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椭圆方程及椭圆综合训练
1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性 质 范围 x∈[－a，a] y∈[－b，b] x∈[－b，b]， y∈[－a，a]
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点，
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率 e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
1．（2022·江苏·高二）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
2．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
【易错警示】
1．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
1．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　)
A．5 B．3
C．5或3 D．8
2．（2022·重庆八中模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
高考动向
1．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，焦距，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
(易错题)
一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为________________．
【方法技巧】
求椭圆标准方程的 2种常用方法
定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
1．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)
A．9,12　　　　　　　　 　B．8,11
C．8,12 D．10,12
2，（2022·广东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ， 点 是椭圆上三个不同的点， 则 “ 成等差数列” 是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【方法技巧】
椭圆定义的应用技巧
求方程 通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
求焦点三角形 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值 抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
【变式训练】
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，常见的命题角度有：
(1)求离心率的值或范围；
(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围．　　　 　
考向一：求离心率的值或范围
（2022·青海·海东市第一中学模拟预测）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知椭圆，其中、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点．过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））设，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建泉州·高二期中）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
角考向二：根据椭圆的性质求参数的值或范围
1，（2022·山东·聊城二中高三开学考试）如图所示，椭圆C：的左右焦点分别为，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线倾斜角不小于，则椭圆C的实轴长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
规律与方法
1．应用椭圆几何性质的2个技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
2．求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解
1，（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线为椭圆的“伴随曲线”.已知点在椭圆C上，且椭圆C的伴随曲线的渐近线方程为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河南安阳·三模（文））已知椭圆：的右焦点为，直线与C交于A，B两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林·洮南市第一中学模拟预测（文））已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标是______．
2．（2020·山西大附中高二阶段练习）如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______．
3．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

二、解答题
1．（2022·全国·高二单元测试）已知、是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若的面积为9，求实数b的值．
2．（2022·陕西安康·高二期末（理））已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C上任意一点A作两条直线与C的另外两个交点为M，N，O为坐标原点，若直线AM和AN的斜率分别为和，且，证明：M，O，N三点共线．
3．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，．
(1)求C的方程及点P的坐标；
(2)过点P的直线l交C于另一点Q（点Q在第三象限），点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．
4．（2022·海南中学高三阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.
(1)求的方程；
(2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C.
①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）已知椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A B，
(1)求b的值；
(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；
(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若.证明：直线l过定点，并求出定点的坐标.
6．（2022·湖南·高二阶段练习）已知椭圆C：的上顶点与右焦点分别为M，F，O为坐标原点，是底边长为2的等腰三角形.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，，若，求k的值.
7．（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．
8．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）从圆：上任取一点向轴作垂线段为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线．（当为轴上的点时，规定与重合）．
(1)求的方程，并说明是何种曲线：
(2)若圆与轴的交点分别为在左侧），异于，直线交直线于，垂足为，线段的中点为，求证：是等腰三角形．

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