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苏教版（2019）高中数学一轮复习第3讲《不等式》(解析版）
【知识梳理】
不等式的性质 （1）； 两个实数的顺序关系：
（2）；
（3）；
（4）；
的充要条件是
（5）；
（6）
一元二次不等式 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集
基本 不等式 （） （）；（）；≤≤≤（）；
【考点精讲】
考点1 不等式的性质
【例1】1、（多选）（2021·辽宁高三其他模拟）设实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·千阳县中学高三）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】1、BCD 2、C
【解析】对于A选项：取a=-3，b=-1，满足条件，而a2>b2，A不正确；
对于B选项：因，则，又函数在单调递增，即，B正确；
对于C选项：因，则，，即，C正确；
对于D选项：因，则，，D正确.
故选：BCD
（2）.
设，
所以，解得：，
，
因为，，
所以，
因为单调递增，
所以.
故选：C
【变式训练】
1、（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，，则a>0，b<0，，A不正确；，则，B不正确；又，即，则，，C正确；由得，D不正确.
故选：C
2、（多选）（2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模）若实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以不能判断的大小关系，所以不能比较的大小关系，故B不正确；
对于C：假设成立，则，化简得在恒成立，故C正确；
对于D：令函数，则，又，所以，所以函数 在上单调递增，
又，所以，所以，即，故D正确，
故选：ACD.
考点2 一元二次不等式（恒）成立
【例2】1、（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为
2、（2021·四川高三一模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为___________(结果用区间表示).
3、（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为
【答案】1、2、3、
【解析】1、因为关于的不等式恒成立，分以下两种情况讨论：
（1）当时，可得，合乎题意；
（2）当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.故选：B.
2、，，则，
令，则在上单调递增，
，，即的取值范围为.故答案为：.
3、由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围为
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习）“，”为假命题，则实数a的最小值为________.
【答案】1
【解析】，”为假命题，即在[-1，3]上，恒成立，
分离参数得,令,当时取得最大值1，
的最小值为1，故答案为:1.
2、（2020·全国高三专题练习）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】∵在上为减函数，且不等式对任意恒成立，则只需，即.
故答案为：.
3、（2021·辽宁高三二模）若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】若“，使得成立”是假命题，则“，使得成立”是真命题，分离，进而.
考点3 含参一元二次不等式的解法
【例3】1、（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：()．
2、（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式.
【答案】见解析
【解析】1、原不等式化为，
①或时，不等式为，所以不等式的解集为；
②当或时，，不等式的解集为；
③当或时，，不等式的解集为．
综上所述：当①或时，不等式的解集为；②当或时，不等式的解集为；③当或时，不等式的解集为．
2、原不等式可变形为：，
当时，，所以即解集为；
当时，，所以即解集为；
当时，，令，所以，
若时，，所以解集为，
若时，，所以解集为，
若时，，所以解集为，
综上可知：时解集为；时解集为；
时解集为；时解集为.
【变式训练】
1、（2021·全国）解关于x的不等式.
【答案】答案见解析.
【解析】，不等式的解为；
当时，不等式对应方程的根为或2，
①当时，不等式即 的解集为；
②当时，不等式的解集为 ；
③当时，不等式的解集为 ；
④当时，不等式的解集为 .
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
2、（2021·江苏高三专题练习）解关于的不等式
【答案】见解析
【解析】原不等式等价于
(1)当时，解集为
(2)当时，原不等式可化为，
因为，所以解集为
(3)当时，，解集为
(4)当时，原不等式等价于，即，
解集为
(5)当时，，解集为
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为
考点4 运用基本不等式求最值
【例4】1、已知正数a、b满足，则ab的最大值为 .
【答案】
【解析】因为正数a、b满足，
故可得，
当且仅当时，即时取得最大值.
2、（2021·全国高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D
【解析】，
当且仅当,即等号成立.故选：D.
3、（2021·全国高三月考）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
由题意可得，则，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以的最小值为，故选：A
4、（2021·天津高三一模）设，，且，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：
5、（2021年江西）已知、为正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由可得出，
由于、为正实数，则，可得，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.故答案为：.
【变式训练】
1、（2021年安徽）若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是________．
【答案】　3
【解析】　∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，
且a＋1>0，b＋c>0.∴＋＝·(a＋1＋b＋c)·＝≥(5＋4)＝3.
