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专题12 抛物线
考情分析
考点梳理
考点一 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) ＝　x0＋　 ＝　－x0＋　 ＝　y0＋　 ＝　－y0＋　
考点二 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
考点三 与抛物线有关的经典结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
重难点题型突破
重难点题型突破1 抛物线的定义及应用
例1．（1）、（2022·广西南宁·高二期末（文））已知抛物线（）上的点到该抛物线焦点F的距离为，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
（2）、（2022·广西南宁·高二期末（理））已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
（3）、（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．
【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）填空题
（1）准线方程为的抛物线的标准方程是________．
（2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．
【变式训练1-2】、（2022·江苏·高二）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式训练1-3】、（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知点是抛物线上一动点，则（ ）
A．C的焦点坐标为（2，0） B．C的准线方程为
C． D．的最小值为
重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质
例2．（1）、（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））抛物线的准线方程是____________________．
（2）、（2022·辽宁·三模）（多选题）下列抛物线中，焦点落在圆内部的是（ ）
A． B． C． D．
（3）、（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且米，则CD约为（精确到10米）（ ）
A．410米 B．390米 C．370米 D．350米
（4）、（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，双曲线的一条渐近线被抛物线截得的弦为，为坐标原点，若为直角三角形，则该双曲线的离心率等于_______．
【变式训练2-1】．（2022·海南华侨中学高二期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】．（2020·运城市景胜中学高二月考（文））若点的坐标为，为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取最小值时点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，准线为l.设准线l与x轴的交点为K，P为抛物线C上异于点O的任意一点，P在准线l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过点Q作QN⊥PE交EP的延长线于点N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则（　　）
A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF|
C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF|
【变式训练2-4】．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，点在点F的右边，若C上的点Q满足，则_____________．
例3．（2021·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））回答下列各题.
(1)求经过点的抛物线的标准方程；
(2)求经过点，且与有相同的焦点的椭圆的标准方程.
【变式训练3-1】、（2021·全国·高二课时练习）求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点；
(2)焦点在直线上.
重难点题型突破3 直线与抛物线位置关系
例4．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）己知抛物线的焦点为F，，过F作直线l交抛物线C于，两点.
(1)若直线l的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：是定值.
例5．（2022·广东深圳·高二期末）已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
例6．（2022·上海静安·二模）如图，点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，且的中点均在抛物线C上.
(1)若，点A在第一象限，求此时点A的坐标；
(2)设中点为，求证：直线轴；
(3)若是曲线上的动点，求面积的最大值.
例7．（2022·山东泰安·模拟预测）已知抛物线上一点（）到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N，O为坐标原点，求与面积之比的最大值.
课堂训练
1．（2022·四川达州·高二期末（文））直线过抛物线的焦点，且平分圆，则该直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建泉州·高二期中）（多选题）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（ ）
A．当时，的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1
D．当轴时，为定值
3．（2022·上海徐汇·高二期末）以坐标原点为顶点，以y轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程为___________．
4．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程：
(1)焦点为，，离心率为；
(2)焦点为，，离心率为3：
(3)抛物线的准线为；
(4)椭圆与双曲线有相同的焦点，且短轴长为2．
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专题12 抛物线
考情分析
考点梳理
考点一 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) ＝　x0＋　 ＝　－x0＋　 ＝　y0＋　 ＝　－y0＋　
考点二 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
考点三 与抛物线有关的经典结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
重难点题型突破
重难点题型突破1 抛物线的定义及应用
例1．（1）、（2022·广西南宁·高二期末（文））已知抛物线（）上的点到该抛物线焦点F的距离为，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的定义结合已知可得，从而可求出的值
【详解】
抛物线的准线方程为
由抛物线的性质可知，
得，故，
故选：B.
（2）、（2022·广西南宁·高二期末（理））已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案.
