专题10 函数的应用——备战2023年高考数学一轮复习讲义(Word版含答案)

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专题10 函数的应用——备战2023年高考数学一轮复习讲义(Word版含答案)

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<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题10 函数的应用
1.(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(  )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
函数的图象
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y=f(x)
y=f(ax).
②y=f(x)
y=af(x).
(3)对称变换
①y=f(x)y=-f(x).
②y=f(x)y=f(-x).
③y=f(x)y=-f(-x).
④y=ax (a>0且a≠1)
y=logax(a>0且a≠1).
(4)翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|.
②y=f(x)y=f(|x|).
常用结论
1.函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
2.函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.
考点一 作函数的图象
1.作出下列函数的图象:
(1)y=;
(2)y=|x2-4x+3|.
【思维升华】
图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象.
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.
考点二 函数图象的识别
2.(2022·百师联盟联考)函数f(x)=的图象大致为(  )
【思维升华】
识别函数的图象的主要方法有:
(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.
考点三 函数图象的应用
3.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集为________________.
【思维升华】
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
函数的零点与方程的解
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
考点一 函数零点所在区间的判定
1.(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)(  )
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
【思维升华】
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
考点二 函数零点个数的判定
2.(2022·绍兴模拟)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数为(  )
A.14 B.13 C.12 D.11
【思维升华】
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点;
(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
考点三 函数零点的应用
3.(2022·北京顺义区模拟)已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(  )
A. B.
C.(-∞,0) D.
【思维升华】
已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
三、函数模型的应用
1.三种函数模型的性质
函数 性质 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0)
在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
考点一 用函数图象刻画变化过程
1.如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(  )
【思维升华】
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
考点二 已知函数模型的实际问题
2.(2022· 百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响,医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力,计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元,最大产能为100台.每生产x台,需另投入成本G(x)万元,且G(x)=由市场调研知,该产品每台的售价为200万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润=销售收入-成本);
(2)当该产品的年产量为多少时,公司所获利润最大?最大利润是多少?
【思维升华】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
考点三 构造函数模型的实际问题
3.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据:取ln 0.6≈-0.511,ln 0.9≈-0.105)(  )
A.4 B.5 C.6 D.7
【思维升华】
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模:抽象出实际问题的数学模型;
(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解;
(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
一、单选题
1.(2022·沈阳质检)若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)等于(  )
A.- B.- C.-1 D.-2
2.(2022·长沙质检)已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为(  )
图①        图②
A.y=f(|x|) B.y=f(-|x|)
C.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)
3.(2022·武汉质检)若函数f(x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是(  )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C. D.
4.(2022·重庆质检)已知函数f(x)=x-log2x,设0A.x0c
C.x0b
5.(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x|的根的个数是(  )
A.2 B.3 C.4 D.多于4
6.(2022·福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如下表:
小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+lg ,x表示小数记录数据,y表示五分记录数据,请选择最合适的模型解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为(附100.3=2,5-0.22=0.7,10-0.1=0.8)(  )
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8
7.(2022·衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑,无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活,同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=eax+b(a,b为常数),若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时,在24 ℃的保鲜时间为8小时,那么在12 ℃时,该果蔬的保鲜时间为(  )
A.72小时 B.36小时
C.24小时 D.16小时
8.(2022·南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象,人们在泉口吼叫或发出其他声音时,声波传入泉洞内的储水池,进而产生“共鸣”等作用,激起水波,形成涌泉,声音越大,涌起的泉水越高.已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10-12,单位:W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级,记作L(贝尔),即L=lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位,简称为分贝,已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y=2x,甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m,60 m.若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强,则n的值约为(  )
A.10 B.100 C.200 D.1 000
9.若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为(  )
A.(0,1) B.
C. D.(1,+∞)
10.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时,将灰度分为256个等级,最暗的黑色用0表示,最亮的白色用255表示,中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示,这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图象时,为了增强较黑部分的对比度,可对图象上每个像素的灰度值进行转换,扩展低灰度级,压缩高灰度级,实现如下图所示的效果:
则下列可以实现该功能的一种函数图象是(  )
二、填空题
11.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是__________.
12.(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,e2]上有三个零点,则实数a的取值范围是______________.
