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苏教版（2019）高中数学一轮复习第4讲《函数概念与性质》(解析版）
【知识梳理】
概念 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.
本质 任意性、唯一性
三要素 定义域、值域、对应法则
表示方法 解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值域的并集。
性质 单调性 1、 叫单调增函数， 叫单调减函数 2、奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性 偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性 3、增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增=减 4、复合函数：同增异减
奇偶性 1、 叫奇函数， 叫偶函数，如果一个函数是奇函数或函偶数，其定义域必须满足 2、奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶 偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶； 奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇 3、复合函数：同奇则奇，有偶则偶 4、若奇函数在处有意义，则有
对称性 三角函数的对称性： 正弦函数的对称轴： ，对称中心： 余弦函数的对称轴： ，对称中心： 正切函数的对称轴： ，对称中心：
周期性 1、定义：对定义域内任意，存在非零常数， 2、三角函数的周期： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、常用结论： 若，则的周期为 若，则的周期为 若，则的周期为 若，则的周期为
二级结论 单调性 对于函数，设 （1）若满足，则是单调 函数 （2）若满足，则是单调 函数 （3）若满足，则是单调 函数
奇偶性 1、若是奇函数，则 若是偶函数，则 2、若为奇函数 若为偶函数 3、特殊函数：
对称性 1、函数自身的对称性： 若，则关于 对称 若，则关于 对称 若，则关于 对称 若，则关于 对称 两个函数的对称性： 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称
周期性 若，则的周期为 若，则的周期为 若，则的周期为 若的图象关于直线和都对称，则的周期为 若的图象关于点和点都对称，则的周期为 若的图象关于和直线都对称，则函数的周期为
【真题再现】
（一）选择题：
1、（2022北京卷）己知函数，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
2、（2022全国甲卷）函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
3、（2022全国乙卷理）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
4、（2022全国乙卷文）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
5、（2022新高考2卷）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
（二）填空题：
6、（2022浙江卷）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
7、（2022北京卷）函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
8、（2022北京卷）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1
【解析】
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
9、（2022全国乙卷文）若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
三、【考点精讲】
考点1 求函数的定义域
【例1】1、（2021·全国高三专题练习）若集合，函数的定义域为B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，，所以.
故选：C.
2、（2021·新疆实验）已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的定义域是，，满足，解得，
的定义域是．故选：．
【变式训练】
1、（2021·兴义市第二高级中学）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,，解得的定义域为.故选：C.
2、（2021·天津市第一中学滨海学校）设，则的定义域为_______.
【答案】
【解析】由得，故且，
, 或解得：.
故答案为：
考点2 求函数的解析式
【例2】1、（多选）（2020·辽宁阜新市）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设，由题意可知，
所以，解得或，所以或.故选：AD.
2、（2021·贵州安顺市）已知函数满足，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数满足，
设，则，由知，
故原函数可转化为，，
即的解析式为.故选：A.
【变式训练】
1、已知函数是一次函数，若，则＝________；
【答案】或
【解析】设，则，
又，所以，即，解得或，
所以或.故答案为：或.
2、（2020·河津中学高三月考）若对，都有，且函数在R上单调递增，则_______.
【答案】4
【解析】因为函数在R上单调递增，故可设，即，
由，得，所以，由此可知，所以.故答案为：4
考点3 求函数的值域
【例3】（2021·云南昆明市函数的值域为（ ）
A．(-∞，-2] B．[2，+∞)
C．(-∞，-2] [2，+∞) D．[-2，2]
【答案】C
【解析】当时，，
当时，，
所以函数的值域为，，故选：C．
【变式训练】
（2020·全国高三专题练习）函数的值域是___________.
【答案】
【解析】因为，设,,
在上单调递增,所以
故答案为：.
考点4 函数的单调性
【例4】1、（2021·金华市曙光学校）已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是
【答案】
【解析】因为函数满足对任意，都有成立
所以在上单调递减所以，解得
2、（2021·江西高三）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易得函数在R上单调递增，
则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A．
【变式训练】
1、（2021·西藏拉萨市·高三二模）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知为上的奇函数，且在上单调递减，
由，得，于是得，解得．故选：C．
2、（2020·广东中山市）已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为，所以函数为偶函数，又对任意，且，都有，可知在上单调递增，
又时，，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，单调递减，
故当时，取得极小值也是最小值，
所求即．故答案为：，．
考点5 比较大小
【例5】（2021·四川攀枝花市·高三三模）已知，，，且，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，，且，
化为：，，，
令，，，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，
，且，
∴，
同理可得．可得，故选：D．
【变式训练】
（2021·江苏苏州市）若且，且，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令()，则.
