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专题11 双曲线
考情分析
考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±xy＝±x
离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
重难点题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其应用
例1．（1）、（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
（2）、（2021·江西省万载中学高二阶段练习（理））若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
【变式训练1-1】、（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式训练1-2】、（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.
重难点题型突破二 双曲线的标准方程
例2．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点坐标为，且经过点；
(2)焦点在坐标轴上，经过点.
【变式训练2-1】、（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点分别为，，且经过点；
(2)经过点，；
例3．（1）、（2022·江西上饶·高二期末（理））与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为___________.
（2）、（2022·北京市十一学校高二期末）已知双曲线的虚轴长为，离心率为，则其方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2022·广西梧州·高二期末（理））设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】、（2022·全国·高二课时练习）已知焦点 ，双曲线上的一点P到 的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.
重难点题型突破三 双曲线的几何性质及其应用
例4．（1）、（广东省揭阳市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知点是双曲线右支上一点，为坐标原点，为虚轴的上端点，若为等腰直角三角形，点为直角顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）、（2022·广东茂名·高二期中）（多选题）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则
【变式训练4-1】、（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理））若双曲线的焦距为，则_________
【变式训练4-2】、（2022·湖北·高二期末）（多选题）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确是（ ）
A．M的离心率为 B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点
【变式训练4-3】、（2022·福建厦门·高二期末）双曲线的左焦点为，，过点A作C的渐近线的垂线，垂足为M．若，则C的离心率为______．
重难点题型突破四 直线与双曲线的综合应用
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
例6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.
例7．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．
例8．（2022·上海·模拟预测）设A、B是双曲线上的两点，点是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)若线段的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
课堂训练
1．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海徐汇·高二期末）已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为___________．
3．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.
4．（2021·福建·南靖县第一中学高二期中）（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.
（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．
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专题11 双曲线
考情分析
考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±xy＝±x
离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
重难点题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其应用
例1．（1）、（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【答案】.
【分析】
由题意可得|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|，利用双曲线的定义即可求解.
【详解】
圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为.
（2）、（2021·江西省万载中学高二阶段练习（理））若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
【答案】D
【解析】
【分析】
由方程表示双曲线有，即可求参数范围.
【详解】
由题设，，可得.
故选：D
【变式训练1-1】、（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用线线平行、等腰三角形得到两角相等及线段相等，再利用双曲线的定义进行证明.
【详解】
将化为，
即该圆的圆心为，半径为，
因为，所以，
又，所以，
则，即，
所以，
所以点的轨迹是双曲线.
故选：C.
【变式训练1-2】、（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据圆的性质，结合线段垂直平分线的性质、双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，
由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，
故答案为：
重难点题型突破二 双曲线的标准方程
例2．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点坐标为，且经过点；
(2)焦点在坐标轴上，经过点.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.
（2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.
(1)因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，
则有
，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，
所以所求双曲线的标准方程为.
(2)依题意，设双曲线的方程为：，
于是得，解得：，
所以所求双曲线的标准方程为.
【变式训练2-1】、（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点分别为，，且经过点；
(2)经过点，；
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设双曲线的方程为，代入点坐标，结合，即得解；
（2）设双曲线的方程为，代入点坐标，待定系数即得解
(1)
由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程
则
解得：
所以所求双曲线的标准方程为
(2)
设双曲线的方程为：
代入点坐标得到：
解得：
故双曲线的标准方程为：
例3．（1）、（2022·江西上饶·高二期末（理））与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用与双曲线有相同的渐近线及点在双曲线上即可求解.
【详解】
由题意可知，设，
因为所求双曲线过点，所以，解得.
所以所求双曲线的标准方程为：.
故答案为：.
（2）、（2022·北京市十一学校高二期末）已知双曲线的虚轴长为，离心率为，则其方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到，结合，求得的值，即可求解.
【详解】
由题意，双曲线的虚轴长为，离心率为，
可得，即，
因为，解得：.
所以曲线的方程为.
故选：C.
