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第十二讲 数列
课堂讲解
R【类型1】等差数列
1、在等差数列中，，公差，则（ ）
（A）12 （B）14 （C）16 （D）10
2、一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项起开始为负数，则它的公差是（ ）
（A）－2 （B）－3 （C）－4 （D）－6
3、设是数列的前n项和，若，则（ ）
（A）21 （B）11 （C）27 （D）35
4、已知，数列与都是等差数列，则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知数列的前项和，则（ ）
（A）3 （B） （C） （D）
6、一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项起开始为负数，则它的公差是（ ）
（A）－2 （B）－3 （C）－4 （D）－6
7、已知等差数列的前n项和为，且，有下面4个结论：
①； ②；
③； ④数列中最大的项为．
其中正确结论的序号为（ ）
（A）②③ （B）①② （C）①③ （D）①④
8、设等差数列前n项和为．若，，则________，的最大值为________．
9、数列的通项公式为，若，则p的一个取值为______.
10、设等差数列的前项和为，若，，则______；的最小值为_________.
R【类型2】等比数列
11、等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
（A）2 （B）4 （C） （D）
12、设等比数列的前项和是，，，则（ ）
（A）－63 （B）63 （C）－31 （D）31
13、“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，那么第八个单音的频率为（ ）
（A） （B） （C）　 （D）
14、数列中，，，. 若其前项和为，则　　　　．
15、数列中，前99项的和，则　　　　．
16、已知数列为等比数列，其公比为，已知，，那么　　　　．
17、已知数列成等比数列，且，，则该数列的前项和是　　　　．
R【类型3】等差等比综合
18、已知等差数列的前项和为，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
条件①：；条件②：.
19、设数列满足：，．
（1）求的通项公式及前项和；
（2）若等差数列满足，，问：与的第几项相等？
20、已知是等差数列，是等比数列，且
（1）求数列的和通项公式；
（2）求数列的前项的和.
21、己知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的项和为．
课后练习
一、选择题。
1、已知等差数列的前n项和为，，，则等于（ ）
（A） （B）1 （C）2 （D）3
2、已知数列中，，是数列的前项和，则最大值时的值为（ ）
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4
3、等差数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
（A）13 （B）21 （C）63 （D）84
4、设数列是等差数列，则这个数列的前7项和等于（ ）
（A）12　　　 　（B）21　　　 （C）24 （D）36
5、已知等比数列的公比为，前项和为. 若，，则（ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）14
6、在等比数列中，，，则的前项和为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7、数列是等比数列，它的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
8、设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
9、设是等差数列，其前项和为. 则“”是“为递增数列”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
10、已知a，3，b，9，c成等比数列，且a > 0，则等于（ ）
（1） （B） （C） （D）1
二、填空题。
11、设是等差数列，且，，则的通项公式为_______．
12、设是等差数列，且，，则数列的前n项和_______．
13、已知是数列{}的前n项和，且，则=_____，的最小值为_______．
14、已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式 ；设数列的前项和为，则 ．
15、设数列的前项和为， ，则 ．
16、中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则．例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至．已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为 尺．
17、已知为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，S3＝2a1，则公差d＝　 　，Sn的最大值为　 　．
18、已知为等比数列，，，那么{an}的公比为________，数列的前5项和为　 　．
19、等差数列的前项和为，且，，则下面结论正确的是　 　．（填序号）
① ② ③ ④与均为的最小值
20、已知为无穷等比数列，公比，记为的前项和，下面结论错误的是　 　．（填序号）
① ② ③是递减数列 ④存在最小值
三、解答题。
21、已知{an}是等差数列，前n项和为Sn，a4＝－3再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）数列{an}的通项公式；
（2）Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．
条件①：S4＝－24；条件②：a1＝2a3．
22、设等差数列的前n项和为，且满足a1＝－7，S3＝－15.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
23、在等差数列中，a1＝1，a3＝－3.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和，求的值．
24、已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，且公比为，从①；②；③ 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
25、已知数列是等差数列，是的前n项和，， .
（1）判断2024是否是数列中的项，并说明理由；
（2）求的最值.
从 ①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。第十二讲 数列
课堂讲解
R【类型1】等差数列
1、在等差数列中，，公差，则（ B ）
（A）12 （B）14 （C）16 （D）10
2、一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项起开始为负数，则它的公差是（ C ）
（A）－2 （B）－3 （C）－4 （D）－6
3、设是数列的前n项和，若，则（ B ）
（A）21 （B）11 （C）27 （D）35
4、已知，数列与都是等差数列，则的值是（ A ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知数列的前项和，则（ B ）
（A）3 （B） （C） （D）
6、一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项起开始为负数，则它的公差是（ C ）
（A）－2 （B）－3 （C）－4 （D）－6
7、已知等差数列的前n项和为，且，有下面4个结论：
①； ②； ③； ④数列中最大的项为．
其中正确结论的序号为（ B ）
（A）②③ （B）①② （C）①③ （D）①④
8、设等差数列前n项和为．若，，则________，的最大值为________．
【答案】：4；42
9、数列的通项公式为，若，则p的一个取值为______.