13.(2022·济南质检)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xln x=1的解,则x1x2=________.
14.已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α-β|三、解答题15.(2022·保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k),这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2,凤眼莲的覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=+k(p>0,k>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
16.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,该公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1 600]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤90恒成立;③f(x)≤恒成立.
(1)现有两个奖励函数模型:(Ⅰ)f(x)=x+10;(Ⅱ)f(x)=2-6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求?
(2)已知函数f(x)=a-10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.<备战2023年高考数学一轮复习方案>
专题10 函数的应用
1.(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(  )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
答案 D
解析 由散点图可以看出,点大致分布在对数型函数的图象附近.
函数的图象
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y=f(x)
y=f(ax).
②y=f(x)
y=af(x).
(3)对称变换
①y=f(x)y=-f(x).
②y=f(x)y=f(-x).
③y=f(x)y=-f(-x).
④y=ax (a>0且a≠1)
y=logax(a>0且a≠1).
(4)翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|.
②y=f(x)y=f(|x|).
常用结论
1.函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
2.函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.
考点一 作函数的图象
1.作出下列函数的图象:
(1)y=;
(2)y=|x2-4x+3|.
解 (1)y==2+,故函数的图象可由y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图①所示.
(2)先用描点法作出函数y=x2-4x+3的图象,再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折,x轴上方的图象不变,如图②实线部分所示.
【思维升华】
图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象.
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.
考点二 函数图象的识别
2.(2022·百师联盟联考)函数f(x)=的图象大致为(  )
答案 D
解析 由题意知,f(x)的定义域为R,
f(-x)=
==-f(x),
故f(x)为奇函数,排除C;
f(1)=>0,排除A;
f(2)=<0,排除B.
【思维升华】
识别函数的图象的主要方法有:
(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.
考点三 函数图象的应用
3.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集为________________.
答案 (-2,-1)∪(1,2)
解析 ∵xf(x)<0,∴x和f(x)异号,
由于f(x)为奇函数,补齐函数的图象如图.
当x∈(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)时,f(x)>0,
当x∈(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)时,
f(x)<0,
∴不等式xf(x)<0的解集为(-2,-1)∪(1,2).
【思维升华】
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
函数的零点与方程的解
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
考点一 函数零点所在区间的判定
1.(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)(  )
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
答案 D
解析 f(x)的定义域为{x|x>0},
f′(x)=-=,
令f′(x)>0 x>3,f′(x)<0 0∴f(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,
又f =+1>0,f(1)=>0,
∴f(x)在内无零点.
又f(e)=-1<0,∴f(x)在(1,e)内有零点.
【思维升华】
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
考点二 函数零点个数的判定
2.(2022·绍兴模拟)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数为(  )
A.14 B.13 C.12 D.11
答案 C
解析 因为f(x+1)=-f(x),
所以函数y=f(x)(x∈R)是周期为2函数,
因为x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,
所以作出它的图象,则y=f(x)的图象如图所示.(注意拓展它的区间)
再作出函数g(x)=的图象,
容易得出交点为12个.
【思维升华】
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点;
(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
考点三 函数零点的应用
3.(2022·北京顺义区模拟)已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(  )
A. B.
C.(-∞,0) D.
答案 B
解析 由f(x)=3x-=0,
可得a=3x-,
令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1),
由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.
由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增.
当x∈(-∞,-1)时,
g(x)=3x-<3-1+1=,
又g(x)=3x->0,
所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
【思维升华】
已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
三、函数模型的应用
1.三种函数模型的性质
函数 性质 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0)
在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
考点一 用函数图象刻画变化过程
1.如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(  )
答案 B
解析 水匀速流出,所以鱼缸水深h先降低快,中间降低缓慢,最后降低速度又越来越快.
【思维升华】
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
考点二 已知函数模型的实际问题
2.(2022· 百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响,医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力,计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元,最大产能为100台.每生产x台,需另投入成本G(x)万元,且G(x)=由市场调研知,该产品每台的售价为200万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润=销售收入-成本);
(2)当该产品的年产量为多少时,公司所获利润最大?最大利润是多少?
解 (1)由题意可得,当0W(x)=200x-(2x2+80x)-300
=-2x2+120x-300;
当40W(x)=200x--300
=-+1 800,
所以W(x)=
(2)若0所以当x=30时,W(x)max=1 500万元.