【变式训练3-1】、（2022·广西梧州·高二期末（理））设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将左焦点坐标代入中可求出，设右焦点为N，连接，，，则三角形为直角三角形，可得，，然后利用双曲线的定义列方程可求出，从而可求出双曲线的方程
【详解】
设左焦点F的坐标为，由点F过直线，
所以，解得，
设右焦点为N，连接，，.
由，故三角形为直角三角形，即,
又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则.
又，则，，
由双曲线定义，则，
所以，
所以
所以双曲线C的方程为.
故选：D.
【变式训练3-2】、（2022·全国·高二课时练习）已知焦点 ，双曲线上的一点P到 的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得，从而解得其标准方程.
【详解】
因为双曲线的焦点为 ，故可设其方程为，且，
根据双曲线的定义，由题可得：，即，故，
则所求所曲线方程为：.
故答案为：.
重难点题型突破三 双曲线的几何性质及其应用
例4．（1）、（广东省揭阳市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据渐近线方程可得，然后由离心率公式可得.
【详解】
由题知，所以.
故选：D
（2）、（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知点是双曲线右支上一点，为坐标原点，为虚轴的上端点，若为等腰直角三角形，点为直角顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知作出图形，利用勾股定理及锐角三角函数求出点的坐标，结合点在双曲线上及双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】
由题意可知，，如图所示
因为为等腰直角三角形，点为直角顶点，
所以,即，解得，
在中，
所以.
因为点是双曲线右支上一点，
所以，解得，
所以该双曲线的离心率为.
故选：A.
（3）、（2022·广东茂名·高二期中）（多选题）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据双曲线方程求出，然后逐个分析判断即可
【详解】
由，得，则，
对于A，双曲线的实轴长为，所以A错误，
对于B，由，得，所以渐近线方程为，所以B正确，
对于C，双曲线的离心率为，所以C错误，
对于D，双曲线的右焦点为，则直线的方程为，设，将代入得，，
所以，
所以
，
所以D正确，
故选：BD
【变式训练4-1】、（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二阶段练习（理））若双曲线的焦距为，则_________
【答案】2
【解析】
【分析】
根据双曲线的标准方程可知，再结合焦距为，即可求解.
【详解】
因为双曲线的标准方程为，所以，
又焦距，所以，
因为，所以，
故答案为：2
【变式训练4-2】、（2022·湖北·高二期末）（多选题）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确是（ ）
A．M的离心率为 B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为或两种情况，根据可求得双曲线方程，再逐个辨析即可
【详解】
根据题意双曲线 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 ， 有 ，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 ，
则过一三象限的渐近线的斜率为 或 ， 即 或 ，②
联立①②可得： ， ， 或 ， ， ；
因为 ，所以 ， ， ，故双曲线的方程为
对A，则离心率为 ，故 A 正确 .
对B，双曲线的方程为 ，故 B 错误；
对C，渐近线方程为 ，故 C 正确；
对D，直线 经过 M 的一个焦点 ，所以 D 正确 .
故选： ACD
【变式训练4-3】、（2022·福建厦门·高二期末）双曲线的左焦点为，，过点A作C的渐近线的垂线，垂足为M．若，则C的离心率为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
设，则，再根据与渐近线垂直可得的坐标，进而根据，利用正切值列式计算即可
【详解】
由题意，设，因为，则.又与渐近线垂直，且，故，所以，故 ，即，又，所以，即，故，，即，故离心率
故答案为：2
重难点题型突破四 直线与双曲线的综合应用
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设,通过,求解,通过在圆上,求解,得到双曲线的标准方程.
（2）当动直线的斜率不存在时,求解三角形的面积;当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,联立直线与双曲线方程,求出,然后求解的坐标,求解,结合原点到直线的距离,求解的面积是为定值即可.
