内心，且满足，则这个三角形一定是锐角三角形
C．在中，若，则为的重心
D．在中，若，则为的垂心
12．如图， 在梯形中， 为线段 的两个三等分点， 将和分别沿着向上翻折， 使得点分别至 (在的左侧)， 且平面分别为的中点， 在翻折过程中， 下列说法中正确的是（ ▲ ）
A．四点共面
B．当 时， 平面 平面
C．存在某个位置使得
D．存在某个位置使得平面 平面
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13．集合，则m＝ ▲ ．
14．已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．
15．已知，则的最大值为 ▲ ．
16．已知等腰直角的斜边长为，其所在平面上两动点、满足（且、、），若，则的最大值为 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）已知复数，i是虚数单位）．
(1)若是纯虚数，求m的值和；
(2)设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
18．（本题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B：
(2)从①，②中选取一个作为条件，证明另外一个成立；
(3)若D为线段上一点，且，求的面积．
19．（本题满分12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
20．（本题满分12分）甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．
(1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为，求甲获得本场比赛胜利的概率；
(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为，，，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大．
21．（本题满分12分）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)若棱的中点为，求的长；
(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
22．（本题满分12分）已知，函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若的最大值为，求的取值范围.
答案第1页，共2页浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期7月返校联考适应性考试
数学学科答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D C A D B C
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 ABC BCD CD BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(1)依题意得，，
若是纯虚数，则，解得，，.
(2)由（1）知，，，，
复数在复平面上对应的点位于第二象限，
，解得，即.
18．(1)解：因为，所以，所以，又，所以；
(2)证明：选①，因为，，所以，所以，即，所以；
选②，因为，所以，所以，又，则，所以，即，所以；
(3)解：由（1）得，则，因为，所以，，
所以的面积为4．
19．(1)由题意，（其中）摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，所以，得，又函数周期为分钟，所以，，又，所以，又，所以，所以.
(2)，所以，整理，因为，所以，所以,解得（分钟）.
(3)经过分钟后甲距离地面的高度为，乙与甲间隔的时间为分钟，所以乙距离地面的高度为，所以两人离地面的高度差当或时，即或分钟时，取最大值为米.
20．(1)解：设甲在第i局获胜为事件，事件“甲获得本场比赛胜利”，
则，所以．
(2)若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．
此时，甲恰好连胜两场的概率；
若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．
此时，甲恰好连胜两场的概率；
若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场．
此时，甲恰好连胜两场的概率．
因为，所以，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大．
21．(1)取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥的体积取得最大值，
此时PG⊥平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为
(2)取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线，
所以NQ∥AB且，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且，
所以CM∥NQ且CM=NQ，
故四边形CNQM为平行四边形，
所以.
(3)连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为的平面角，即，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
设平面PAM的法向量为，
则，
令，则，
设平面PBC的法向量为，
因为，
则
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
令，，所以，
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为
22．（1）①当时,,在单调递减
②当时,即时,在单调递减
③当时,即时,在递增,在递减
④当时,不成立,所以无解.
综上所述,当时,在单调递减；
当时,在递增,在递减
（2）①当时,在递减,
,,
∵,
∴,
∴,
∴.
得.
②当时,在递增,在递减,
又,,
∵,
∴,同时,
∴
∴
∴
又∵,
∴,
又∵,
∴
且可得在递增,
所以.
综上所述, 当时,;当时,.

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