资源简介

立体几何复习讲义3 空间中的平行问题(学生版)
【知识点一】直线与直线平行
1．判断方法：
（1）三角形中位线定理；
（2）构造平行四边形，其对边平行；
（3）对应线段成比例，两直线平行；
（4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性）
（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；（线面平行的性质）
（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质）
（7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质）
（8）同位角、内错角相等或者同旁内角互补，两直线平行。
2．典型例题
【例1】（三角形中位线定理）如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。
证明：连接交于，连接，
∵为的中点，为的中点
∴为三角形的中位线 ∴
又在平面内，在平面外 ∴平面。
【例2】（证明是平行四边形）已知正方体，是底对角线的交点.求证： C1O∥面；
证明：（1）连结，设，连结
∵ 是正方体 是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又分别是的中点，∴O1C1∥AO且
是平行四边形
面，面 ∴C1O∥面
【例3】（线面平行的性质）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作一平面交平面BDM于GH.
求证:AP∥GH.
证明：连接AC交BD于点O,连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以O是AC的中
点,又M是PC的中点,所以AP∥OM.而PA 平面BDM,OM 平面BDM,所以AP∥平面BMD.
因为AP 平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以AP∥GH.
【例4】（面面平行的性质）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
变式训练
【变式1】在如图所示的几何体中，四边形ACC1A1是矩形，FC1∥BC，EF∥A1C1，点A，B，E，A1在一个平面内，求证A1E∥AB.
【变式2】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
【知识点二】直线与平面平行
1.判断方法：
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
2.典型例题
【例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
【解析】如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又MN 平面PAD，AG 平面PAD，∴MN∥平面PAD.
【例2】如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.
证明　：
法一(利用线面平行的判定定理):如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.
∵F、H分别是AB、AC的中点，∴K是△ABC的重心，
∴＝.又据题设条件知，＝，∴＝，∴EK∥GH.
∵EK 平面CEF，GH 平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.
法二(利用面面平行的性质定理2):　如图，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE 平面CEF，GN 平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN,∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，∴FH∥BC， FH=BC，EN∥BC，EN=BC，∴FH∥EN，FH=EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF 平面CEF，HN 平面CEF，
∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH 平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.
3.变式
【变式1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
【变式2】如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
【知识点三】平面与平面平行
1．判断方法：
（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2．典型例题
【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B.
证明：法一（利用面面平行的判定定理的推论）:如图，连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理可证，MP∥C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内，∴平面MNP∥平面A1C1B.
法二（利用面面平行的判定定理）:如图，连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B. 平面A1C1B,平面A1C1B, 平面A1C1B.
同理可证，MP∥平面A1C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，
∴平面MNP∥平面A1C1B.
【例2】如图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，
求证：平面BDF∥平面B1D1H.
证明:取DD1中点E，连AE、EF.∵E、F为DD1、CC1的中点，
∴EF綊CD.∴EF綊AB，∴四边形EFBA为平行四边形．∴AE∥BF.
又∵E、H分别为D1D、A1A的中点，∴D1E綊HA，∴四边形HAED1为平行四边形．∴HD1∥AE，∴HD1∥BF，由正方体的性质易知
B1D1∥BD，且已证BF∥D1H.∵B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF.∵HD1 平面BDF，BF 平面BDF，∴HD1∥平面BDF.
又∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.
点评：一般是由面面平行的判定定理的推论找到解题思路，由面面平行的判定定理写出证明过程，故实际上证明面面平行只有一种方法。
变式
【变式1】如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.
【变式2】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.
练习题
【练习1】如图所示，一平面与空间四边形ABCD的对角线AC，BD都平行，且交空间四边形的边AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H.
求证：EFGH为平行四边形；
【练习2】如图所示，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
【练习3】（平面与平面平行的证明）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
（1）直线EG平面BDD1B1；（2）平面EFG平面BDD1B1.
【练习4】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
【练习5】如图，在五面体EFABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.
【练习6】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．
【练习7】如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
【练习8】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
【练习9】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（1）求证：；（2）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，
使平面？说明理由．立体几何复习讲义3 空间中的平行问题（教师版）
【知识点一】直线与直线平行
1．判断方法：
（1）三角形中位线定理；
（2）构造平行四边形，其对边平行；
（3）对应线段成比例，两直线平行；
（4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性）
（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；（线面平行的性质）
（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质）
（7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质）
（8）同位角、内错角相等或者同旁内角互补，两直线平行。
2．典型例题
【例1】（三角形中位线定理）如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。
证明：连接交于，连接，
∵为的中点，为的中点
∴为三角形的中位线 ∴
又在平面内，在平面外 ∴平面。
【例2】（证明是平行四边形）已知正方体，是底对角线的交点.求证： C1O∥面；
证明：（1）连结，设，连结
∵ 是正方体 是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又分别是的中点，∴O1C1∥AO且
是平行四边形
面，面 ∴C1O∥面
【例3】（线面平行的性质）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作一平面交平面BDM于GH.
求证:AP∥GH.
证明：连接AC交BD于点O,连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以O是AC的中
点,又M是PC的中点,所以AP∥OM.而PA 平面BDM,OM 平面BDM,所以AP∥平面BMD.
因为AP 平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以AP∥GH.
【例4】（面面平行的性质）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
证明：因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
变式训练
【变式1】在如图所示的几何体中，四边形ACC1A1是矩形，FC1∥BC，EF∥A1C1，点A，B，E，A1在一个平面内，求证A1E∥AB.
证明：∵四边形ACC1A1是矩形，∴A1C1∥AC.又AC 平面ABC，A1C1 平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC.∵FC1∥BC，BC 平面ABC，∴FC1∥平面ABC.
又∵A1C1，FC1 平面A1EFC1，∴平面A1EFC1∥平面ABC.又∵平面ABEA1与平面A1EFC1、平面ABC的交线分别是A1E，AB，∴A1E∥AB.
点评：本解法利用了平面与平面平行的性质定理。
【变式2】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．
