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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题11 导数的概念及其意义和导数的运算
1．（2022·全国乙卷）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
由于 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
2．（2022·全国甲卷）当 时，函数 取得最大值 ，则 （　　）
A．-1 B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为函数f(x)定义域为（0，+∞），所以依题可知，f(1)=-2 ，f'(1)=0，
又 ，
则，解得 ，
所以，
由f'(x)>0，得01，
因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
则当x=1时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.
f′(x0)＝ ＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
6．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
【常用结论】
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
7．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
8．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【常用结论】
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
考点一　导数的运算
(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝exsin x＋excos x，则f(2 021)－f(0)等于(　　)
A．e2 021cos 2 021 B．e2 021sin 2 021
C. D．e
答案　B
解析　因为f′(x)＝exsin x＋excos x，
所以f(x)＝exsin x＋k(k为常数)，
所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.
【思维升华】
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
考点二　导数的几何意义
2（2022·枣庄模拟）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】设，则，直线的斜率为，
由题意可得，解得.
故答案为：C.
【思维升华】
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
考点三　两曲线的公切线
3.(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于(　　)
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
答案　D
解析　由f(x)＝xln x求导得f′(x)＝1＋ln x，
则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，
因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，
因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，
所以a＝－1或a＝3.
【思维升华】
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
考点四 不含参数的函数的单调性
4.（2022·陕西模拟）已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，单调递增，，所以单调递增.
因为是偶函数，所以当时，单调递减.
，，
，
或.
即不等式的解集为.
故答案为：D
【思维升华】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
考点五　含参数的函数的单调性
5.（2022·吉林模拟）若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】恒成立，即，解得：.
故答案为：A
【思维升华】
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
考点六　函数单调性的应用
已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　)
A．f >f(1)>f
B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f
D．f >f >f(1)
答案　A
解析　因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f ＝f .又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上单调递增，所以f f(1)>f .
【思维升华】
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
考点七　利用导数求函数的极值问题
(2022·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
答案　D
解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)时，
y>0，x－1<0 f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0 f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0 f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0 f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．
【思维升华】
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
考点八　利用导数求函数最值
8.（2022·四川模拟）对任意，存在，使得，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．e
【答案】C
【解析】由题，令，则所以，令
，则，令，
则，则即在时单调递增，
又，则时时，
所以时取得极小值也即为最小值，最小值，即的最小值为1．
故答案为：C．
【思维升华】
(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
一、单选题
1.（2022·湖北模拟）已知函数，不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，所以，所以在上单调递减，
则等价于，解得，即原不等式的解集为.
故答案为：B.
2．（2022·长安模拟）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，
根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，
可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数极值点的个数为4个.
故答案为：C.
3．（2022·成都模拟）若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（　　）
A．－4 B．－3 C．4 D．3
【答案】B
【解析】 ，
所以 。
故答案为：B
4．（2022·贵州模拟）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，当x=1时，y=0,切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为.
故答案为：B
5．（2022·安徽模拟）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】解：由题意得：
不等式对恒成立等价于不等式对恒成立
设，，则
当时，，则在上单调递减
与题意矛盾
．令，则
在上单调递增
，当，即时，，则在上单调递增
，符合题意；
当，即时，由，得存在，使，当时，，即，则在上单调递减，则，不符合题意，因此实数a的最小值为．
故答案为：C．
6．（2022·雅安模拟）定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，因为是偶函数，所以为偶函数，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
则，即，则，A不符合题意；
，即，B不符合题意；
，即，C不符合题意；
，即，则，D符合题意.
故答案为：D.
7．（2022·广州模拟）对于任意都有，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，令，
则，所以在上单调递减，在上单调递减，
所以，所以，
所以转化为：，令，，
①当时，，所以在上单调递增，所以
，所以.
②当时，您，所以，
（i）当即时，
，所以在上单调递增，，所以.
(ii)当即时，
在上单调递减，在上单调递增，，
所以，所以.
综上，的取值范围为：.
故答案为：B.
8．（2022·新昌模拟）已知，则的最大值是（　　）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【解析】，，
；
令，
；
令，解得：，，，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在，上单调递减；
；
当时，，；
当时，，；
综上所述：的最大值为4.
故答案为：C.
9．（2022·新疆三模）若函数在处有极值10，则（　　）
A．6 B．-15 C．-6或15 D．6或-15
【答案】B
【解析】，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意
故答案为：B
10．（2022·昆明模拟）对于函数，有下列四个论断：
①是增函数②是奇函数③有且仅有一个极值点④的最小值为
若其中恰有两个论断正确，则（　　）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，故函数是非奇非偶，即无论为何值，②一定错误
对函数进行求导，
当时，恒大于零，原函数单调递增，
故原函数没有极值点和最小值，B、D排除.
