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运动图象的应用
1.应用运动图象的三点注意
(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动。
(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹。
(3)x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2．应用运动图象解题“六看”
x－t图象 v－t图象
轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v
线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距 表示初位置 表示初速度
特殊点 拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇 拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
【例1】(多)一物体自t＝0时开始做直线运动，其v－t时间图象如图所示。下列选项正确的是( 　 )
A. 在0～6 s内，物体离出发点最远为30 m
B. 在0～6 s内，物体经过的路程为40 m
C. 在0～4 s内，物体的平均速度为7.5 m/s
D. 在5～6 s内，物体做匀减速直线运动
总结提升
用速度—时间图象巧得四个运动量
(1)运动速度：从速度轴上直接读出。
(2)运动时间：从时间轴上直接读出时刻，取差得到运动时间。
(3)运动加速度：从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负反映了加速度的方向。
(4)运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，第一象限的面积表示与规定的正方向相同，第四象限的面积表示与规定的正方向相反。
【例2】一质点沿x轴做直线运动，其v－t图象如图所示。质点在t＝0时位于x＝5 m处，开始沿x轴正向运动。当t＝8 s时，质点在x轴上的位置为(　 　)
A. x＝3 m　　　　 　B. x＝8 m
C. x＝9 m D. x＝14 m
【例3】一滑块以初速度v0从固定斜面底端沿斜面向上滑，已知斜面足够长，则该滑块的v－t图象不可能是下面的(　　)
【例4】近年来， 我国大部分地区经常出现雾霾天气，给人们的正常生活造成了极大的影响。在一雾霾天，某人驾驶一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵。如图a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图象，以下说法正确的是(　　)
A. 因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾
B. 在t＝5 s时追尾
C. 在t＝3 s时追尾
D. 由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
【例5】(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线。由图可知(　 　)
A. 在时刻t1，a车追上b车
B. 在时刻t2，a、b两车运动方向相反
C. 在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加
D. 在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大
追及相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。若使两物体保证不相撞，此时应有vA【例6】如图所示，物体A、B相距x＝7 m，A在水平拉力和滑动摩擦力的作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而B此时正以vB＝10 m/s的速度向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所用的时间为多少？
总结提升
追及相遇问题的求解方法
(1)解题思路
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。　
【例7】A、B两列火车，在同轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s.因大雾能见度低，B车在距A车700 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过1800 m才能停止．问A车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由．
【例8】A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶，当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。经过12 s后两车相遇，B车加速行驶的时间是多少？
解题思路
用图象法解决追及相遇问题时应把握的三个环节：
环节 基本要求
画图 定量画图时需根据物体在不同阶段的运动情况，通过定量计算分阶段、分区间逐一描图
转换图 从不同的角度描绘同一物理过程所进行的变换，如将x－t图象转换成v－t图象等
用图 利用图象中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算，进而解决相关问题
【例9】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
【例10】甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距s0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，为不使相撞，则乙车的加速度至少为多大？
提升训练
1.如图为一段某质点做匀变速直线运动的x－t图线，从图中所给的数据可以确定质点在运动过程中经过图线上P点所对应位置的瞬时速度大小一定(　 　)
A．大于2 m/s　　 B．等于2 m/s
C．小于2 m/s D．无法确定
2. 甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移—时间图象如图所示，则下列说法错误的是(　　)
A．甲物体做匀速直线运动，乙物体做变速直线运动
B．两物体的初速度都为零
C．在t1时间内两物体平均速度大小相等
D．相遇时，甲的速度小于乙的速度
3.如图所示的位移(x)—时间(t)图象和速度(v)—时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是(　　)
A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程
C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
4. 如图所示是A、B两物体从同一地点出发，沿相同的方向做直线运动的v－t图象，由图象可知(　　)
A．A比B早出发5 s
B．第15 s末A、B速度相等
C．前15 s内A的位移比B的位移大50 m
D．第20 s末A、B位移之差为25 m
5. 如图所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距为s，同时、同向开始运动．甲以初速度v、加速度a1做匀加速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a2的匀加速直线运动，假设甲能从乙旁边通过，要使甲、乙相遇两次的条件是(　　)
A. a1 B. a1C. a1>a2且s> D. a1>a2且s<
6.质点做直线运动的v－t图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为(　　)
A．0.25 m/s　向右　　 B．0.25 m/s　向左
C．1 m/s　向右 D．1 m/s　向左
7.(多)甲乙两车在一平直道路上同向运动， 其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2(s2>s1)．初始时，甲车在乙车前方s0处(　 　)
A．若s0＝s1＋s2，两车不会相遇
B．若s0C．若s0＝s1，两车相遇1次
D．若s0＝s2，两车相遇1次
8.汽车的加速性能用车的速度从0到100 km/h(按30 m/s估算)的加速时间来表示，这个时间越短，汽车启动时的加速性能就越好．下表列出了两种汽车的性能指标.