若40W(x)=-+1 800
≤-2+1 800
=-120+1 800=1 680,
当且仅当x=时,
即x=60时,W(x)max=1 680万元.
所以该产品的年产量为60台时,公司所获利润最大,最大利润是1 680万元.
【思维升华】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
考点三 构造函数模型的实际问题
3.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据:取ln 0.6≈-0.511,ln 0.9≈-0.105)(  )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 C
解析 设石片第n次“打水漂”时的速率为vn,
则vn=100×0.90n-1.
由100×0.90n-1<60,
得0.90n-1<0.6,
则(n-1)ln 0.90即n-1>≈≈4.87,则n>5.87,
故至少需要“打水漂”的次数为6.
【思维升华】
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模:抽象出实际问题的数学模型;
(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解;
(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
一、单选题
1.(2022·沈阳质检)若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)等于(  )
A.- B.- C.-1 D.-2
答案 C
解析 ∵f(-1)=0,∴ln(-1+a)=0,
∴-1+a=1,∴a=2,
又y=ax+b过点(-1,3),
∴2×(-1)+b=3,∴b=5,
∴f(-3)=-3a+b=-6+5=-1.
2.(2022·长沙质检)已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为(  )
图①        图②
A.y=f(|x|) B.y=f(-|x|)
C.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)
答案 B
解析 观察函数图象可得,②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象,然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得,结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y=f(-|x|).
3.(2022·武汉质检)若函数f(x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是(  )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C. D.
答案 D
解析 由题意知方程ax=x2+1在上有实数解,即a=x+在上有解,
设t=x+,x∈,
则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
4.(2022·重庆质检)已知函数f(x)=x-log2x,设0A.x0
c
C.x0b
答案 B
解析 f(x)=x-log2x在(0,+∞)上单调递减,由f(a)·f(b)·f(c)<0,
得f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0或f(a)>0,
f(b)>0,f(c)<0.
∴x0c不成立.
5.(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x|的根的个数是(  )
A.2 B.3 C.4 D.多于4
答案 C
解析 f(x)=log3|x|的解的个数,等价于y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数,因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x),
所以周期T=2,
当x∈[0,1]时,f(x)=x,且f(x)为偶函数,
在同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象,如图所示.
显然函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点.
6.(2022·福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如下表:
小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+lg ,x表示小数记录数据,y表示五分记录数据,请选择最合适的模型解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为(附100.3=2,5-0.22=0.7,10-0.1=0.8)(  )
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8
答案 B
解析 由表格中的数据可知,函数单调递增,故合适的函数模型为y=5+lg x,
令y=5+lg x=4.7,解得x=10-0.3=0.5.
7.(2022·衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑,无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活,同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=eax+b(a,b为常数),若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时,在24 ℃的保鲜时间为8小时,那么在12 ℃时,该果蔬的保鲜时间为(  )
A.72小时 B.36小时
C.24小时 D.16小时
答案 A
解析 当x=6时,e6a+b=216;
当x=24时,e24a+b=8,则==27,
整理可得e6a=,于是eb=216×3=648,
当x=12时,
y=e12a+b=(e6a)2·eb=×648=72.
8.(2022·南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象,人们在泉口吼叫或发出其他声音时,声波传入泉洞内的储水池,进而产生“共鸣”等作用,激起水波,形成涌泉,声音越大,涌起的泉水越高.已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10-12,单位:W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级,记作L(贝尔),即L=lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位,简称为分贝,已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y=2x,甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m,60 m.若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强,则n的值约为(  )
A.10 B.100 C.200 D.1 000
答案 B
解析 设甲同学的声强为I1,乙同学的声强为I2,
则140=10lg ,120=10lg ,
两式相减即得20=10lg ,即lg =2,
从而=100,所以n的值约为100.
9.若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为(  )
A.(0,1) B.
C. D.(1,+∞)
答案 C
解析 因为=kx2有四个实数解,
显然,x=0是方程的一个解,
下面只考虑x≠0时有三个实数解即可.
若x>0,原方程等价于1=kx(x+4),
显然k≠0,则=x(x+4).
