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石家庄市 2021～2022 学年度第二学期期末检测试题
高一数学（答案）
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分，每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1-5 DCBCA 6-8 ADC
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每个小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.CD 10.ABD 11.BC 12.ACD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
a+bi 1
13. 5 14. i（第一空 2分）； = i（第二空 3分） 15. 16. 0.604
b ai 6
四、解答题：本大题共六道小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、. 解：（I） a // b， a (2a, 3) ，b (c,sinC) ， 2asinC 3c ，……2分
a c
由正弦定理 ，得 2sin AsinC 3sinC ， ……3分
sin A sinC
3
sinC 0， sin A A (0, ) ， A ； ……5分
2 2 3
3 3 1 3 3
（II） ABC 的面积为 ， bcsin A ，
2 2 2

c 2 ， A ， b 3， ……7分
3
在三角形 ABM中，由余弦定理，
2
BM 2 2 2
3 13
AM AB 2AB AM cos A 4 3 ……9分
2 4
13
得， BM ……10分
2
87 88 91 91 93 86 88 91 92 93
18、解 (I) x甲 ＝ ＝90， x乙 ＝ ＝90 …2分
5 5
2 1s 2 2 2 2 2
24
甲＝ [(87－90)＋(88－90)＋(91－90)＋(91－90)＋(93－90) ]＝ ，
5 5
2 1s 2 2 2 2 2
34
乙＝ [(86－90)＋(88－90)＋(91－90)＋(92－90)＋(93－90) ]＝ ， ……4分
5 5
显然 x甲 ＝ x乙 ，s
2 s2甲< 乙，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职
工对文明城市知识掌握得更好. ……5分
（II）从乙单位 5名职工中随机抽取 2名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)为
(86,88)，(86,91)，(86,92)，(86,93)，(88,91)，(88,92)，(88,93)，(91,92)，(91,93)，
(92,93)，共 10个. ……8分
记“抽取的 2 名职工的成绩差的绝对值不小于 4”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为
(86,91)，(86,92)，(86,93)，(88,92)，(88,93)，共 5个. ……10分
5 1
由古典概型计算公式可知 P(A)＝ ＝ . ……12分
10 2
19、（I）证明：如图，设 1 ∩ 1 = ，连接 ，……1分
∵ 为 的中点， 为 1 的中点，
∴ // 1， ……3分
E
∵ 平面 1 ， 1 平面 1 ，
∴ 1//平面 1 ． ……5分
（II）解：由 // 1，∠ 为 1与 1 所成的角， ……7分
1 1
在△ 中， √
6
= 1 = √ 2 +
2
2 2 1
= ， ……8分
2
1 1 √6
= = √ 21 +
2 = ， ……9分
2 2 1 2
1 1
= = √ 2 + 2 = 1， ……10分
2 2
3 3
2+ 2 2 + 1 2
cos∠ = = 2 2 = ， ……11分
2× × √6 √62× × 3
2 2
2
∴异面直线 1与 1 所成角的余弦值为 ． ……12分 3
20、解：（I）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为 x ，则
x 0.05 1 0.1 3 0.25 5 0.3 7 0.15 9 0.1 11 0.05 13 6.8， ……2分
设抽查人员利用“学习强国”的中位数为 y，
20
由0.05 0.1 0.25 0.15 y 6 0.5，解得 y ，
3
20
即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为 ； ……5分
3
（II） 8，10 组的人数为2000 0.15 300人，设抽取的人数为 a，
10,12 组的人数为2000 0.1 200人，设抽取的人数为 b，
a b 50
则 ，解得a 30，b 20，
300 200 500
所以在 8,10 和 10,12 两组中分别抽取 30人和 20人， ……7分
再抽取 5人，两组分别抽取 3人和 2人，
将 8,10 组中被抽取的工作人员标记为 A1， A2 ， A3，将 10,12 组中的标记为B1， B2 ，
设事件 C表示从 10,12 小组中至少抽取 1人，
则抽取的所有情况如下： A1, A2 , A1, A3 , A1,B1 , A 1,B2 , A2, A3
A2,B1 , A2,B2 , A3,B 共 10种情况， ……10分 1 , A3,B2 , B1,B2
7
其中在 10,12 中至少抽取 1人有 7种， 则P C . ……12 分
10
21、解：（I）由题意可得， = = 1百米，则可得 = 3百米， = 2百米，
所以 = √13， = √17， = √10 （单位：百米） ……2分
10+17 13 7 1
所以cos∠ = = ≠ ， ……4分
2×√10×√17 √170 2