【详解】
因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
（3）、（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合题意根据抛物线的定义和梯形中位线分析处理．
【详解】
设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，，
由梯形中位线得，，
∴准线方程为
故答案为：．
【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）填空题
（1）准线方程为的抛物线的标准方程是________．
（2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．
【答案】
【分析】
（1）利用抛物线的性质得，得，从而求得抛物线方程.（2）利用焦半径公式求得该点坐标.
【详解】
解：（1）准线方程为，则，得，且焦点在轴上，故抛物线方程为；
（2）设所求的点坐标为，抛物线上与焦点的距离等于6，则，得，代入抛物线方程得，故所求点坐标为.
【变式训练1-2】、（2022·江苏·高二）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.
【详解】
抛物线：的焦点，依题意，，则，
当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，
所以的最大值为.
故选：A
【变式训练1-3】、（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知点是抛物线上一动点，则（ ）
A．C的焦点坐标为（2，0） B．C的准线方程为
C． D．的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据抛物线方程直接求出焦点和准线，即可判断A、B；
利用抛物线的定义即可判断选项C；
根据抛物线方程消元，得到构造基本不等式求出最小值.
【详解】
抛物线，所以焦点坐标为，C的准线方程为，故A错误；B正确；
根据抛物线的定义可得P到焦点的距离等于P到准线的距离，即.故C正确；
因为，所以，
（当且仅当，即时，等号成立.）故的最小值为.故D正确.
故选：BCD.
重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质
例2．（1）、（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））抛物线的准线方程是____________________．
【答案】
【解析】
【分析】
先将抛物线方程化为标准方程，然后可求出，从而可求出准线方程
【详解】
抛物线的标准方程为，
所以，得，
所以抛物线的准线方程为，
故答案为：
（2）、（2022·辽宁·三模）（多选题）下列抛物线中，焦点落在圆内部的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
分别求出抛物线的交点坐标，依次判断.
【详解】
若点在圆的内部，则.
对于A：可化为，所以抛物线的焦点为，此焦点落在圆的内部.故A正确；
对于B：抛物线的焦点为，此焦点在圆外部. 故B错误；
对于C：可化为，所以抛物线的焦点为，此焦点在圆的外部. 故C错误；
对于D：抛物线可由抛物线向右平移1个单位长度得到，所以抛物线的焦点为，此焦点落在圆的内部. 故D正确.
故选：AD
（3）、（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且米，则CD约为（精确到10米）（ ）
A．410米 B．390米 C．370米 D．350米
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，表示出点坐标，求出，即可求解.
【详解】
以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，设主拱抛物线的方程为，
由题意可知，则，因为点到直线的距离等于直线与的距离，所以，
所以，所以米.
故选：B.
（4）、（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，双曲线的一条渐近线被抛物线截得的弦为，为坐标原点，若为直角三角形，则该双曲线的离心率等于_______．
【答案】或
【解析】
【分析】
对的直角进行讨论，若，求出点坐标，代入到渐近线方程可得
，进而求出离心率；若，联立抛物线与渐近线方程求出点坐标，根
据向量垂直的数量积为零得出，进而求出离心率.
【详解】
由题意知，双曲线的渐近线方程为，可取渐近线，
若，则，代入，得，故，
故;
若，由得，则由，
得，整理得，
解得（负值舍去），所以此时.
故答案为：或.
【变式训练2-1】．（2022·海南华侨中学高二期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解；
【详解】
解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线方程为；
故选：C
【变式训练2-2】．（2020·运城市景胜中学高二月考（文））若点的坐标为，为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取最小值时点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
根据题意，作图如图，
设点P在其准线x=-上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），
∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y0=2，
设其横坐标为x0，
∵P（x0，2）为抛物线y2=2x上的点，
∴x0=2，∴点P的坐标为P（2，2）,故选C．
考点：本题主要考查抛物线的定义、标准方程及几何性质.
点评：典型题，利用抛物线的定义，数形结合分析.
