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8.1功与功率
一、功
1．做功两因素
力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负的判断方法
恒力的功 依据力与位移方向的夹角来判断
曲线运动 中的功 依据力与速度方向的夹角α来判断，0°≤α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功
能量变化 时的功 功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)。
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械长时间正常工作时输出的最大功率。
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率。
1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。
(2)曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3…求合力做的功。
注意：求力做功时要判断各力做功的正负，求合力功时不能忘记正负号。
求变力做功的常见五种方法
方法 以例说法
应用动 能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3…)＝Ff·2πR
图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均 值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝(x2－x1) 压缩量Δx
等效转 换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
一、单选题
1．下列说法正确的是
A．功是标量，正负不表示方向，但表示大小
B．一对平衡力，一个力做正功，另一个力必做负功
C．一对相互作用的静摩擦力，可都对物体做负功
D．一对相互作用的滑动摩擦力，可都对物体做正功
2．高铁列车行驶时受到的总阻力包括摩擦阻力和空气阻力。某一列高铁列车以180 km/h的速度在平直轨道上匀速行驶时，空气阻力约占总阻力的50 %，牵引力的功率约为2000 kW，假设摩擦阻力恒定，空气阻力与列车行驶速度的平方成正比，则该列车以360 km/h的速度在平直轨道上匀速行驶时牵引力的功率约为（　　）
A．4000 kW B．8000 kW
C．10000 kW D．16000 kW
3．把A、B两相同小球在离地面同一高度处以相同大小的初速度v0分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对两小球做的功不同
D．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率PA>PB
4．如图，汽车停在缓坡上，要求驾驶员在保证汽车不后退的前提下向上启动,这就是汽车驾驶培训考试中的“坡道起步”．驾驶员的正确操作是:变速杆挂入低速挡，徐徐踩下加油踏板，然后慢慢松开离合器，同时松开手刹，汽车慢慢启动．下列说法正确的是( )
A．变速杆挂入低速挡,是为了增大汽车的输出功率
B．变速杆挂入低速挡,是为了能够提供较大的牵引力
C．徐徐踩下加油踏板,是为了让牵引力对汽车做更多的功
D．徐徐踩下加油踏板,是为了让汽车的输出功率保持为额定功率
5．一质量为m的电动汽车在平直公路上以恒定的功率加速行驶，当速度大小为v时，其加速度大小为a，设汽车所受的阻力恒为f．以下说法正确的是
A．汽车的功率为fv
B．当汽车的速度增加到2v时，加速度为
C．汽车行驶的最大速率为(1+)v
D．当汽车的速度为时v，行驶的距离为
6．中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为，假设泵车的泵送系统以的输送量给高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为（　　）
发动机最大输出功率（） 332 最大输送高度（m） 63
整车满载质量（） 最大输送量（） 180
A． B． C． D．
7．如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（　　）
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小 B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小 D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
8．“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为，若动车组所受的阻力与其速率成正比（，为常量），动车组能达到的最大速度为。下列说法正确的是（　　）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶的速度为
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为
9．一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时,发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度随时间t变化的图像中,可能正确的是( )
A． B．
C． D．
10．2021年6月28日聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示。假设聂海胜锻炼15分钟克服动感单车阻力而消耗的能量约为。假设动感单车的阻力主要来源于距车轴的阻尼装置（可视为质点），宇航员每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的阻力约为（　　）
A．180N B．350N C．580N D．780N
11．用一个劲度系数为k的轻弹簧竖直悬挂一个质量为m的小球（可视为质点），悬点为O，处于静止状态时弹簧长度为l，现对小球施加一外力F使小球水平向右做加速度为a的匀加速直线运动，当弹簧轴线与竖直方向夹角为θ时（如图），下列说法正确的是（　　）
A．重力的功率为 B．弹簧弹力的功率为
C．合外力的功率为 D．外力F的功率为
12．图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从时刻由静止开始提升质量为m的物体，其图像如图乙所示，时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　）
A．该起重机的额定功率为
B．该起重机的额定功率为
C．和时间内牵引力做的功之比为
D．和时间内牵引力做的功之比为
二、多选题
13．质量为2kg的物体放在动摩擦因数μ＝0.1的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平拉力做的功W和物体发生的位移x之间的关系如图所示，重力加速度g取10m/s2，则(　　)
A．此物体在AB段做匀加速直线运动
B．此物体在AB段做匀速直线运动
C．此物体在OA段做匀加速直线运动
D．此物体在OA段做匀速直线运动
14．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值p，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，则整个过程中，下列说法正确的是（　　）
A．若匀加速过程的时间为t1，则速度由v1变为v2的时间大于
B．钢绳的最大拉力为
C．重物的最大速度为v2＝
