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苏教版（2019）一轮复习第2讲《常用逻辑用语》（原卷版）
【知识梳理】
常用逻辑用语 命题 概念 能够判断真假的陈述句
形式 “若p,则q”，其中p叫条件，q叫结论
充要 条件概念 若p q 则p是q的充分条件，q是p的必要条件
若p q且q p 则p是q的充分不必要条件
若p q且q p 则p是q的必要不充分条件
若p q 则p是q的充要条件
若p q且q p 则p是q的既不充分也不必要条件
充要 条件与集合的关系 若命题对应集合，命题对应集合，则等价于，等价于
小集合是大集合的充分不必要条件 大集合是小集合的充分不必要条件 相等集合则互为充要条件 没有包含关系的集合互为既不充分也不必要条件
量词 全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题
存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题
命题名称 符号表示 命题的否定
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M，
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M，
【考点精讲】
考点1 含有一个量词的否定
【例1】1、（2021·四川高三二模）已知命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2、（2021年广东）已知命题p：“ x0∈R，ex0－x0－1≤0”，则为(　　)
A. x0∈R，ex0－x0－1≥0 B. x0∈R，ex0－x0－1＞0
C. x∈R，ex－x－1＞0 D. x∈R，ex－x－1≥0
【变式训练】
1、（2021·四川泸州市·泸县五中高三一模）已知命题，或，则为　　
A．，且 B．，或
C．，或 D．，且
2．（2021·陕西西安市·西安中学高三月考）命题“ x0∈（1，+∞），﹣1＝x02”的否定是（ ）
A． x0 （1，+∞），﹣1＝x02 B． x0 （1，+∞），﹣1≠x02
C． x∈（1，+∞），2x﹣1≠x2 D． x （1，+∞），2x﹣1＝x2
考点2 命题真假的判断
【例1】1、（2021·全国高三）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
2、（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．命题". sinx"的否定是“ x∈R，sinx>1"
B．“a>1"是<1”的充分不必要条件
C．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，则△ABC为锐角三角形
D．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A= sin2B，则A=B
【变式训练】
（多选）（2021·山东高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则
B．若，，则
C．若，且，则
D．若，且，则
考点3 参数问题
【例1】1、（2021·全国高三专题练习）若命题“时，”是假命题，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2、（2020·江西高三期中）存在，使得，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．-1
【变式训练】
1、（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“”是“，是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、（多选）（2021·全国高三专题练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A． B． C．3 D．
考点4 充分、必要条件的判断
【例1】1、（2021·天津高三期末）设，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件．
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、（2021·娄底市春元中学高三月考）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练】
1、（2021·上海松江区·高三一模）已知两条直线，的方程为和，则是“直线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、（2021·江西南昌市·高三期末）设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
考点5 充分、必要条件的选择
【例1】1、（2021·运城市景胜中学高三月考）使得成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高三专题练习）复数为纯虚数的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习）方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
2、（2021·全国高三专题练习）的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
考点6 参数问题
【例1】1、（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高三专题练习）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习）已知不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高三专题练习）若是的充分不必要条件，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．1或
三、【过关检测】
1、（2020·全国高三专题练习）已知命题p：，则为（ ）
A． B．
C． D．
2、（多选）（2021·安徽高三月考）下列命题中，真命题是（ ）
A．，，使得
B．(，)
C．函数有两个零点
D．，是的充分不必要条件
3、（2021·天津十四中高三开学考试）下列三个命题：
①命题，，则，；
②命题，命题，则p是q成立的充分不必要条件：
③在等比数列中，若，，则；
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4、（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知，则使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5、（2021·全国高三专题练习）若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
6、（2021·北京高三一模）设，，则使得命题“若，则”为假命题的一组的值是___________.
7、（2021·辽宁朝阳市·高三月考）设集合，，那么“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8、（2021·全国高三专题练习）已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9、（2021·广东高三专题练习）“，”为真命题的充分必要条件是
A． B． C． D．
10、（多选）（2021·全国高三专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
11、（多选）（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．-8 B．-5 C．1 D．4
12、（2021·全国高三专题练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是_____.苏教版（2019）一轮复习第2讲《常用逻辑用语》
【知识梳理】
常用逻辑用语 命题 概念 能够判断真假的陈述句
形式 “若p,则q”，其中p叫条件，q叫结论
充要 条件概念 若p q 则p是q的充分条件，q是p的必要条件
若p q且q p 则p是q的充分不必要条件
若p q且q p 则p是q的必要不充分条件
若p q 则p是q的充要条件
若p q且q p 则p是q的既不充分也不必要条件
充要 条件与集合的关系 若命题对应集合，命题对应集合，则等价于，等价于
小集合是大集合的充分不必要条件 大集合是小集合的充分不必要条件 相等集合则互为充要条件 没有包含关系的集合互为既不充分也不必要条件
量词 全称量词 ，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题
存在量词 ，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题
命题名称 符号表示 命题的否定
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M，
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M，
【考点精讲】
考点1 含有一个量词的否定
【例1】1、（2021·四川高三二模）已知命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】根据全称命题的否定可知，为.故选：B.
