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苏教版（2019）高中数学一轮复习第5讲《指对幂函数》（解析版）
【知识梳理】
指数对数 指对数互化
指数幂的运算法则 = = = = = = =
对数运算法则 = = = 换底公式：=
基本初等函数Ⅰ 指数函数 单调递减，时，时 函数图象过定点
单调递增，时，时
对数函数 在单调递减，时，时 函数图象过定点
在单调递增，时，时
幂函数 在单调递增，图象过坐标原点 函数图象过定点
在单调递减
在不增不减
二级结论 抽象函数原型 （1）抽象函数对数型：若，则； （2）抽象函数指数型：若，则； （3）抽象函数正比型：若，则； （4）抽象函数幂数型：若，则； （5）抽象函数三角型：若，则； （6）抽象函数一次型：若，则； （7）抽象函数导数型：若，则或
二、【真题再现】
1、（2022全国甲卷文）已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
2、（2022新高考1卷）设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
3、（2022浙江卷）已知，则（ ）
A. 25 B. 5 C. D.
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
三、【考点精讲】
考点1 指对数的运算
【例1】1、（2021·全国）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3）6.
【解析】（1）将两边平方得，所以．
（2）将两边平方得，所以．
（3）由（1）（2）可得
2、（2020·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
3、（2021·浙江）化简求值：
（1）．
（2）；
【答案】（1） 5（2）3
【解析】（1）．
（2）.
【变式训练】
1、（2021·福建师大附中高三）若（，为有理数），则______．
【答案】
【解析】
因为（，为有理数）
所以
故答案为：
2、
【答案】0
【解析】
.
3、设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．
【详解】解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD
考点2 比较大小
【例2】1、（2020·全国·高考真题（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2、（（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【变式训练】
1、（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
2、（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
考点3 指对幂函数的性质
【例3】1、（多选）（2021·山东济南市·高三二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为减函数
C．有且只有一个零点 D．的值域为
【答案】AC
【解析】,,
,
故为奇函数，
又，
在R上单调递增，
，，，
，，即函数值域为
令，即，解得，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC正确，BD错误.故选：AC
2、（2021·合肥市第六中学高三）已知函数则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵可化为为偶函数，且在上单调递增，∴由得，即，解得或．
故选：A．
3、（2021·上海高三二模）已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设函数，则函数是定义域为，
根据指数函数与幂函数的单调性可得，是增函数，是减函数，是增函数，
所以在上单调递增；
又，所以是奇函数，其图象关于原点对称；
又，
即的图象可由向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，
所以是定义域为的增函数，
且其图像关于点对称，即有，即 ．
由得 ，
即，
即，所以 ，解得 ．故选：A．
【变式训练】
1、（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意知为偶函数，其图象关于轴对称，当时，单调递增，且，所以的解集为.将的图象沿轴向右平移个单位长度后可得的图象，所以不等式的解集为.故选:B.
2、（2021·安徽黄山市·高三）设函数，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的图像如图所示，
函数在以及上递增，在上递减，
故若函数在区间上单调递减，
需满足且，
即，
故选：A．
3、（2021·浙江）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3 B．3 C． D．0
【答案】B
【解析】因为幂函数在上是减函数，
所以，
由，得或，
当时，，所以舍去，
当时，，
所以，
故选：B
考点4 指对幂函数的综合运用
【例4】1、（2021·河南洛阳市·高三三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
当时，，则，则，此时，
当时，，则，
当时，，则，则，此时，
则对于函数，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
故的值域为.故选：A.
2、（2021·全国高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】（1）A（2）B
【解析】（1）易知曲线过定点，则，所以，所以.故选：A
（2）因为函数（且）的图象恒过定点，
又因为点在直线上，
所以，即，
所以,
当且仅当，即取等号，所以的最小值为4故选：B.
3、（2021·北京人大附中高三）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，
由的图像经过，则的值为，此时为奇函数.
又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过.
所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件故选：C
【变式训练】
1、（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递减，函数在上单调递增,
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以;
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式组无解.
综上所述；.故选；C.
2、（2020·江苏苏州市·高三月考）已知函数的图象经过定点，若正数x，y满足，则的最小值是
【答案】
【解析】函数
令，可得，代入函数可得，
定点的坐标，
代入可得，
那么，
则.
当且仅当时，取等号，
的最小值.故选：D
3、（2021·江西高三）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由是幂函数，知：，又在上，
∴，即，则且，
∴.故选：D.苏教版（2019）高中数学一轮复习第5讲《指对幂函数》（原卷版）
【知识梳理】
指数对数 指对数互化
指数幂的运算法则 = = = = = = =
对数运算法则 = = = 换底公式：=
基本初等函数Ⅰ 指数函数 单调递减，时，时 函数图象过定点
单调递增，时，时
对数函数 在单调递减，时，时 函数图象过定点
在单调递增，时，时
幂函数 在单调递增，图象过坐标原点 函数图象过定点
在单调递减
在不增不减
二级结论 抽象函数原型 （1）抽象函数对数型：若，则； （2）抽象函数指数型：若，则； （3）抽象函数正比型：若，则； （4）抽象函数幂数型：若，则； （5）抽象函数三角型：若，则； （6）抽象函数一次型：若，则； （7）抽象函数导数型：若，则或
二、【真题再现】
1、（2022全国甲卷文）已知，则（ ）
A. B. C. D.
2、（2022新高考1卷）设，则（ ）
A. B. C. D.
3、（2022浙江卷）已知，则（ ）
A. 25 B. 5 C. D.
三、【考点精讲】
考点1 指对数的运算
【例1】1、（2021·全国）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）.
2、（2020·全国·高考真题（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·浙江）化简求值：
（1）．
（2）；
【变式训练】
1、（2021·福建师大附中高三）若（，为有理数），则______．
2、
考点2 比较大小
【例2】1、（2020·全国·高考真题（文））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2、（（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【变式训练】
1、（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点3 指对幂函数的性质
【例3】1、（多选）（2021·山东济南市·高三二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为减函数
C．有且只有一个零点 D．的值域为
2、（2021·合肥市第六中学高三）已知函数则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3、（2021·上海高三二模）已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练】
1、（2021·江苏南通市·高三二模）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·安徽黄山市·高三）设函数，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·浙江）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3 B．3 C． D．0
考点4 指对幂函数的综合运用
【例4】1、（2021·河南洛阳市·高三三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高三专题练习）函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3、（2021·北京人大附中高三）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练】
1、（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、（2020·江苏苏州市·高三月考）已知函数的图象经过定点，若正数x，y满足，则的最小值是
3、（2021·江西高三）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

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