由得：.
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
∵，，，∴，，，
∴，，.
∵，∴，∴，
又∵，，，∴c，a，b都小于e，∴.
故选：B.
考点6 函数的奇偶性
【例6】1、（2021·湖北十堰市·高三二模）已知函数是定义在上的偶函数，且，．写出的一个解析式为__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】二次函数，显然满足，所以该函数是偶函数，
由，由，所以，故答案为：
2、（2021·广东肇庆市·高三二模）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】函数的定义域为且
因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，则，
所以，
因为，满足为奇函数，故选：D.
【变式训练】
1、（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____．
【答案】
【解析】因为，所以，
又分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以；
所以，则 ，两式相加得，
，所以.故答案为:.
2、（2021·浙江台州市·高三期末）已知函数是偶函数，则的值域是__________.
【答案】
【解析】因为是偶函数，
所以有，代入得：，解得：.
所以，
故答案为：.
考点7 函数的周期性
【例7】1、（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（文））已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，则，
所以，函数为上的增函数，
由于函数是偶函数，可得，
，
，因此，.故选：A.
2、（2020·四川省泸县第二中学）已知为定义在上的奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由题意，函数满足，可得，所以函数是周期为的函数，又由函数为定义在上的奇函数，且，
所以.故选：A.
【变式训练】
1、（2021·全国高三其他模拟）已知定义域为的函数满足，，则函数的解析式可以是______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由，得，即，则，所以，所以，
所以函数的一个周期为，故函数的一个解析式可以是.
故答案为：（答案不唯一）
2、（2021·全国高三月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由满足，得，
所以函数的最小正周期，且当时，为偶函数，
所以.故选：A.
【易错题型】
1、研究分段函数的单调性考虑不全面
【例1】函数在(－∞,＋∞)上单调,则a的取值范围是________．
【错解】(－∞,1)∪(1,＋∞)【错因分析】忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小．
【正解】若该函数在R上单调递减,则有,解之得a≤－；若函数在R上单调递增,则有,解得1【纠错笔记】分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性,还要考虑分界点上函数值大小．
2、求奇函数的解析式忽略若函数有意义,则
【例2】已知定义域为R的奇函数满足,当时,求解
析式．
【错解】当时,因为是奇函数,所以
,所以 ,
【错因分析】忽略时．
【正解】当时,因为是奇函数,所以
,又时,所以.
【纠错笔记】若是奇函数,且在时有意义,则．
3、求函数单调区间忽略定义域
【例3】函数的单调递增区间为____________．
【错解】由的递增区间为,得递增区间为.
【错因分析】忽略了.
【正解】由得,所以递增区间为．
【纠错笔记】求函数单调区间要注意定义域优先．
4、使用换元法,使变量范围扩大致误
【例4】若方程有实根,则a的取值范围是 .
【错解】设,则方程有实根,所以,a的取值范围是.【错因分析】忽略了.
【正解】设,则问题转化为方程至少有1个正根,因为两根之积为1,所以方程有2个正根,所以且,a的取值范围是. 【纠错笔记】使用换元法,设,则t的范围由的值域确定．
5、根据抽象函数单调性求参数范围忽略定义域
【例5】已知奇函数f(x)是定义在(－3,3)上的减函数,且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
【错解】∵f(x)是奇函数,∴f(x－3)<－f(x2－3)=　f (3－x2),又f(x)在(－3,3)上是减函数,
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0 解得x>2或x<－3又 f(x)是定义在(－3,3)上的函数,所以2＜x＜3 【错因分析】只考虑到函数的奇偶性与单调性,忽略了函数的定义域.
【正解】由,故03－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2【纠错笔记】研究函数性质,首先要关注函数定义域.
6、混淆自对称与互对称
【例6】的图象一定关于直线 对称.
【错解】 【错因分析】混淆了自对称与互对称.
【正解】 【纠错笔记】若,则的图象关于直线对称；. 的图象关于y轴对称.苏教版（2019）高中数学一轮复习第4讲《函数概念与性质》(原卷版）
【知识梳理】
概念 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.