【答案】：（答案不唯一，只要满足“”即可）
10、设等差数列的前项和为，若，，则______；的最小值为_________.
【答案】：0；
【类型2】等比数列
11、等比数列的公比，前n项和为，则（ D ）
（A）2 （B）4 （C） （D）
12、设等比数列的前项和是，，，则（ A ）
（A）－63 （B）63 （C）－31 （D）31
13、“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，那么第八个单音的频率为（ D ）
（A） （B） （C）　 （D）
14、数列中，，，. 若其前项和为，则　　　　．
【答案】：6
15、数列中，前99项的和，则　　　　．
【答案】：36
16、已知数列为等比数列，其公比为，已知，，那么　　　　．
【答案】：
17、已知数列成等比数列，且，，则该数列的前项和是　　　　．
【答案】：
R【类型3】等差等比综合
18、已知等差数列的前项和为，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
条件①：；
条件②：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】：选择条件①:（1）（2）
选择条件②：（1）（2）
19、设数列满足：，．
（1）求的通项公式及前项和；
（2）若等差数列满足，，问：与的第几项相等？
【答案】：（1）；（2）7
20、已知是等差数列，是等比数列，且
（1）求数列的和通项公式；
（2）求数列的前项的和.
【答案】：（1）；（2）
21、己知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的项和为．
【答案】：（1）；（2）
课后练习
一、选择题。
1、已知等差数列的前n项和为，，，则等于（ B ）
（A） （B）1 （C）2 （D）3
2、已知数列中，，是数列的前项和，则最大值时的值为（ C ）
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4
3、等差数列的前项和为，且，，则的值为（ C ）
（A）13 （B）21 （C）63 （D）84
4、设数列是等差数列，则这个数列的前7项和等于（ B ）
（A）12　　　 　（B）21　　　 （C）24 （D）36
5、已知等比数列的公比为，前项和为. 若，，则（ D ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）14
6、在等比数列中，，，则的前项和为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
7、数列是等比数列，它的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ C ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
8、设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，”的（ B ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
9、设是等差数列，其前项和为. 则“”是“为递增数列”的（ C ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
10、已知a，3，b，9，c成等比数列，且a > 0，则等于（ A ）
（1） （B） （C） （D）1
二、填空题。
11、设是等差数列，且，，则的通项公式为_______．
【答案】：
12、设是等差数列，且，，则数列的前n项和_______．
【答案】：
13、已知是数列{}的前n项和，且，则=_____，的最小值为_______．
【答案】：
14、已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式 ；设数列的前项和为，则 ．
【答案】：；
15、设数列的前项和为， ，则 ．
【答案】：25
16、中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则．例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至．已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为 尺．
【答案】：4.36
17、已知为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，S3＝2a1，则公差d＝　 　，Sn的最大值为　 　．
【答案】：；12
18、已知为等比数列，，，那么{an}的公比为________，数列的前5项和为　 　．
【答案】：；31
19、等差数列的前项和为，且，，则下面结论正确的是　 　．（填序号）
① ② ③ ④与均为的最小值
【答案】：①②④
20、已知为无穷等比数列，公比，记为的前项和，下面结论错误的是　 　．（填序号）
① ② ③是递减数列 ④存在最小值
【答案】：①③④
三、解答题。
21、已知{an}是等差数列，前n项和为Sn，a4＝－3再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）数列{an}的通项公式；
（2）Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值．
条件①：S4＝－24；
条件②：a1＝2a3．
【答案】：选择条件①：（1）；；（2）
选择条件②：（1）；；（2）
22、设等差数列的前n项和为，且满足a1＝－7，S3＝－15.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】：（1）（2）的最小值为
23、在等差数列中，a1＝1，a3＝－3.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和，求的值．
【答案】：（1）（2）
24、已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，且公比为，从①；②；③ 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】：（1）.
（2）若选择条件①
若选择条件②
选择条件③
25、已知数列是等差数列，是的前n项和，， .
（1）判断2024是否是数列中的项，并说明理由；
（2）求的最值.
从 ①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
【答案】：选①：（1）2024不是数列中的项；（2）的最小值无最大值.
选②：（1）2024是数列中的第512项；（2）的最小值无最大值.
选③：（1）2024不是数列中的项；（2）的最大值306，无最小值.

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