2023届江苏省高考数学一轮复习 第7讲 利用导数求单调性和最值 讲义(Word版含答案)

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2023届江苏省高考数学一轮复习 第7讲 利用导数求单调性和最值 讲义(Word版含答案)

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苏教版(2019)高中数学一轮复习第7讲《利用导数求单调性和最值》(原卷版)
【知识梳理】
导数及其应用 概念与几何意义 概念 函数在点处的导数
几何 意义 为曲线在点处的切线斜率,切线方程是
运算 基本 公式 (为常数);; ; ,(,且); (,(,且). ;
运算 法则 ; , ;, . 复合函数求导法则
公式 运用 求下列函数的导数: ; 2、; 3、; 4、 5、 6、
研究 函数 性质 单调性 的各个区间为单调递增区间;的区间为单调递减区间
极值 且在附近左负(正)右正(负)的为极小(大)值点
最值 上的连续函数一定存在最大值和最小值,最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者,最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者
二级结论 重要不等式
洛必达法则 (当时使用)
二、【考点精讲】
考点1 利用导数求单调性
【例1】1、(2021·广东)函数的一个单调递减区间是( )
A. B. C. D.
2、(2021·福建师大附中)设,,,则( )
A. B. C. D.
3、(2021·六安市)若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4、(2021·天津高三一模)函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
1、(2021·江苏)函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
2、(2021·四川凉山彝族自治州·高三三模)已知函数,记,,,则( )
A. B. C. D.
3、已知实数,且,,,则( )
A. B. C. D.
4、(2021·湖北高三月考)若函数是上的增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5、(2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f ′(x)的图象可能是(  )
A. B. C. D.
考点2 利用导数求最值
【例2】1、(2021·浙江)已知函数,则函数的单调递增区间是______,函数的极大值点是_______.
2、(2021·黑龙江大庆市·)已知函数在处有极值10,则( )
A. B.0 C.或0 D.或6
3、(2021·江苏)已知函数,则的最小值是( )
A. B. C. D.
4、(2021·江苏)已知函数在上的最大值为,则a的值为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
1、(2021·浙江宁波市)已知函数,则_____,有极______(填大或小)值.
2、(2021·湖北十堰市·高三二模)已知函数在处有极小值,且极小值为,则( )
A. B. C. D.或
3、(2021·浙江)已知函数,则的最大值是_____,最小值是______.
4、(2021·苏州市吴中区甪直高级中学)若函数在 区间内存在最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
考点3 参数问题
【例3】1、(2021·六安市)若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2、(2021·湖北高三月考)若函数是上的增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、(2021·河南开封市)设函数,若的极小值为,则( )
A. B. C. D.2
4、(2021·黑龙江哈尔滨市)已知在区间上有最小值,则实数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
1、(2021·陕西宝鸡市·高三月考)若函数在区间是增函数,则的取值范围是_________.
2、(2021安徽高三月考)设函数在上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、(2021·河南洛阳市)函数在内有极值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4、(2021·苏州市吴中区甪直高级中学)若函数在 区间内存在最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.苏教版(2019)高中数学一轮复习第7讲《利用导数求单调性和最值》(解析版)
【知识梳理】
导数及其应用 概念与几何意义 概念 函数在点处的导数
几何 意义 为曲线在点处的切线斜率,切线方程是
运算 基本 公式 (为常数);; ; ,(,且); (,(,且). ;
运算 法则 ; , ;, . 复合函数求导法则
公式 运用 求下列函数的导数: ; 2、; 3、; 4、 5、 6、
研究 函数 性质 单调性 的各个区间为单调递增区间;的区间为单调递减区间
极值 且在附近左负(正)右正(负)的为极小(大)值点
最值 上的连续函数一定存在最大值和最小值,最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者,最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者
二级结论 重要不等式
洛必达法则 (当时使用)
二、【考点精讲】
考点1 利用导数求单调性
【例1】1、(2021·广东)函数的一个单调递减区间是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,该函数的定义域为,