【变式训练2-3】．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点为F，准线为l.设准线l与x轴的交点为K，P为抛物线C上异于点O的任意一点，P在准线l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过点Q作QN⊥PE交EP的延长线于点N，作QM⊥PF交线段PF于点M，则（　　）
A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF|
C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF|
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得A正确；角平分线性质及平行线的性质可得B正确；由平行四边形的性质及直角三角形中边长的关系可得D正确；
假设正确得到角为定值，而由题意可得为动点，所以C不正确．
【详解】
解：由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得，即A正确；
为的外角平分线，所以，
又，所以，
所以，所以，所以B正确；
连接，由上面可得：，，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，在中，，
中，，
所以；所以D正确；
C中，若，而，所以是的中点，，所以，由上面可知为等边三角形，即，而为抛物线上任意一点，所以不一定为，所以C不正确；
故选：ABD．
【变式训练2-4】．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，点在点F的右边，若C上的点Q满足，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先得出是等边三角形，由此可得点横坐标，由焦半径公式得，由求得.
【详解】
，又为正三角形，易知，又，点Q的横坐标为，
解得．
故答案为：.
例3．（2021·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））回答下列各题.
(1)求经过点的抛物线的标准方程；
(2)求经过点，且与有相同的焦点的椭圆的标准方程.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据点在第三象限，分抛物线的焦点在轴的负半轴和轴的负半轴两种情况讨论，利用待定系数法即可得出答案；
（2）易得椭圆的焦点为，设所求椭圆方程为，再将点代入求得，即可得解.
(1)
解：因为点在第三象限，
所以经过点的抛物线的焦点在轴的负半轴或轴的负半轴，
当抛物线的焦点在轴的负半轴时，设抛物线的方程为，
将点代入得，解得，
所以抛物线的方程为，
当抛物线的焦点在轴的负半轴时，设抛物线的方程为，
将点代入得，解得，
所以抛物线的方程为，
综上所述，经过点的抛物线的标准方程为或；
(2)
解：椭圆的焦点为，
可设所求椭圆方程为，
将点代入得：
，
整理得，解得或（舍去），
所以椭圆的标准方程为.
【变式训练3-1】、（2021·全国·高二课时练习）求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点；
(2)焦点在直线上.
【答案】(1)抛物线方程或，对应的准线方程分别是， .
(2)抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.
【解析】
【分析】
（1）设所求的抛物线方程为或，把点代入即可求得，则抛物线方程可得，根据抛物线的性质求得准线方程.
（2）令，代入直线方程分别求得抛物线的焦点，进而分别求得，则抛物线的方程可得.根据抛物线的性质求得准线方程.
(1)
设所求的抛物线方程为或，
因为过点，所以或，所以或.
所以所求的抛物线方程为或，对应的准线方程分别是或.
(2)
令得，令得，
所以抛物线的焦点为或.当焦点为时，，
所以，此时抛物线方程；焦点为时，，
所以，此时抛物线方程为.
所以所求的抛物线的方程为或，
对应的准线方程分别是，.
重难点题型突破3 直线与抛物线位置关系
例4．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）己知抛物线的焦点为F，，过F作直线l交抛物线C于，两点.
(1)若直线l的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：是定值.
【答案】(1)
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线和直线的位置关系，联立方程结合韦达定理来求交点坐标的中点坐标即可；
（2根据题意假设直线方程，再联立方程，结合韦达定理，对所需证明的式子化简即可.
(1)
根据题意点，而直线的斜率为1，所以的方程为，
联立抛物线方程，根据韦达定理有，
点均在直线上，所以，
所以中点坐标为即.
(2)
根据题意直线与抛物线有两个交点，所以直线的斜率不可能为0，
设直线方程为，联立抛物线方程有
，
据韦达定理有，
所以为定值0.
例5．（2022·广东深圳·高二期末）已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
【答案】(1)抛物线；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得，由此可得抛物线方程和点坐标；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得，代入韦达定理的结论可整理得到，代入直线方程可得定点坐标.
(1)
设，则，解得：，
抛物线；.
(2)
由题意知：直线斜率不为零，可设，，，
由得：，，即；
，；
，，
又，；
则（此时成立），
直线，
当时，，直线恒过定点.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
例6．（2022·上海静安·二模）如图，点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，且的中点均在抛物线C上.