要使该方程有解,必须k>0,
则+4=(x+2)2,此时x>0,方程有且必有一解;
所以当x<0时必须有两解,当x<0时,
原方程等价于-1=kx(x+4),
即-=x(x+4)(x<0且x≠-4),要使该方程有两解,
必须-4<-<0,
所以k>.
所以实数k的取值范围为.
10.(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时,将灰度分为256个等级,最暗的黑色用0表示,最亮的白色用255表示,中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示,这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图象时,为了增强较黑部分的对比度,可对图象上每个像素的灰度值进行转换,扩展低灰度级,压缩高灰度级,实现如下图所示的效果:
则下列可以实现该功能的一种函数图象是(  )
答案 A
解析 根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知,相对于原图的灰度值,处理后的图象上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x上方.结合选项只有A选项能够较好的达到目的.
二、填空题
11.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是__________.
答案 
解析 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的取值范围为.
12.(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,e2]上有三个零点,则实数a的取值范围是______________.
答案 
解析 ∵函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,e2]上有三个零点,
∴y=f(x)的图象与直线y=ax在区间(0,e2]上有三个交点,
由函数y=f(x)与y=ax的图象可知,
k1==,
f(x)=ln x(x>1),f′(x)=,
设切点坐标为(t,ln t),则=,
解得t=e.∴k2=.
则直线y=ax的斜率a∈.
13.(2022·济南质检)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xln x=1的解,则x1x2=________.
答案 1
解析 x1,x2分别是函数y=ex,函数y=ln x与函数y=的图象的 交点A,B的横坐标,所以A,B两点关于y=x对称,因此x1x2=1.
14.已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α-β|答案 
解析 由题意可知f(2)=0,且f(x)在R上单调递减,所以函数f(x)只有一个零点2,由|2-β|<1,得1<β<3,所以函数g(x)=x2-aex在区间(1,3)上存在零点.
由g(x)=x2-aex=0,得a=.
令h(x)=,则h′(x)==,所以h(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,3)上单调递减,且h(1)=,h(2)=,h(3)=>,要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点,只需a∈.
三、解答题
15.(2022·保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k),这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2,凤眼莲的覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=+k(p>0,k>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
解 (1)由题设可知,两个函数y=kax(k>0,a>1),y=+k(p>0,k>0)在(0,+∞)上均为增函数,
随着x的增大,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加得越来越快,
而函数y=+k(p>0,k>0)的值增加得越来越慢,
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,故而函数模型y=kax(k>0,a>1)满足要求.
由题意可得
解得k=,a=,故该函数模型的解析式为y=·x(x∈N).
(2)当x=0时,y=·0=,
故元旦放入凤眼莲的面积为 m2,
由·x>10×,
即x>10,
故x>==,
由于≈≈5.7,
故x≥6.
因此,凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份..
16.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,该公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1 600]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤90恒成立;③f(x)≤恒成立.
(1)现有两个奖励函数模型:(Ⅰ)f(x)=x+10;(Ⅱ)f(x)=2-6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求?
(2)已知函数f(x)=a-10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.
解 (1)对于函数模型:(Ⅰ)f(x)=x+10,验证条件③:当x=30时,f(x)=12,而=6,
即f(x)≤不成立,故不符合公司要求;
对于函数模型:(Ⅱ)f(x)=2-6,
当x∈[25,1 600]时,条件①f(x)是增函数满足;
∴f(x)max=2-6=2×40-6=74<90,满足条件②;
对于条件③:
记g(x)=2-6-(25≤x≤1 600),
则g(x)=-(-5)2-1,
∵∈[5,40],
∴当=5时,
g(x)max=-(5-5)2-1=-1≤0,
∴f(x)≤恒成立,即条件③也成立.
故函数模型: (Ⅱ)f(x)=2-6符合公司要求.
(2)∵a≥2,
∴函数f(x)=a-10符合条件①;
由函数f(x)=a-10符合条件②,
得a-10=a×40-10≤90,
解得a≤;
由函数f(x)=a-10符合条件③,
得a-10≤对x∈[25,1 600]恒成立,
即a≤+对x∈[25,1 600]恒成立.
∵+≥2,当且仅当=,
即x=50时等号成立,
∴a≤2,
综上所述,实数a的取值范围是.

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