当时，函数不是增函数，故只能有③④正确；
当时，函数，导函数，
令，，，在上单调递增，
由于，，
故，使得，即
，，在单调递减，
，，在单调递增
故函数有且仅有一个极值点，的最小值为
故只满足③，排除A
当时，，
令，，，在上单调递增，
， ，，在单调递减，
，，在单调递增
故的最小值为
故满足③④
故答案为：C.
二、填空题
11．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
【答案】a＞0或a＜-4
【解析】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
12．（2022·齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为　 　．
【答案】2
【解析】根据题意有，令，则，
令，则，
所以函数在R上单调递减，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为2。
故答案为：2。
13．（2022·全国乙卷）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】解： ，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当 时， ，当 时， ，
若 时，当 时， ，则此时 ，与前面矛盾，
故 不符合题意，
若 时，则方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，
则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
综上所述， 的范围为 .
14．（2022·浙江模拟）已知1是函数的一个极值点，其中，则其导函数有　 　个零点；函数的另外一个极值点的取值范围为　 　.
【答案】2；
【解析】，则，
因为，可知：
因为，所以由两个不相等的实数根，
故有两个零点，由两根之积可得：另一个零点为，
也是的另外一个极值点
则，即，
由.
故答案为：2，
三、解答题
15．已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝－1时，
f(x)＝x2＋2ln x－3x，
则f′(x)＝x＋－3＝
＝(x>0)．
当02时，
f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2)．
(2)g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增，
则g′(x)＝f′(x)－a＝x－－2≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立．
即≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立．
所以x2－2x－2a≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，
所以a≤(x2－2x)＝(x－1)2－恒成立．
令φ(x)＝(x－1)2－，x∈(0，＋∞)，
则其最小值为－，故a≤－.
所以实数a的取值范围是.
16.已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解　(1)因为f(x)＝x－1＋，
所以f′(x)＝1－，
又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，
即1－＝0，所以a＝e.
(2)由(1)知f′(x)＝1－，
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
因此f(x)无极大值与极小值；
当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，
所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，
令f′(x)<0，则x所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，
且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，
综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题11 导数的概念及其意义和导数的运算
1．（2022·全国乙卷）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国甲卷）当 时，函数 取得最大值 ，则 （　　）
A．-1 B． C． D．1
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.
f′(x0)＝ ＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
6．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
【常用结论】
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
7．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
8．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【常用结论】
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
考点一　导数的运算
(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝exsin x＋excos x，则f(2 021)－f(0)等于(　　)
A．e2 021cos 2 021 B．e2 021sin 2 021
C. D．e
【思维升华】
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
考点二　导数的几何意义
2（2022·枣庄模拟）曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【思维升华】
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
考点三　两曲线的公切线
3.(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于(　　)
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
【思维升华】
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
考点四 不含参数的函数的单调性
4.（2022·陕西模拟）已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【思维升华】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
考点五　含参数的函数的单调性
5.（2022·吉林模拟）若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【思维升华】
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
考点六　函数单调性的应用
已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　)
A．f >f(1)>f
B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f
D．f >f >f(1)
【思维升华】
根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
考点七　利用导数求函数的极值问题
(2022·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
【思维升华】
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
考点八　利用导数求函数最值
8.（2022·四川模拟）对任意，存在，使得，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．e
【思维升华】
(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
一、单选题
1.（2022·湖北模拟）已知函数，不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·长安模拟）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·成都模拟）若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（　　）
A．－4 B．－3 C．4 D．3
4．（2022·贵州模拟）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽模拟）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
6．（2022·雅安模拟）定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022·广州模拟）对于任意都有，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022·新昌模拟）已知，则的最大值是（　　）
A． B． C．4 D．6
9．（2022·新疆三模）若函数在处有极值10，则（　　）
A．6 B．-15 C．-6或15 D．6或-15
10．（2022·昆明模拟）对于函数，有下列四个论断：
①是增函数②是奇函数③有且仅有一个极值点④的最小值为
若其中恰有两个论断正确，则（　　）
A．-1 B．1 C． D．
二、填空题
11．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
12．（2022·齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为　 　．
13．（2022·全国乙卷）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是　 　．
14．（2022·浙江模拟）已知1是函数的一个极值点，其中，则其导函数有　 　个零点；函数的另外一个极值点的取值范围为　 　.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
16.已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．

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