(1)若，点A在第一象限，求此时点A的坐标；
(2)设中点为，求证：直线轴；
(3)若是曲线上的动点，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）设出点，表示出中点，代入抛物线方程求解即可；
（2）设，求出中点代入抛物线，同理将中点代入抛物线，由一元二次方程及韦达定理得，即可得证；
（3）当轴时，直接求出坐标计算面积即可；当的斜率存在时，用点坐标表示出直线方程，由弦长公式表示出，求出点到直线的距离，表示出面积，结合的范围即可求解.
(1)
设点，则，所以中点坐标为代入，得，
所以，即；
(2)
设，所以中点代入，得，
同理，.所以，是方程的两根，
由韦达定理：，又中点为，所以，所以，即直线轴；
(3)
当轴时，由对称性知，在轴上，则，所以化为，
即，所以；
当的斜率存在时，方程为，即，
所以，又由（2）知，，则，
所以.又点到直线的距离，
故.又，得，故，
由，.综上，，所以的面积的最大值为.
例7．（2022·山东泰安·模拟预测）已知抛物线上一点（）到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N，O为坐标原点，求与面积之比的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将点代入抛物线方程，并结合抛物线的定义，求得的值，即可.
（2）设直线的方程为，，，易得和的长，将直线，的方程与圆的方程联立，得到点和点的坐标，进而得到和，再由面积公式可得化简运算，得解.
(1)
依题意可得，因为，所以解得，
所以抛物线C的方程为.
(2)
设过F点的直线方程为，
联立方程得，则，
所以①，②，
设，，代入①②得③，
则直线OP的方程为，直线OQ的方程为，
联立方程，解得，同理可得，
则④，
由③得，代入④得，
当且仅当时等号成立，，所以的最大值为.
故与面积之比的最大值为.
【点睛】
圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和和两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表示出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围，
课堂训练
1．（2022·四川达州·高二期末（文））直线过抛物线的焦点，且平分圆，则该直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知直线经过抛物线的焦点和圆的圆心，有两点坐标即可求解直线方程.
【详解】
抛物线的焦点为，由于直线平分圆，故直线经过圆心，
所以可得直线经过点和，故斜率，
由斜截式可得方程为：，
故选：B
2．（2022·福建泉州·高二期中）（多选题）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（ ）
A．当时，的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1
D．当轴时，为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义结合图象一一计算可得；
【详解】
解：对于A：时抛物线，焦点，点在抛物线外，
所以，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故A错误；
对于B、C：当时抛物线，焦点，准线方程为，点在抛物线内，
设与准线交于点，则，所以，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故B正确；
，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故C正确；
对于D：抛物线，焦点，准线方程为，
当，此时，则，解得，
即或，如图取，则，，
所以，故D正确；
故选：BCD
3．（2022·上海徐汇·高二期末）以坐标原点为顶点，以y轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据所过的点的坐标，对称轴，设出抛物线标准方程，代入已知点坐标求得参数得结论．
【详解】
由题意设抛物线方程为（），
则，，
所以抛物线方程为．
故答案为：．
4．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程：
(1)焦点为，，离心率为；
(2)焦点为，，离心率为3：
(3)抛物线的准线为；
(4)椭圆与双曲线有相同的焦点，且短轴长为2．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】
【分析】
（1）由题可知圆锥曲线为椭圆，结合条件即求；
（2）由题可知圆锥曲线为双曲线，利用双曲线的性质即求；
（3）由抛物线的准线方程为，即求；
（4）由题可得椭圆的焦点为，然后结合条件即求.
(1)
由题可知，圆锥曲线为椭圆，可设方程为，
则，
∴，
所以椭圆的标准方程为.
(2)
由题可知，圆锥曲线为双曲线，可设方程为，
则，
∴，
所以双曲线的标准方程为.
(3)
∵抛物线的准线方程为，即，
∴抛物线的标准方程为.
(4)
∵双曲线的焦点为，设椭圆的标准方程为，
∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为
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