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苏教版（2019）高中数学一轮复习第6讲《函数与方程、函数的应用》(原卷版）
【知识梳理】
函数零点 概念 方程的实数根，方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点
存在定理 图象在上连续不断，若，则在内存在零点
二分法 方法 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
步骤 第一步 确定区间，验证，给定精确度
第二步 求区间的中点；
第三步 计算：（1）若，则就是函数的零点（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）．（4）判断是否达到精确度即若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）～（4）
函数建模 概念 把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模
解题步骤 阅读审题 分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题
数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式
解答模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果
解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A. 当，时，二氧化碳处于液态
B. 当，时，二氧化碳处于气态
C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
2、（2022北京卷）若函数的一个零点为，则________；________．
3、（2021全国甲卷理）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
4、（2021北京卷）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
5、（2021天津卷）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
三、【考点精讲】
考点1 零点相关问题
【例1】1、（2021·北京清华附中高三）函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3、（2021·全国高三）已知关于的方程有三个不同的根，分别为，则＝（ ）
A．3 B．5 C． D．
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习）函数，则函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3、（2021·全国高三）已知函数则方程的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
考点2 二分法
【例2】（2021·六盘山高级中学）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A． B． C． D．
【变式训练】
（2021·全国高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
考点3 函数模型及其应用
【例3】1、（2021·江苏南京·二模）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式，则下列说法正确的有（ ）
A．在[0，2]上的平均变化率为m/h
B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h
C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低
D．18时潮水起落的速度为m/h
2、（2022·贵州·模拟预测（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【变式训练】
1、（2022·湖北·一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
2、（2022·广西·模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．苏教版（2019）高中数学一轮复习第讲《函数与方程、函数的应用》(解析版）
【知识梳理】
函数零点 概念 方程的实数根，方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点
存在定理 图象在上连续不断，若，则在内存在零点
二分法 方法 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
步骤 第一步 确定区间，验证，给定精确度
第二步 求区间的中点；
第三步 计算：（1）若，则就是函数的零点（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）．（4）判断是否达到精确度即若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）～（4）
函数建模 概念 把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模
解题步骤 阅读审题 分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题
数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式
解答模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果
解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A. 当，时，二氧化碳处于液态
B. 当，时，二氧化碳处于气态
C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】根据与关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，时对应是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
2、（2022北京卷）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
3、（2021全国甲卷理）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【答案】C
【解析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
4、（2021北京卷）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
5、（2021天津卷）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【9题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
三、【考点精讲】
考点1 零点相关问题
【例1】1、（2021·北京清华附中高三）函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，
根据零点存在性定理，，所以零点一定位于区间.故选：C
2、（2021·全国高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图象，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图象，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图象，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图象有5个交点，所以零点的个数为5.故选：C
3、（2021·全国高三）已知关于的方程有三个不同的根，分别为，则＝（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【解析】令，
如图所示：
令，
要使有不同的零点，则有2个不同的根，
则或，或，或，
故当时，，当时，，
故关于的方程的其中1个根必须为2或﹣2，
此时直线或直线时刚好与函数相切，
当时，不合题意，
由，得，
若，则该方程无解，不合题意，
由，得：，
当，此时，不合题意，
当，此时，解得：，
由，当，解得：，
当，整理得，故，
故，
故选：B．
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习）函数，则函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的图象在上连续，且函数在上单调递增，
因为，
，所以，，
，因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.
2、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，
由题设知，在上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，
∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.
3、（2021·全国高三）已知函数则方程的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，所以，
当时，，所以，当时，，
所以函数的图象关于点对称．
显然不是方程的根，
当时，原方程可变为，
画出函数和的图象(如图所示)，
由图知，二者仅有两个公共点设为，
因为函数和的图象都关于点对称，所以关于点对称，
所以，即
故选：A
考点2 二分法
【例2】（2021·六盘山高级中学）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：
，
，
又因为函数在上连续，所以函数在区间上有零点，
约为
故选：C.
【变式训练】
（2021·全国高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066
【答案】C
【解析】在上单调递增.设近似值为，
由表格有，所以，故选：C.
考点3 函数模型及其应用
【例3】1、（2021·江苏南京·二模）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式，则下列说法正确的有（ ）
A．在[0，2]上的平均变化率为m/h
B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h
C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低
D．18时潮水起落的速度为m/h
【答案】BD
【解析】利用导数的概念及几何意义、求导法则，逐个判断选项即可
【详解】由题意，对于选项A，，，
所以在[0，2]上的平均变化率为m/h，故A选项错误；
对于选项B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而h，故B选项正确；对于选项C，当t＝6时，，
所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，即C选项错误；
对于选项D，，
所以，
则选项D正确；综上，答案选BD.
故选：BD
【点睛】关键点睛：解题关键在于利用导数的概念及几何意义、求导法则，求出题中函数的单调性、周期和最值，进而判断选项，属于基础题
2、（2022·贵州·模拟预测（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】C
【分析】根据已知数据可求得，设初始时间为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，利用，结合对数运算法则可求得结果.
【详解】，，，，解得：.
设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，
则（天）.
故选：C.
【变式训练】
1、（2022·湖北·一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
【答案】ACD
【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：当时，由题意得，
解得，即地震里氏震级约为七级，故A正确；
对于B：八级地震即时，，解得，
所以，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B错误；
对于C：六级地震即时，，解得，
所以，
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；
对于D：由题意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即数列{an}是等比数列，故D正确；
故选：ACD
2、（2022·广西·模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【详解】设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．
故选：D．

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