(1)
不妨设 , 因为,
从而 故由 ,
又因为, 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线的标准方程为：
(2)
设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,
当动直线的斜率不存在时, ,，,
当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,
故由
依题意，且
,
化简得 ,
故由 ,
同理可求,,
所以
又因为原点到直线的距离,
所以,又由
所以,
故的面积是为定值,定值为
例6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题知，进而结合题意，根据椭圆的离心率公式得，进而得答案；
（2）根据题意得直线方程为，进而与椭圆联立方程得，进而得，再求解圆的方程即可.
(1)
解：双曲线的离心率，
，其中，
所以椭圆方程为：
(2)
解：由题知，故直线方程为，
联立直线与椭圆方程得，
，其中点为
所以，垂直平分线为：
以为直径的圆的圆心为：，半径为，
以为直径的圆的方程为：
例7．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．
(1)求交点P的轨迹C方程；
(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）数形结合，由双曲线定义可得；
（2）设直线方程分别解得E、F的坐标，然后可得直线EF方程，化简可证.
(1)
由题知，所以
由双曲线定义可知点P的轨迹为双曲线，其中，得曲线C的方程
(2)
设点由，
设直线DA与曲线另一个交点为E，直线DB与曲线另一个交点为F
（其中，，若等于，此时其中一条直线与其中一条渐近线平行，与曲线C只有一个交点．）
由直线DA：代入曲线C：得
得
由即
直线DB：代入曲线C：中将
，得
由
即
∴
∴EF：
即
故直线恒过一定点
例8．（2022·上海·模拟预测）设A、B是双曲线上的两点，点是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)若线段的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)A、B、C、D四点共圆，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）点差法求解中点弦的斜率及方程；（2）求出AB两点坐标，求出AB的垂直平分线，联立后求出CD点的坐标，得到CD的中点M的坐标，计算得到，从而得到四点共圆.
(1)
设，显然，
由题意得：，
两式相减得：，
即，
因为点是线段的中点，
所以，
所以，
即直线的斜率为1，
所以直线的方程为，整理得：
(2)
联立与，得到：
，
解得：，当时，，
当时，，
不妨设，
直线AB的垂直平分线为，与联立得：，
解得：，当时，，
当时，，
不妨设，
则CD的中点为，
又，，
，
所以，
故A、B、C、D四点共圆，圆心为，半径为.
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，
(1)求圆心的轨迹方程
(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据圆C与圆A、圆B外切，得到<4，再利用双曲线的定义求解；
（2）设直线为，联立，利用弦长公式求得，再根据线段MN的垂直平分线，得到点P的坐标求解.
(1)
解：因为圆C与圆A、圆B外切，
设C点坐标，圆C半径为，
则，，
所以<4，
所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为；
(2)
设直线为，
联立，消去y得：，
所以，
设MN中点坐标为G，则，
所以，
，
直线GP的方程为:，
，
所以，
所以=1.
课堂训练
1．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线的定义即可求解.
【详解】
解：由题意，因为，
所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，
故选：C.
2．（2022·上海徐汇·高二期末）已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，需要分别设双曲线的方程，将条件代入求解即可.
【详解】
考虑到双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，分别设双曲线方程如下：
实轴在x轴时，设双曲线方程为： ，则有 …①
其渐近线方程为 ，即 …②
联立①②，解得 ，双曲线方程为 ；
实轴在y轴时，设双曲线方程为 ，则有…③
其渐近线方程为 ，即 …④
联立③④，无解；
故答案为： .
3．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值．
【详解】
解：由双曲线C：，可得，，
所以，所以，，由双曲线的定义可得，
所以，所以，
由双曲线的性质可知：，令，则，
所以，记，
设，则，
所以，即在上单调递增，
所以当时，取得最小值，此时点A为双曲线的右顶点（1，0）．
故答案为：8．
4．（2021·福建·南靖县第一中学高二期中）（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.
（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．
【答案】【小问1】
【小问2】
【解析】
【分析】
（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为，点代入求得的值即可得出答案.（2）设双曲线的标准方程为，利用焦距和渐近线方程列方程组即可求解.
【详解】
（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.
又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，
解得λ=11或(舍去).
故所求椭圆的标准方程为.
（2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，
∴，解得，
∴该双曲线的方程为．
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