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苏教版（2019）高中数学一轮复习第7讲《利用导数求单调性和最值》（原卷版）
【知识梳理】
导数及其应用 概念与几何意义 概念 函数在点处的导数
几何 意义 为曲线在点处的切线斜率，切线方程是
运算 基本 公式 （为常数）；； ； ,（，且）； （，（，且）． ；
运算 法则 ； ， ；， ． 复合函数求导法则
公式 运用 求下列函数的导数： ； 2、； 3、； 4、 5、 6、
研究 函数 性质 单调性 的各个区间为单调递增区间；的区间为单调递减区间
极值 且在附近左负（正）右正（负）的为极小（大）值点
最值 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者
二级结论 重要不等式
洛必达法则 (当时使用)
二、【考点精讲】
考点1 利用导数求单调性
【例1】1、（2021·广东）函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·福建师大附中）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·六安市）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4、（2021·天津高三一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1、（2021·江苏）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模）已知函数，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
3、已知实数，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
4、（2021·湖北高三月考）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
考点2 利用导数求最值
【例2】1、（2021·浙江）已知函数，则函数的单调递增区间是______，函数的极大值点是_______．
2、（2021·黑龙江大庆市·）已知函数在处有极值10，则（ ）
A． B．0 C．或0 D．或6
3、（2021·江苏）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4、（2021·江苏）已知函数在上的最大值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、（2021·浙江宁波市）已知函数，则_____，有极______（填大或小）值．
2、（2021·湖北十堰市·高三二模）已知函数在处有极小值，且极小值为，则（ ）
A． B． C． D．或
3、（2021·浙江）已知函数，则的最大值是_____，最小值是______．
4、（2021·苏州市吴中区甪直高级中学）若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点3 参数问题
【例3】1、（2021·六安市）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·湖北高三月考）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·河南开封市）设函数，若的极小值为，则（ ）
A． B． C． D．2
4、（2021·黑龙江哈尔滨市）已知在区间上有最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、（2021·陕西宝鸡市·高三月考）若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
2、（2021安徽高三月考）设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·河南洛阳市）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、（2021·苏州市吴中区甪直高级中学）若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．苏教版（2019）高中数学一轮复习第7讲《利用导数求单调性和最值》（解析版）
【知识梳理】
导数及其应用 概念与几何意义 概念 函数在点处的导数
几何 意义 为曲线在点处的切线斜率，切线方程是
运算 基本 公式 （为常数）；； ； ,（，且）； （，（，且）． ；
运算 法则 ； ， ；， ． 复合函数求导法则
公式 运用 求下列函数的导数： ； 2、； 3、； 4、 5、 6、
研究 函数 性质 单调性 的各个区间为单调递增区间；的区间为单调递减区间
极值 且在附近左负（正）右正（负）的为极小（大）值点
最值 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者
二级结论 重要不等式
洛必达法则 (当时使用)
二、【考点精讲】
考点1 利用导数求单调性
【例1】1、（2021·广东）函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，该函数的定义域为，
，
，可得，
令，可得，即，解得.
所以，函数的单调递减区间为.
当时，函数的一个单调递减区间为，
，
对任意的，，，，
故函数的一个单调递减区间为. 故选：A.
2、（2021·福建师大附中）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则
∵当时，，∴，
∴在区间上单调递减，
又，∴，即.故选：A．
3、（2021·六安市）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，
在上递减，则在上成立，
在上恒成立，
设，则在上恒成立，所以在上递增，
，所以．故选：A．
4、（2021·天津高三一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，则是偶函数，图象关于轴对称，排除C，
当且，，排除A，
当时，，则，
∵，，，则有两个不同的零点，
即当时，函数至少有三个单调区间，排除B，故选：D．
【变式训练】
1、（2021·江苏）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：D
2、（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模）已知函数，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
由对数的单调性可知：，
所以，且，
因为函数，所以函数为偶函数，
从而，
因为时，，所以，
则当时，，所以在上单调递增；
则当时，，所以在上单调递增；
因为，
所以，即；故选：D.
3、已知实数，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，得，，，因此，，.
设函数，则，，，
，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，又，
所以，
故选：A.
4、（2021·湖北高三月考）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以
因为在上的增函数，所以在R上恒成立，
所以，即，
所以，解得，故选：B
5、（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.
考点2 利用导数求最值
【例2】1、（2021·浙江）已知函数，则函数的单调递增区间是______，函数的极大值点是_______．
【答案】 .
【解析】由题意，函数，
则，
令，即，即，解得；
令，即，解得或；
所以函数的递增区间是，递减区间为，，
当时，函数取得极大值，即函数的极大值点为.
2、（2021·黑龙江大庆市·）已知函数在处有极值10，则（ ）
A． B．0 C．或0 D．或6
【答案】A
【解析】（1）由函数有.
函数在处有极小值10.所以，即
解得: 或
当时，
令得或，得
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.显然满足函数在处有极小值10.
当时，
所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10.
所以故选：A
3、（2021·江苏）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以取得最小值时，，此时，
当时，；
当时，；
所以的最小值是.故选：C
4、（2021·江苏）已知函数在上的最大值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
得，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增，
故当时，函数有最大值，
解得，不符合题意.
当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.
当时，函数在上单调递减.此时最大值为，
解得，符合题意.
故a的值为.
故选：A.
【变式训练】
1、（2021·浙江宁波市）已知函数，则_____，有极______（填大或小）值．
【答案】 有极大值
【解析】由题意，函数，可得，所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以有极大值．故答案为：；极大值．
2、（2021·湖北十堰市·高三二模）已知函数在处有极小值，且极小值为，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】．因为在处有极小值，且极小值为，所以，即，解得或．
当时，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值．
当时，，则在上单调递增，无极值．
故选：A
3、（2021·浙江）已知函数，则的最大值是_____，最小值是______．
【答案】； .
【解析】，，
又，令，得；令，得.
在上单调递减，在上单调递增，
，的最大值是2；最小值是.故答案为：；.
4、（2021·苏州市吴中区甪直高级中学）若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，
当或时，；当时，.
故在，上是增函数，在上是减函数，
所以，函数的极小值为.
作其图象如图，
令得，解得或，
结合图象可知，解得，.故选：C.
考点3 参数问题
【例3】1、（2021·六安市）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，
在上递减，则在上成立，
在上恒成立，
设，则在上恒成立，所以在上递增，
，所以．故选：A．
2、（2021·湖北高三月考）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以
因为在上的增函数，所以在R上恒成立，
所以，即，
所以，解得，故选：B
3、（2021·河南开封市）设函数，若的极小值为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由已知得：，令，有，且上递减，上递增，∴的极小值为，即，得.故选：B.
4、（2021·黑龙江哈尔滨市）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，当时, ，当,,
所以得极小值为.所以,得到，故选：D.
【变式训练】
1、（2021·陕西宝鸡市·高三月考）若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由知，,
时，是增函数，，
又，∴在上恒成立，
而，．故答案为：．
2、（2021安徽高三月考）设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数在上单调递减，
当时，，
在时恒成立，即，，
又在单调递减，故，
故．故选：B．
3、（2021·河南洛阳市）函数在内有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线y=a有公共点，
而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，所以实数的取值范围是.故选：C
4、（2021·苏州市吴中区甪直高级中学）若函数在 区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，
当或时，；当时，.
故在，上是增函数，在上是减函数，
所以，函数的极小值为.
作其图象如图，
令得，解得或，
结合图象可知，解得，.故选：C.

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