2、（2021年广东）已知命题p：“ x0∈R，ex0－x0－1≤0”，则为(　　)
A. x0∈R，ex0－x0－1≥0 B. x0∈R，ex0－x0－1＞0
C. x∈R，ex－x－1＞0 D. x∈R，ex－x－1≥0
【答案】　C
【解析】根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“ x∈R，ex－x－1＞0”，故选C.
【变式训练】
1、（2021·四川泸州市·泸县五中高三一模）已知命题，或，则为　　
A．，且 B．，或
C．，或 D．，且
【答案】D
【解析】命题，或，为全称命题，则为：，且，故选：．
2．（2021·陕西西安市·西安中学高三月考）命题“ x0∈（1，+∞），﹣1＝x02”的否定是（ ）
A． x0 （1，+∞），﹣1＝x02 B． x0 （1，+∞），﹣1≠x02
C． x∈（1，+∞），2x﹣1≠x2 D． x （1，+∞），2x﹣1＝x2
【答案】C
【解析】命题“”，它的否定是“”．故选：C．
考点2 命题真假的判断
【例1】1、（2021·全国高三）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：因为恒成立，所以是假命题；
对于B：当时，，所以是假命题；
对于C：当时，，所以是真命题；
对于D：因为，所以是假命题；故选：C．
2、（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．命题". sinx"的否定是“ x∈R，sinx>1"
B．“a>1"是<1”的充分不必要条件
C．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，则△ABC为锐角三角形
D．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A= sin2B，则A=B
【答案】AB
【解析】对于A，符合命题的否定的定义，A正确；
对于B，“a>1”可以推导出<1，但是<1，包括，所以，<1无法得出a>1，所以，B正确；
对于C，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，只能说明为锐角，无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；对于D，sin2A= sin2B，当时，同样成立，D错；故选：AB
【变式训练】
（多选）（2021·山东高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则
B．若，，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】BCD
【解析】选项A：当取，时，，∴本命题是假命题.
选项B：已知，，所以，
∴，故，∴本命题是真命题.
选项C：，
∵，∴，∴本命题是真命题.
选项D：，
∵，∴，∴，∴本命题是真命题.故选：BCD
考点3 参数问题
【例1】1、（2021·全国高三专题练习）若命题“时，”是假命题，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“，时，”是假命题，
则命题“，时，”是真命题,则，
设，当时，,则.故选：D．
2、（2020·江西高三期中）存在，使得，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．-1
【答案】C
【解析】由不等式，可化为，
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以函数的最大值为，
要使得存在，使得，则，
则的最大值为.
故选：C.
【变式训练】
1、（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“”是“，是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，命题“，是假命题”
可得命题“，是真命题”
当时，即时，不等式恒成立；
当时，即时，则满足，解得，
综上可得，实数，
即命题“，是假命题”时，实数的取值范围是，
又由“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“，是假命题”的必要不充分条件，
故选：B.
2、（多选）（2021·全国高三专题练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】AB
【解析】由条件可知，是真命题，
即，即，
设
等号成立的条件是，所以的最小值是，
即，满足条件的有AB.
故选：AB
考点4 充分、必要条件的判断
【例1】1、（2021·天津高三期末）设，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件．
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】等价于等价于等价于等价于或，
等价于等价于，
因为或，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B
2、（2021·娄底市春元中学高三月考）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，即，解得，
，即，解得，
则“”可以证得“”，“”不能证得“”，
故“”是“”的充分而不必要条件，故选：A.
【变式训练】
1、（2021·上海松江区·高三一模）已知两条直线，的方程为和，则是“直线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则和，，
所以直线，满足充分性；
若直线，则，解得，满足必要性．所以是“直线”的充要条件．
故选：C．
2、（2021·江西南昌市·高三期末）设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若复数是纯虚数，则，，
则不能证得为纯虚数，为纯虚数可以证得，
故“”是“为纯虚数”的必要非充分条件，故选：B.