D．重物做匀加速直线运动的时间为
15．地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面．某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等．不考虑摩擦阻力和空气阻力．对于第①次和第②次提升过程，
A．矿车上升所用的时间之比为4:5
B．电机的最大牵引力之比为2:1
C．电机输出的最大功率之比为2:1
D．电机所做的功之比为4:5
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
功是物体之间能量转化的量度，它是标量，功也有正、负之分，但功的正负不是表示方向，是表示力对物体的做功效果的，故A错误；一对平衡力总是等大、反向，若其中一个力做正功，另外一个力也会发生位移在力的方向上，故做负功，故B正确；静摩擦力总是大小相等，方向相反，故一对静摩擦力一个做正功，另一个做负功，或同时不做功，故C错误；一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和是负值，不可能都对物体做正功，故D错误．所以B正确，ACD错误．
2．C
【解析】
【分析】
【详解】
当高铁列车以180 km/h的速度在平直轨道上匀速行驶时
该列车以360 km/h的速度在平直轨道上匀速行驶时
联立解得
故C正确，ABD错误。
故选C。
3．D
【解析】
【详解】
A、C项：根据动能定理得，重力做功相同，初动能相同，则末动能相同，可知落地的速度大小相等，但是方向不同，故AC错误；
B项：由知，落地的速度大小相等，但是A落地时速度方向与重力之间有夹角，可知两球落地时的重力功率不同，故B错误；
D项：从开始抛出到落地，重力做功相同，但是竖直上抛运动的时间大于平抛运动的时间，由，所以，故D正确．
4．B
【解析】
【详解】
由功率公式P=Fv可知，在功率一定的情况下，当速度减小时，汽车的牵引力就会增大，此时更容易上坡；故换低速档，增大牵引力，故A错误B正确；徐徐踩下加速踏板，发动机的输出功率增大，根据可知，目的是为了增大牵引力，故CD错误
5．C
【解析】
【详解】
A项：汽车做加速运动，由牛顿第二定律有：，所以，所以汽车的功率为 ，故A错误；
B项：当汽车的速度增加到2v时，此时的牵引力为 ，由牛顿第二定律有：，即 解得：，故B错误；
C项：当汽车的牵引力与阻力相等时，汽车速度最大，即，故C正确；
D项：由于以恒定的功率行驶，即做加速度减小的加速运动，行驶的距离不能用即，故D错误．
点晴：对于恒定功率运动的过程，是一个变加速运动的过程，故不能用匀变速直线运动的规律求解位移，对于机车启动问题主要抓主和这两个公式即可求解．
6．C
【解析】
【分析】
【详解】
泵车的泵送系统以的输送量给高处输送混凝土，每小时泵送系统对混凝土做的功
故选C。
7．B
【解析】
【分析】
【详解】
AB．在ab段，根据平衡条件可知，牵引力
所以在ab段汽车的输出功率
不变，在bc段牵引力
bc段的输出功率
故A错误B正确；
CD．在cd段牵引力
汽车的输出
在cd段汽车的输出功率不变，且小于bc段，故CD错误。
故选B。
8．C
【解析】
【分析】
【详解】
A．对动车由牛顿第二定律有
若动车组在匀加速启动，即加速度恒定，但随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而变大，故A错误；
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有
故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
C．若四节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶时加速度为零，有
而以额定功率匀速时，有
联立解得
故C正确；
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度，由动能定理可知
可得动车组克服阻力做的功为
故D错误；
故选C。
9．A
【解析】
【详解】
在时间内，如果匀速，则图象是与时间轴平行的直线，如果是加速，根据，牵引力减小；根据，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0时，即，汽车开始做匀速直线运动，此时速度；所以时间内，图象先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线；在时间内，功率突然增加，故牵引力突然增加，是加速运动，根据，牵引力减小；再根据，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0时，即，汽车开始做匀速直线运动，此时速度．所以在时间内，即图象也先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线，A正确；
10．B
【解析】
【分析】
【详解】
设阻力为，则有
解得
故选B。
【命题意图】
本题以航天员体能训练途径太空跑台为背景，考查功、能关系等知识，主要考查理解能力、推力能力，体现科学思维，突出对应用性的考查要求。
11．C
【解析】
【分析】
【详解】
A．重力的方向与速度垂直，故功率为0，A错误；
B．根据
小球的速度
弹簧的伸长量不等于弹簧的长度，即弹簧的伸长量不等于，弹簧功率也不能这样算
B错误；
C．物体的合外力为ma且与速度方向相同，功率为
C正确；
D．由受力可知，此时外力F的方向与小球的速度方向不共线，D错误。
故选C。
12．C
【解析】
【详解】
AB．当时，根据牛顿第二定律则有
解得该过程中物体所受牵引力大小为
则该起重机的额定功率为
故A、B错误；
CD．时间内牵引力做的功
时间内牵引力做的功
故在和时间内牵引力做的功之比为
故C正确，D错误；
故选C。
13．BC
【解析】
【分析】
【详解】
物体在水平面上运动，水平拉力与物体运动方向相同，物体受到的滑动摩擦力大小
物体在OA段受到的水平拉力大小等于
可见，水平拉力大于摩擦力，则物体在OA段做匀加速直线运动．物体在AB段受到的水平拉力大小等于
水平拉力等于摩擦力，则物体在AB段做匀速直线运动。
故选BC。
14．ACD
【解析】
【分析】
【详解】
A．速度由v1变为v2的做加速度减小的加速运动，根据速度公式可以判断其运动时间大于，故A正确；
B．匀加速提升重物时钢绳的拉力最大，由
得
故B错误；
C．重物以最大速度匀速上升时，则有
所以
C正确；
D．重物做匀加速直线运动的加速度
则重物做匀加速直线运动的时间为
故D正确。
故选ACD。
15．AC
【解析】
【详解】
A．由图可得，变速阶段的加速度 ，设第②次所用时间为t，根据速度-时间图象的面积等于位移（此题中为提升的高度）可知，，解得：，所以第①次和第②次提升过程所用时间之比为 ，选项A正确；
B．由于两次提升变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，，可得提升的最大牵引力之比为1∶1，选项B错误；
C．由功率公式，P=Fv，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，选项C正确；
D．加速上升过程的加速度，加速上升过程的牵引力，减速上升过程的加速度，减速上升过程的牵引力
，
匀速运动过程的牵引力．第①次提升过程做功
；
第②次提升过程做功
；
两次做功相同，选项D错误．
【点睛】
此题以速度图像给出解题信息．解答此题常见错误主要有四方面：一是对速度图像面积表示位移掌握不到位；二是运用牛顿运动定律求解牵引力错误；三是不能找出最大功率；四是不能得出两次提升电机做功．实际上，可以根据两次提升的高度相同，提升的质量相同，利用功能关系得出两次做功相同．

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