所以∠ ≠ ，△ 不符合要求． ……5分
3

（II）∠ = ，∠ = ，
6
4 3
所以 = ， = cos( )，（单位：百米） ……7分 cos 6
1 3√3
= = ， ……8分
2 3 cos( )
6
√3 1 √3 1
cos( ) = ( + ) = ( 2 + 1) + 2 =
6 2 2 4 4
1 √3 2 1 3
sin(2 + ) + ，
√
∈ (0, ) , 2 + ∈ ( , ) ,所以 cos ( ) ≤ + 所
2 3 4 6 3 3 3 6 2 4
以 ≥ 24√3 36平方百米.
即 的最小值为240000√3 360000 平方米 ……12 分
22. （I）证明：∵PE⊥ED，PE⊥EB，EB∩ED＝E，∴PE⊥平面 EBCD， ……1 分
又 BC 平面 EBCD，∴PE⊥BC，
∵BC⊥EB，EB∩PE＝E，∴BC⊥平面 PEB，……2 分
又 EM 平面 PBC，∴BC⊥EM，
由 PE＝EB，PM＝MB 知 EM⊥PB，BC∩PB＝B，∴EM⊥平面 PBC， ……4 分
又 EM 平面 EMN， ∴平面 EMN⊥平面 PBC. ……5 分
（II）假设存在点 N 满足题意，如图，过 M 作 MQ⊥EB 于 Q，由 PE⊥EB 知，PE∥MQ，
由(I)知，PE⊥平面 EBCD，
∴MQ⊥平面 EBCD，∴MQ⊥EN，
过 Q 作 QR⊥EN 于 R，连接 MR， ……6 分
∵MQ∩QR＝Q，∴EN⊥平面 MQR，
∴EN⊥MR，∴∠MRQ 是二面角 B－EN－M 的平面角 ……8 分
不妨设 PE＝EB＝BC＝2，则 MQ＝1， R
在 Rt△EBN 中，设 BN＝x (0BN EN
由 Rt△EBN ∽ Rt△ERQ，得 ＝ ，……10 分
RQ EQ
x 22＋x2 x
即 ＝ ，得 RQ＝ ，
RQ 1 22＋x2
MQ x2＋4
∴tan∠MRQ＝ ＝ = 5
RQ x
解得 x＝1∈(0，2)， ……11 分
此时 N 为 BC 的中点．
综上，存在点 N，使得二面角 B－EN－M 的正切值为 5 ，此时 N 为 BC 的中点．
……12 分7.圭表（如图1）是我国占代一种通过测量正午H影长度米椎定节气的大文仪器，它包括根直
石家庄市2021~2022学年度第二学期期末教学质量检测
立的标竿（称为“表”）和一把是南北力向水平定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“主”）当正
午太阳照射在表上时，日影便会投影在面上，丰面上H影长度最长的那一天定为苓至，H影
长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的主表的示意图，已知北
高一数学
京冬至午太阳高度角〔即∠ABC)为26.5，夏至午太阳高度角（即∠AD心C)为73.5，丰面
上冬至线与复至线之间的距离（即DB的长）为a,则表高（即AG的长）为(
型至
风至正牛阳光
(时间120分钟，满分150分)
冬至正午阳光、
注意事项：
】答卷前，老生务必将白己的姓名、准考证号填写在答题卡：
2回容选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答趣卡上.的对应题目的答案标号涂
黑.如寤改动，用橡皮擦干净后，冉选涂其他答案标号，
C夏至线
条至线
图
图2
3,在答趣卡上与题号相对应的答题区域答题，写在忒卷、草稿纸上.或答题卡非题号对应的
答题区域的答案一律无效.不得刀规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记
A.
2sin47元
B.2s47
C.lm26.51an73.5
D."sin26.5 sin73.5
asin53
tan478
sin470
8.我国古代《九章算术》中将上下两面为平矩形的入面体称为
第1卷{选择题，共60分】
色童.图的色童ABGD-EFG有外接球，ILHB=4V√3，AD=4,
一、单项选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
EH=15,E不=V/5,平面ABCD与平面EFGH间的距离为1，则
合题目要求的」
该乌童外接球的表面积为(
1.心知a为实数，若复数z兰(24)+(+2)i为纯虚数，则复数的虚部为(
A.124π
B.36T
A.2
.4i
C.±2
D.4
C.164T
D.48r
2某校高年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
二、多项选择愿：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多顶符合题
918909294879396918599389893
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
州这组数据的40%分位数、70%分位数分别为()
9.某保险公可为苍户定制了5个险种：甲，一牛期短险；乙，两全保险：，理财类保险：丁，定期寿
险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与埋赔.该保险公司对5个险种的参保
A.90,94B.91,93C.90.5,93
D.90.5,94
客户进行抽样调查.得出如下统计树例，则以下四个选项正确的是(
}
3.平面1向量a与b的夹角为60°，a=(3,0),|6=l,则|a+2b=(）
比例
88≥54周沙
A.23B./19C.4
D.5
4.我们可以用24小时内降水在平地上积水厚度mm)来判断降雨程度.其中小雨（小丁10mm),中
3
4000
雨10mm-25mm,大雨(25mm-50mm,暴雨(50mm-100mrm),小
—300m
20
华用一个圆锥形容器（如图）接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪
个等级(
个T白女上
叁保人教比例
不问年龄段人出叁保费用
参保险种比例
4.18~29周岁人群参保总费用最少
B.30周岁以上的鑫保人群约占参保人样的20%
A.小雨
B.中雨
300mm
20X0mm
G.54周岁以上的参保人数最少
D.丁险种更受参保人青睐
C.大雨
D.暴雨
10.下列仰题中，E确的是(
A.在△ABC中，∠A>∠B是i1>inB的充要条件
5.已知在边长为6的等边三角形ABC中，=1D心，则A,A亡={）
B.在锐角△1BC中，不等式inA>os恒成立
C.在△A屮，若（阳A=hx B,则△1BC是等腰直角三角形
A.24
B.6
0.18
D.-24
D.在△ABC巾，若B=60°，b2=,则△ABC是等边三角形
6.从四双不同的鞋中任意取出4只，什“4只余部不成对"与事件“至少有2贝成对”()
1L.楼长为2的正万体ABCD-ABCD中，为线段AB上的动点，下列正确的是(
A,是对立事件
B.不是互斥事件
A.∠AMD的最大值为90°
B.DC1⊥DM
C.是互斥但不对立事件
D.都是不可能事件
C.三棱锥M-D:℃的体积为定值
).A时+MD的最小值为4
高·数学第1贝（共4页）
高数学第2页（共4页）

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