考点5 充分、必要条件的选择
【例1】1、（2021·运城市景胜中学高三月考）使得成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项，若，，则满足，但不能得出；所以不是的充分不必要条件；故A错；
B选项，若，则，但不能得出，所以不是的充分不必要条件；故B错；
C选项，若，，则满足，但不能得出；所以不是的充分不必要条件；故C错；
D选项，由可得，则，能推出，反之不能推出，所以是的充分不必要条件；故D正确.
故选：D.
2、（2021·全国高三专题练习）复数为纯虚数的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】当复数为纯虚数时，，解得：，
所以复数为纯虚数的一个必要不充分条件是或；故选：D.
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习）方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方程表示椭圆则，即；
若，则表示椭圆，
所以方程表示椭圆的充要条件是，故选：B
2、（2021·全国高三专题练习）的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于 A选项，等价于或是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于B选项，等价于，是的必要不充分条件，符合题意；
对于C选项，等价于，是的充分不必要条件，不合题意；
对于D选项，等价于，是的既不充分也不必要条件，不合题意.故选：B.
考点6 参数问题
【例1】1、（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知
故选：C
2、（2021·全国高三专题练习）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解不等式，即，解得，
解不等式，即，解得，
由于是的充分不必要条件，则 ，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：C.
【变式训练】
1、（2021·全国高三专题练习）已知不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，不等式，解得，
因为不等式成立的一个充分非必要条件是，
则，解得，即实数的取值范围是．故选B．
2、（2021·全国高三专题练习）若是的充分不必要条件，则的值为（ ）
A．1 B． C．或 D．1或
【答案】D
【解析】由题意，命题即为，
命题即为或，
因为是的充分不必要条件，所以或（舍去），所以.故选：D.
三、【过关检测】
1、（2020·全国高三专题练习）已知命题p：，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】结合全称命题的否定为特称命题，可得为故选：A．
2、（多选）（2021·安徽高三月考）下列命题中，真命题是（ ）
A．，，使得
B．(，)
C．函数有两个零点
D．，是的充分不必要条件
【答案】D
【解析】时，没有正整数的平方小于0，A错误；
当时，，B错误；
把方程转化为函数与的交点问题，
如图所示有三个零点，除，4外，还有一个小于0的交点，C错误，
当，时，一定有，但当，时，也成立，故D正确.
故选：D.
3、（2021·天津十四中高三开学考试）下列三个命题：
①命题，，则，；
②命题，命题，则p是q成立的充分不必要条件：
③在等比数列中，若，，则；
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①命题：，则命题的否定是，
所以该命题是假命题；
②化简命题：，命题：，
则是成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；
③在等比数列中，若，，则，
但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4，所以.
所以该命题是假命题.所以有0个真命题.
故选：A.
4、（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知，则使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】，令，则，则函数在上单调递增，，，所以原命题为真命题的充要条件为，
而，则满足A选项、C选项的a均有，时和都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.故选：AC
5、（2021·全国高三专题练习）若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
【答案】
【解析】存在x∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，
设，，
易得y＝f(x)在[﹣1，1]为减函数，
所以，即，即，
即，所以，
故答案为：．
6、（2021·北京高三一模）设，，则使得命题“若，则”为假命题的一组的值是___________.
【答案】满足且即可
【解析】要使命题“若，则”为假命题；
则存在，，，且
所以且，取即可满足条件，本题属于开放性题，只需填写符合且的值即可；故答案为：满足且即可
7、（2021·辽宁朝阳市·高三月考）设集合，，那么“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】“或”对应的集合为，“”对应的集合为，
因为为的真子集，故“或”是“”的必要不充分条件，故选：C.
8、（2021·全国高三专题练习）已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“若与平行，
则，解得或；
当时，与显然平行；
当时，与也平行；
所以由不能推出；由能推出.
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
9、（2021·广东高三专题练习）“，”为真命题的充分必要条件是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】“，”为真命题，对任意的恒成立，
由于函数在区间上单调递增，则，.
故选：A.
10、（多选）（2021·全国高三专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【解析】由得，
因此，若是的充分不必要条件，则．
故选：BCD．
11、（多选）（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．-8 B．-5 C．1 D．4
【答案】ACD
【解析】，解得，
即，解得或，
由题意知，所以或，
即.
故选：ACD
12、（2021·全国高三专题练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是_____.
【答案】；
【解析】因为不等式成立的充分不必要条件是，
所以.
所以，解得.
故答案为：.

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