,可得,
令,可得,即,解得.
所以,函数的单调递减区间为.
当时,函数的一个单调递减区间为,

对任意的,,,,
故函数的一个单调递减区间为. 故选:A.
2、(2021·福建师大附中)设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令,则
∵当时,,∴,
∴在区间上单调递减,
又,∴,即.故选:A.
3、(2021·六安市)若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知,
在上递减,则在上成立,
在上恒成立,
设,则在上恒成立,所以在上递增,
,所以.故选:A.
4、(2021·天津高三一模)函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】,则是偶函数,图象关于轴对称,排除C,
当且,,排除A,
当时,,则,
∵,,,则有两个不同的零点,
即当时,函数至少有三个单调区间,排除B,故选:D.
【变式训练】
1、(2021·江苏)函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为,
由,解得,所以函数的单调递减区间是,故选:D
2、(2021·四川凉山彝族自治州·高三三模)已知函数,记,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,,
由对数的单调性可知:,
所以,且,
因为函数,所以函数为偶函数,
从而,
因为时,,所以,
则当时,,所以在上单调递增;
则当时,,所以在上单调递增;
因为,
所以,即;故选:D.
3、已知实数,且,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,,得,,,因此,,.
设函数,则,,,
,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,即,又,
所以,
故选:A.
4、(2021·湖北高三月考)若函数是上的增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,
所以
因为在上的增函数,所以在R上恒成立,
所以,即,
所以,解得,故选:B
5、(2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f ′(x)的图象可能是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据的图像可知,函数从左到右,单调区间是:增、减、增、减,也即导数从左到右,是:正、负、正、负.结合选项可知,只有选项符合,故本题选A.
考点2 利用导数求最值
【例2】1、(2021·浙江)已知函数,则函数的单调递增区间是______,函数的极大值点是_______.
【答案】 .
【解析】由题意,函数,
则,
令,即,即,解得;
令,即,解得或;
所以函数的递增区间是,递减区间为,,
当时,函数取得极大值,即函数的极大值点为.
2、(2021·黑龙江大庆市·)已知函数在处有极值10,则( )
A. B.0 C.或0 D.或6
【答案】A
【解析】(1)由函数有.
函数在处有极小值10.所以,即
解得: 或
当时,
令得或,得
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.显然满足函数在处有极小值10.
当时,
所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10.
所以故选:A
3、(2021·江苏)已知函数,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题得,
所以当时,单调递增;
当时,单调递减.
所以取得最小值时,,此时,
当时,;
当时,;
所以的最小值是.故选:C
4、(2021·江苏)已知函数在上的最大值为,则a的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,
得,
当时,若,则单调递减,
若,则单调递增,
故当时,函数有最大值,
解得,不符合题意.
当时,函数在上单调递减,最大值为,不符合题意.
当时,函数在上单调递减.此时最大值为,
解得,符合题意.
故a的值为.
故选:A.
【变式训练】
1、(2021·浙江宁波市)已知函数,则_____,有极______(填大或小)值.
【答案】 有极大值
【解析】由题意,函数,可得,所以,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,所以有极大值.故答案为:;极大值.
2、(2021·湖北十堰市·高三二模)已知函数在处有极小值,且极小值为,则( )
A. B. C. D.或
【答案】A
【解析】.因为在处有极小值,且极小值为,所以,即,解得或.
当时,,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,在处有极小值.
当时,,则在上单调递增,无极值.
故选:A
3、(2021·浙江)已知函数,则的最大值是_____,最小值是______.
【答案】; .
【解析】,,
又,令,得;令,得.
在上单调递减,在上单调递增,
,的最大值是2;最小值是.故答案为:;.
4、(2021·苏州市吴中区甪直高级中学)若函数在 区间内存在最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,,
当或时,;当时,.
故在,上是增函数,在上是减函数,
所以,函数的极小值为.
作其图象如图,
令得,解得或,
结合图象可知,解得,.故选:C.
考点3 参数问题
【例3】1、(2021·六安市)若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知,
在上递减,则在上成立,
在上恒成立,
设,则在上恒成立,所以在上递增,
,所以.故选:A.
2、(2021·湖北高三月考)若函数是上的增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,
所以
因为在上的增函数,所以在R上恒成立,
所以,即,
所以,解得,故选:B
3、(2021·河南开封市)设函数,若的极小值为,则( )
A. B. C. D.2
【答案】B
【解析】由已知得:,令,有,且上递减,上递增,∴的极小值为,即,得.故选:B.
4、(2021·黑龙江哈尔滨市)已知在区间上有最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,当时, ,当,,
所以得极小值为.所以,得到,故选:D.
【变式训练】
1、(2021·陕西宝鸡市·高三月考)若函数在区间是增函数,则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由知,,
时,是增函数,,
又,∴在上恒成立,
而,.故答案为:.
2、(2021安徽高三月考)设函数在上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数在上单调递减,
当时,,
在时恒成立,即,,
又在单调递减,故,
故.故选:B.
3、(2021·河南洛阳市)函数在内有极值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,,
因函数在内有极值,则时,有解,
即在时,函数与直线y=a有公共点,
而,即在上单调递减,,则,显然在零点左右两侧异号,所以实数的取值范围是.故选:C
4、(2021·苏州市吴中区甪直高级中学)若函数在 区间内存在最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,,
当或时,;当时,.
故在,上是增函数,在上是减函数,
所以,函数的极小值为.
作其图象如图,
令得,解得或,
结合图象可知,解得,.故选:C.

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