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基本不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2.利用基本不等式求最值的使用条件：
(1)一正：各项均为正数，若各项均为负数，则可以提负号；
(2)二定：如果两个正数的积是定值，则有最小值，(简记：积定和最小)
如果两个正数的和是定值，则有最大值； (简记：和定积最大)
(3)三相等：当且仅当时取最值。
3．常用结论
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）基本不等式链：若，则(当且仅当时取“”)。
注：算术平均数：；几何平均数：；调和平均数：；平方平均数：。
题型一 利用基本不等式求最值
考向1 积定和最小
例2 函数y＝4－x－(x<0)(　　)
A．有最小值2 B．有最小值6 C．有最大值2 D．有最大值6
【举一反三】
1.已知函数f(x)＝(x>0)，则(　　)
A．f(x)有最大值3 B．f(x)有最小值3 C．f(x)有最小值 D．f(x)有最大值
考向2 和定积最大
例1 (2022·汉中模拟)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　)
A．2 B. C．4 D.
【举一反三】
1.若0考向三 配凑法
例1 已知x>2，则x＋的最小值是(　　)
A．1 B.2 C．2 D．4
【备选例1】 若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　)
A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3
例2 (2022·乐山模拟)设0A. B．4 C. D．9
【举一反三】
(2020·全国高三课时练习)若，则的最大值是 ( )
A． B． C． D．
2.已知函数f(x)＝＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为________．
3.(2022·重庆模拟)已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．4 C．7 D．3＋
4.已知函数f(x)＝x＋(x<1)，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)有最大值 B．f(x)有最大值－ C．f(x)有最小值 D．f(x)有最小值
考向四 巧用“1”的代换
例1 已知，，且，则的最小值为( )。
A、 B、 C、 D、
例2 (2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)
A．1 B．2 C. D.
例3 已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
【备选例3】 已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为________．
【举一反三】
1.已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有(　　)
①2a＋2b≥2； ②a2＋b2<1； ③＋<4； ④a＋>2.
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
考向五 换元法
例1 (2022·绍兴模拟)若－1【举一反三】
1.已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　)
A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4 C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4
2.已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋＋ab的最小值为____________．
考向六　消元法
例1　已知x>0，y>0且x＋y＋xy＝3，则x＋y的最小值为________．
【备选例1】(2022·哈尔滨模拟)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于(　　)
A．16 B．6 C．18 D．12
例2 已知x>0，y>0且x＋y＋xy＝3，则xy的最大值 ．
【举一反三】
1．已知x>0，y>0且3x＋4y－xy＝0，则3x＋y的最小值为________．
考向七 多次使用基本不等式
例1 (2021·天津)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________．
题型二　基本不等式的常见变形应用
例1 若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
【备选例1】(2022·广州模拟)已知01，则下列不等式中成立的是(　　)
A．a＋b< B.< C.<2 D．a＋b<
【举一反三】
1. (2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0)
2.(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q：>2，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3 (2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　)
A. B.＋ C. D.基本不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2.利用基本不等式求最值的使用条件：
(1)一正：各项均为正数，若各项均为负数，则可以提负号；
(2)二定：如果两个正数的积是定值，则有最小值，(简记：积定和最小)
如果两个正数的和是定值，则有最大值； (简记：和定积最大)
(3)三相等：当且仅当时取最值。
3．常用结论
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）基本不等式链：若，则(当且仅当时取“”)。
注：算术平均数：；几何平均数：；调和平均数：；平方平均数：。
题型一 利用基本不等式求最值
考向1 积定和最小
例2 函数y＝4－x－(x<0)(　　)
A．有最小值2 B．有最小值6 C．有最大值2 D．有最大值6
答案　B
【举一反三】
1.已知函数f(x)＝(x>0)，则(　　)
A．f(x)有最大值3 B．f(x)有最小值3 C．f(x)有最小值 D．f(x)有最大值
答案　D
解析　f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
∴f(x)的最大值为.
考向2 和定积最大
例1 (2022·汉中模拟)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　)
A．2 B. C．4 D.
答案　A
解析　4＝2a＋b≥2，即2≥，平方得ab≤2，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立，∴ab的最大值为2.
【举一反三】
1.若0答案　2
解析　∵0考向三 配凑法
例1 已知x>2，则x＋的最小值是(　　)
A．1 B.2 C．2 D．4
答案　D
【备选例1】 若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　)
A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3
答案　C
例2 (2022·乐山模拟)设0A. B．4 C. D．9
答案　C
解析　y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号，
∴当x＝时，ymax＝.