启动的快慢(s) (0～30 m/s的加速时间) 最大速度(m/s)
甲车 12 40
乙车 6 50
现让甲、乙两车在同一条平直公路上同向行驶，乙车在前，甲车在后，两车相距85 m．甲车先启动，经过一段时间t0乙车再启动．若两车从静止启动后均以各自的最大加速度匀加速运动，在乙车开出8 s时两车相遇，则
(1)t0应该满足的条件是什么？在此条件下，两车相遇时甲车行驶的路程是多少？
(2)以乙车刚刚启动时为t＝0时刻，在同一个坐标系内画出甲、乙两车从乙车启动到两车相遇过程中的v－t图象．
参考答案
【例1】BC
【例2】B解析：由图象知，质点在8 s内的位移Δx＝×(2＋4)×2 m－×(2＋4)×1 m＝3 m。t＝0时，质点位于x＝5 m处，故8 s末质点位置x＝5 m＋Δx＝8 m，B正确。
【例3】解析：当斜面粗糙且μ>tanθ时，会出现A选项情况；如果μ【例4】C解析：从图象可以看出，小汽车刹车失灵前的加速度a1＝－10 m/s2，失灵后的加速度a2＝－2.5 m/s2，假设能追尾，设追尾时间为t，则有小汽车刹车失灵前的位移：x1＝×(20＋30)×1 m＝25 m，小汽车刹车失灵后的位移：x2＝20×(t－1)－×2.5×(t－1)2，大卡车的位移：x3＝10t，由x1＋x2＝30＋x3得t＝3 s，则假设成立，所以A、B错误，C正确；如果刹车不失灵，则在t＝2 s时两车速度相同，这时没有追尾，以后两车间距会越来越大，更不会追尾，D错。
【例5】BC解析：考查x－t图象。由图可知，在t1时刻是b车追上a车，A错误；图线的倾斜方向代表车的运动方向，向上倾斜代表与正方向相同，向下倾斜代表与正方向相反，图象的斜率的绝对值代表速率，B、C正确，D错误。
【例6】设B停下来所用的时间为tB，发生的位移为xB，则0＝vB＋atB 0－v＝2axB
解得tB＝5 s，xB＝25 m
前5 s内A发生的位移为x′A＝vAtB＝4×5 m＝20 m
此时A、B相距Δx＝25 m＋7 m－20 m＝12 m
故A继续前进Δx所需要的时间为 ： Δt＝＝ s＝3 s
从而A追上B所用的时间为：t＝tB＋Δt＝5 s＋3 s＝8 s。
【例7】[解析]　会相撞．
根据题意，B车刹车过程中的加速度为：aB＝＝ m/s2＝0.25m/s2.