本质 任意性、唯一性
三要素 定义域、值域、对应法则
表示方法 解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值域的并集。
性质 单调性 1、 叫单调增函数， 叫单调减函数 2、奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性 偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性 3、增＋增＝增；减＋减＝减；增－减＝增；减－增=减 4、复合函数：同增异减
奇偶性 1、 叫奇函数， 叫偶函数，如果一个函数是奇函数或函偶数，其定义域必须满足 2、奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶 偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶； 奇×偶＝奇；奇÷偶＝奇 3、复合函数：同奇则奇，有偶则偶 4、若奇函数在处有意义，则有
对称性 三角函数的对称性： 正弦函数的对称轴： ，对称中心： 余弦函数的对称轴： ，对称中心： 正切函数的对称轴： ，对称中心：
周期性 1、定义：对定义域内任意，存在非零常数， 2、三角函数的周期： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、常用结论： 若，则的周期为 若，则的周期为 若，则的周期为 若，则的周期为
二级结论 单调性 对于函数，设 （1）若满足，则是单调 函数 （2）若满足，则是单调 函数 （3）若满足，则是单调 函数
奇偶性 1、若是奇函数，则 若是偶函数，则 2、若为奇函数 若为偶函数 3、特殊函数：
对称性 1、函数自身的对称性： 若，则关于 对称 若，则关于 对称 若，则关于 对称 若，则关于 对称 两个函数的对称性： 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称 函数与函数关于 对称
周期性 若，则的周期为 若，则的周期为 若，则的周期为 若的图象关于直线和都对称，则的周期为 若的图象关于点和点都对称，则的周期为 若的图象关于和直线都对称，则函数的周期为
【真题再现】
（一）选择题：
1、（2022北京卷）己知函数，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
2、（2022全国甲卷）函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
3、（2022全国乙卷理）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A. B. C. D.
4、（2022全国乙卷文）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A. B. C. D.
5、（2022新高考2卷）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
（二）填空题：
6、（2022浙江卷）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
7、（2022北京卷）函数的定义域是_________．
8、（2022北京卷）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
9、（2022全国乙卷文）若是奇函数，则_____，______．
三、【考点精讲】
考点1 求函数的定义域
【例1】1、（2021·全国高三专题练习）若集合，函数的定义域为B，则（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·新疆实验）已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、（2021·兴义市第二高级中学）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·天津市第一中学滨海学校）设，则的定义域为_______.
考点2 求函数的解析式
【例2】1、（多选）（2020·辽宁阜新市）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2、（2021·贵州安顺市）已知函数满足，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1、已知函数是一次函数，若，则＝________；
2、（2020·河津中学高三月考）若对，都有，且函数在R上单调递增，则_______.
考点3 求函数的值域
【例3】（2021·云南昆明市函数的值域为（ ）
A．(-∞，-2] B．[2，+∞)
C．(-∞，-2] [2，+∞) D．[-2，2]
【变式训练】
（2020·全国高三专题练习）函数的值域是___________.
考点4 函数的单调性
【例4】1、（2021·金华市曙光学校）已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是
2、（2021·江西高三）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1、（2021·西藏拉萨市·高三二模）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2、（2020·广东中山市）已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是
考点5 比较大小
【例5】（2021·四川攀枝花市·高三三模）已知，，，且，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练】
（2021·江苏苏州市）若且，且，且，则（ ）
A． B．
C． D．
考点6 函数的奇偶性
【例6】1、（2021·湖北十堰市·高三二模）已知函数是定义在上的偶函数，且，．写出的一个解析式为__________．
2、（2021·广东肇庆市·高三二模）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式训练】
1、（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____．
2、（2021·浙江台州市·高三期末）已知函数是偶函数，则的值域是__________.
考点7 函数的周期性
【例7】1、（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（文））已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2、（2020·四川省泸县第二中学）已知为定义在上的奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
【变式训练】
1、（2021·全国高三其他模拟）已知定义域为的函数满足，，则函数的解析式可以是______.
2、（2021·全国高三月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【易错题型】
【例1】函数在(－∞,＋∞)上单调,则a的取值范围是________．
【例2】已知定义域为R的奇函数满足,当时,求解
析式．
【例3】函数的单调递增区间为____________．
【例4】若方程有实根,则a的取值范围是 .
【例5】已知奇函数f(x)是定义在(－3,3)上的减函数,且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
【例6】的图象一定关于直线 对称.

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