证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形．
【知识点二】直线与平面平行
1.判断方法：
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
2.典型例题
【例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
【解析】如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又MN 平面PAD，AG 平面PAD，∴MN∥平面PAD.
【例2】如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.
证明　：
法一(利用线面平行的判定定理):如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.
∵F、H分别是AB、AC的中点，∴K是△ABC的重心，
∴＝.又据题设条件知，＝，∴＝，∴EK∥GH.
∵EK 平面CEF，GH 平面CEF，
∴直线HG∥平面CEF.
法二(利用面面平行的性质定理2):　如图，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE 平面CEF，GN 平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN,∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，∴FH∥BC， FH=BC，EN∥BC，EN=BC，∴FH∥EN，FH=EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF 平面CEF，HN 平面CEF，
∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH 平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.
3.变式
【变式1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
解析：(1)证明　如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，
所以PQ∥CD1.
又PQ 平面DCC1D1，CD1 平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)解　由(1)易知PQ＝D1C＝a.
(3)证明　方法一　取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，
则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1.又BE∥B1C1且BE＝B1C1，
所以BE∥FO1，BE＝FO1.
所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，
又EF 平面BB1D1D，BO1 平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
方法二　取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1 平面EE1F，B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF 平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
【变式2】如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
证明：过点M作MG∥BC交AB于点G，连接GN.则＝，
∵AM＝FN，AC＝BF，∴MC＝NB.∴＝.∴GN∥AF，又AF∥BE.∴GN∥BE.
∵GN 面BCE，BE 面BCE，∴GN∥面BCE.∵MG∥BC，MG 面BCE，BC 面BCE.
∴MG∥面BCE.∵MG∩GN＝G，∴面MNG∥面BCE.∵MN 面MNG，∴MN∥平面BCE.
【知识点三】平面与平面平行
1．判断方法：
（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2．典型例题
【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B.
证明：法一（利用面面平行的判定定理的推论）:如图，连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理可证，MP∥C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内，∴平面MNP∥平面A1C1B.
法二（利用面面平行的判定定理）:如图，连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B. 平面A1C1B,平面A1C1B, 平面A1C1B.
同理可证，MP∥平面A1C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，
∴平面MNP∥平面A1C1B.
【例2】如图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，
求证：平面BDF∥平面B1D1H.
证明:取DD1中点E，连AE、EF.∵E、F为DD1、CC1的中点，
∴EF綊CD.∴EF綊AB，∴四边形EFBA为平行四边形．∴AE∥BF.
又∵E、H分别为D1D、A1A的中点，∴D1E綊HA，∴四边形HAED1为平行四边形．∴HD1∥AE，∴HD1∥BF，由正方体的性质易知
B1D1∥BD，且已证BF∥D1H.∵B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF.∵HD1 平面BDF，BF 平面BDF，∴HD1∥平面BDF.
又∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.
点评：一般是由面面平行的判定定理的推论找到解题思路，由面面平行的判定定理写出证明过程，故实际上证明面面平行只有一种方法。
变式
【变式1】如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.
证明：∵、分别是、的中点，∥
又平面，平面∥平面
∵四边形为平行四边形，∥
又平面，平面∥平面，平面∥平面
【变式2】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.
【解析】证明　因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，
所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.
又OF 平面PCD，CD 平面PCD，所以OF∥平面PCD，
因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，
又OE 平面PCD，PC 平面PCD，所以OE∥平面PCD.
又OE 平面EFO，OF 平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.
练习题
【练习1】如图所示，一平面与空间四边形ABCD的对角线AC，BD都平行，且交空间四边形的边AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H.
求证：EFGH为平行四边形；
解：证明：∵BD∥平面EFGH，BD 平面ABD，平面ABD∩平面EFGH＝EH，
∴BD∥EH，同理BD∥FG.∴EH∥FG，同理EF∥HG.∴四边形EFGH为平行四边形．
【练习2】如图所示，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明：
∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP 平面PBC，NQ 平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，∴MQ∥BC.
∵BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，得平面MNQ∥平面PBC.
【练习3】（平面与平面平行的证明）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
（1）直线EG平面BDD1B1；（2）平面EFG平面BDD1B1.
【解析】证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EGSB.
又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直线EG平面BDD1B1.
（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FGSD.
又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，
由（1）有直线EG平面BDD1B1；又EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG=G，
所以平面EFG平面BDD1B1.
【练习4】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
【解析】证明　(1)如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB 平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD.
∵点F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，
且EG 平面EFG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
【练习5】如图，在五面体EFABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.
证明　
∵AD∥BC，AD 平面BCEF，BC 平面BCEF，
∴AD∥平面BCEF，
∵AD 平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，
∴AD∥EF.
【练习6】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．
证明：
设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，
所以＝，即＝，
所以SC＝17.
【练习7】如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
答案　B
解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝2＝.
【练习8】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
解:如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
【练习9】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（1）求证：；（2）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
证明：
（1）在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，，
（2）线段存在点，使得平面，理由如下：
取中点，连接，，，分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
又平面，，平面平面，
是上的动点，平面，平面，线段存在点，使得平面．

展开更多......

收起↑