当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立．
2、（2021年湖南）已知，则的最小值是_______．
【答案】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.
3、（2021年湖北）已知实数满足，则的最小值为 。
【答案】
【解析】设，则，
，，
则，，
，
设，则，
，解得，
的最小值为.
4、（2021·天津高三一模）已知，，，则的最大值是______．
【答案】
【解析】因为，所以，代入中，得，
由（当且仅当时取等号），
于是有（当且仅当时取等号），
因为，，所以，
因此有（当且仅当时取等号），
，（当时取等号，即时，取等号），
所以有（当且仅当时取等号），
即（当且仅当时取等号），因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是.故答案为：
考点5 基本不等式的综合运用
【例5】1、（2021·北京人大附中高三）在中，，，则的最大周长是（）
B． C． D．
2、（2021·江西上饶市·高三三模）已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
【答案】1、B 2、C
【解析】1、由余弦定理知，,
即，
故，当且仅当时等号成立
解得，又，
所以，
故周长，故选：B
2、因为A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，
所以
当且仅当，即时等号成立．故选：C
【变式训练】
1、（多选）（2021·广东揭阳市·高三一模）已知等比数列的公比为，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为等比数列的公比为，且
所以，，，，
因为，故A正确；
因为，当时式子为负数，故B错误；
因为，故C正确；
因为，存在使得，故D错误.
故选：AC
2、（2021·上海市七宝中学高三一模）在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由题意，
，，
因为在线段上，所以，，，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：．
四、【真题再现】
1、（2022全国甲卷理/文）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】
【解析】
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
2、（2022全国乙卷理/文）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当即时等号成立，
故选：C
3、（2022新高考1卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）求最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【小问1详解】
因为，即，
而，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
4、（2022新高考2卷）若x，y满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
5、（2022浙江卷）已知，若对任意，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【分析】将问题转换为，再结合画图求解．
【详解】由题意有：对任意，有恒成立．
设，，
即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：
由图可知，，，或，，
故选：D．苏教版（2019）高中数学一轮复习第3讲《不等式》(原卷版）
【知识梳理】
不等式的性质 （1）； 两个实数的顺序关系：
（2）；
（3）；
（4）；
的充要条件是
（5）；
（6）
一元二次不等式 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集
基本 不等式 （） （）；（）；≤≤≤（）；
【考点精讲】
考点1 不等式的性质
【例1】1、（多选）（2021·辽宁高三其他模拟）设实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·千阳县中学高三）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
2、（多选）（2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模）若实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
考点2 一元二次不等式（恒）成立
【例2】1、（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为
2、（2021·四川高三一模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为___________(结果用区间表示).
3、（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习）“，”为假命题，则实数a的最小值为________.
2、（2020·全国高三专题练习）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______.
3、（2021·辽宁高三二模）若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为___________.
考点3 含参一元二次不等式的解法
【例3】1、（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：()．
2、（2021·全国高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式.
【变式训练】
1、（2021·全国）解关于x的不等式.
2、（2021·江苏高三专题练习）解关于的不等式
考点4 运用基本不等式求最值
【例4】1、已知正数a、b满足，则ab的最大值为 .
2、（2021·全国高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
3、（2021·全国高三月考）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4、（2021·天津高三一模）设，，且，则的最小值为___________.
5、（2021年江西）已知、为正实数，满足，则的最小值为______.
【变式训练】
1、（2021年安徽）若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是________．
2、（2021年湖南）已知，则的最小值是_______．
3、（2021年湖北）已知实数满足，则的最小值为 。
4、（2021·天津高三一模）已知，，，则的最大值是______．
考点5 基本不等式的综合运用
【例5】1、（2021·北京人大附中高三）在中，，，则的最大周长是（）
B． C． D．
2、（2021·江西上饶市·高三三模）已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
【变式训练】
1、（多选）（2021·广东揭阳市·高三一模）已知等比数列的公比为，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、（2021·上海市七宝中学高三一模）在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.
四、【真题再现】
1、（2022全国甲卷理/文）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
2、（2022全国乙卷理/文）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. C. D.
3、（2022新高考1卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B； （2）求最小值．
4、（2022新高考2卷）若x，y满足，则（ ）
A. B.
C. D.
5、（2022浙江卷）已知，若对任意，则（ ）
A B. C. D.

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