方法一　分析法
B车减速至vA＝10 m/s所用的时间t＝＝ s＝80 s
此段时间内A车的位移为：xA＝vAt＝10×80 m＝800 m
B车的位移为：xB＝vBt－aBt2＝(30×80－×0.25×802) m＝1600 m
又xB＝1600 m>xA＋x1＝800 m＋700 m＝1500 m
即A、B两车在速度相同之前已经相撞．
方法二　图象法作出两车的v－t图象如图所示．设经过时间t1两车速度相等，B车减速至vA＝10 m/s所用时间t1＝＝s＝80 s
在t1时间内两车的位移之差(图中阴影部分的“面积”)
Δx＝t1＝×80 m＝800 m>700 m，所以两车会相撞．
【例8】解析：设A车的速度为vA，B车加速行驶的时间为t，两车在t0时相遇。
则有xA＝vAt0 ① xB＝vBt＋at2＋(vB＋at)(t0－t) ②
xA、xB分别为A、B两车相遇前的位移。依题意有xA＝xB＋x0③
联立①②③式，解得t1＝6 s, t2＝18 s, t2＝18 s不合题意，舍去。
因此，B车加速行驶的时间为6 s。
【例9】[解析]　利用v－t图象求解，先作A、B两车的v－t图象，如图所示，设经过t1时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v1＝v0－2at1，
对B车有vB＝v1＝at1， 联立以上两式解得t1＝。
经t1时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x，它可用图中阴影部分的面积表示，由图象可知
x＝v0·t1＝v0·＝，
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
提升训练
1. A解析：由题意可知该质点的运动是匀加速直线运动，3 s～4 s内质点的平均速度为：＝＝2 m/s，中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，则质点在运动过程中t＝3.5 s时的速度等于2 m/s，P点是AB的中间位移处，位于t＝3.5 s时刻之后，其速度大于2 m/s，A选项正确．
2.B解析：x－t图象描述物体运动位移随时间变化的关系，图线(某点切线)斜率表示速度，故B错，A、D正确；图线交点表示两物体相遇，又从图线上看两物体从同一位置出发，t1时间内的位移相等，所以平均速度大小相等，C正确．故选B.
3.C解析：在x－t图象中表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹．因甲、乙两车在0～t1时间内做单向的直线运动，故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B选项均错．在v－t图象中，t2时刻丙、丁速度相等，故两者相距最远，C选项正确；由图线可知，0～t2时间内丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D选项错误，故选C.
4.D解析：由图象可知，B物体比A物体早出发5 s，A错；10 s末A、B速度相等，B错；由于位移的数值等于图线与时间轴所围“面积”，所以前15 s内B的位移为150 m，A的位移为100 m，C错；将图线延伸可得，前20 s内A的位移为225 m，B的位移为200 m，故D正确．
5.B解析：若甲与乙速度相等时，甲已经从乙旁经过，则有v＋a1t＝a2t，vt＋a1t2>s＋a2t2，两式联立可得：s<，若再有a2>a1，则定有乙再次追上甲的结果，即甲、乙相遇两次，故正确答案为B.
6.B解析：由图象可知0～3 s的位移为3 m,3 s～8 s的位移为－5 m，前8 s内的位移为－2 m，因此前8 s内平均速度的大小为0.25 m/s，方向向左，故选B.
7.解析：(1)首先确定两车相遇前各自的运动情况，是都在匀加速运动，还是一个匀加速运动一个匀速运动，还是都在匀速运动
甲车的加速度为a1＝＝2.5 m/s2，加速到速度最大时所需时间t1＝＝16 s
乙车的加速度为a2＝＝5 m/s2，加速到速度最大时所需时间t2＝＝10 s
乙车开动8 s时两车相遇，相遇时乙车发生的位移 s2＝a2t2＝160 m
甲车发生的位移应为 s1＝s2＋s0＝245 m
甲车由速度为零加速到最大速度发生的位移 s＝＝320 m 因为s>s1
所以两车相遇时两车都是处于加速阶段，故有 a1(t0＋t)2＝s0＋a2t2
解得t0＝6 s，两车相遇时甲车行驶的路程是 s1＝a1(t0＋t)2＝245 m.
(2)v－t图象如图所示．
7.ABC[解析]　由图可知甲的加速度a1比乙a2大，在达到速度相等的时间T内两车相对位移为s1.若s0＝s1＋s2，速度相等时甲比乙位移多s1s1)，两车速度相等时还没有追上，并且甲车在前，故不会追上，D项错．

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