【举一反三】
(2020·全国高三课时练习)若，则的最大值是 ( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 ，故，则，当时取“=”，∴正确选项为A
2.已知函数f(x)＝＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为________．
答案　
解析　∵2x>1，∴x－>0，f(x)＝＋x＝＋x－＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当＝x－，即x＝时取“＝”．∴f(x)的最小值为.
3.(2022·重庆模拟)已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．4 C．7 D．3＋
答案　C
4.已知函数f(x)＝x＋(x<1)，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)有最大值 B．f(x)有最大值－ C．f(x)有最小值 D．f(x)有最小值
答案　B
解析　f(x)＝＋＋＝－＋≤－2＋＝－，当且仅当x＝－5时等号成立．
考向四 巧用“1”的代换
例1 已知，，且，则的最小值为( )。
A、 B、 C、 D、
答案 B
解析 ∵，，且，
∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，故选B。
例2 (2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)
A．1 B．2 C. D.
答案　C
解析　∵a>0，b>0，且a＋b＝2，
∴＝1，∴＋＝(a＋b)＝ ≥×＝，
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
例3 已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
答案 A
解析 方法一 ∵正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
【备选例3】 已知x>0，y>0且x＋y＝5，则＋的最小值为________．
答案　
解析　 令x＋1＝m，y＋2＝n，∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴＋＝＋＝×(m＋n)＝≥×(2＋2)＝.
当且仅当＝，即m＝n＝4时等号成立．
∴＋的最小值为.
【举一反三】
1.已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有(　　)
①2a＋2b≥2； ②a2＋b2<1； ③＋<4； ④a＋>2.
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
答案　C
解析　∵2a＋2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b时取等号，∴①正确；
∵a2＋b2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，∴③错误；∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴02，④正确．
考向五 换元法
例1 (2022·绍兴模拟)若－1答案　－1
【举一反三】
1.已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　)
A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4 C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4
答案　A
2.已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋＋ab的最小值为____________．
答案　
解析　∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，
即0∵函数y＝＋t在上为减函数，∴当t＝时，函数y＝＋t取得最小值，即ymin＝＋4＝.
考向六　消元法
例1　已知x>0，y>0且x＋y＋xy＝3，则x＋y的最小值为________．
答案　2
解析　(换元消元法)∵x＋y＋xy＝3，则3－(x＋y)＝xy≤2，
即(x＋y)2＋4(x＋y)－12≥0，令t＝x＋y，则t>0，∴t2＋4t－12≥0，解得t≥2，
∴x＋y的最小值为2.
【备选例1】(2022·哈尔滨模拟)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于(　　)
A．16 B．6 C．18 D．12
答案　B
解析　∵x>0，y>0,2x＋8y＝xy，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2＝10＋2×4＝18，当且仅当即时取等号，
∴当x＋y取得最小值时，y＝6.
例2 已知x>0，y>0且x＋y＋xy＝3，则xy的最大值 ．
解　∵x＋y＋xy＝3，∴3－xy＝x＋y≥2，当且仅当x＝y时取等号，
令t＝，则t>0，∴3－t2≥2t，即t2＋2t－3≤0，即0【举一反三】
1．已知x>0，y>0且3x＋4y－xy＝0，则3x＋y的最小值为________．
答案　27
解析　∵x>0，y>0,3x＋4y＝xy，∴＋＝1，∴3x＋y＝(3x＋y)＝15＋＋≥15＋2＝27，当且仅当即时取等号，∴3x＋y的最小值为27.
考向七 多次使用基本不等式
例1 (2021·天津)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________．
答案　2
解析　∵a>0，b>0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，
当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，∴＋＋b的最小值为2.
题型二　基本不等式的常见变形应用
例1 若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2
答案　D
解析　a2＋b2≥2ab，∴A错误；
ab>0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，
∴当a<0，b<0时，B错误；同时C错误；
或都是正数，根据基本不等式求最值，
＋≥2＝2，故D正确．
【备选例1】(2022·广州模拟)已知01，则下列不等式中成立的是(　　)
A．a＋b< B.< C.<2 D．a＋b<
答案　D
解析　对于选项A，∵01，
∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A错误；
对于选项B，>＝，故选项B错误；
对于选项C，>＝2，
故选项C错误；
对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
∴a＋b<，故选项D正确．
【举一反三】
1. (2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0)
答案　D
2.(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q：>2，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，∴>2，∴由p可推出q，当a<0，b<0时，命题q成立，
如a＝－1，b＝－3时，＝5>2＝4，∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件．
3 (2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　)
A. B.＋ C. D.
答案　B
解析　∵a，b为互不相等的正实数，
∴＋>，
<＝<，
<＝<，
∴最大的是＋.

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