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立体几何复习讲义2 空间点、线、面之间的位置关系
【知识点一】平面的概念及点、线、面之间的位置关系
2. 点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
位置关系 符号表示
点P在直线AB上 P∈AB
点C不在直线AB上 C AB
点M在平面AC内 M∈平面AC
点A1不在平面AC内 A1 平面AC
直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝B
直线AB在平面AC内 AB 平面AC
直线AA1不在平面AC内 AA1 平面AC
3.平面的基本性质
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 AB α (1)判定直线在平面内； (2)证明点在平面内
2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 α∩β＝l 且P∈l (1)判断两个平面是否相交； (2)判定点是否在直线上； (3)证明点共线问题
3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C不共线 A，B，C确定一个平面α (1)确定一个平面的依据； (2)证明平面重合； (3)证明点、线共面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 A l A和l确定一个平面α
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝A a，b确定一个平面α
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b a，b确定一个平面α
【知识点二】空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
【知识点三】直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点
符合表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
【知识点四】平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
典型例题：
【例1】已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ D ）
A． B．
C． D．
【例2】（点共线问题）已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．
【证明】　方法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
方法二　∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．
【例3】（线共点问题）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
【证明】　如图，连结EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF∥A1B，且EF＝A1B.
又∵A1B∥D1C，且A1B＝D1C，∴EF∥D1C，且EF＝D1C，
∴E，F，D1，C四点共面， ∴D1F与CE相交，设交点为P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理2，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一点．
变式训练：
【变式1】　(1)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　)
A．α内的所有直线都与直线a异面 B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点
(2)一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l α
(1)【答案】D 【解析】　直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a α，故选D.
（2）【答案】　D 【解析】　当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个；当l与α斜交时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个．
【变式2】（多选）下列叙述中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则重合 D．若，则
【答案】AD
【解析】对于选项A：直线上有两点在平面内，则直线在平面内；故选项A正确；
对于选项B：若，则不一定是两个面的公共点.故选项B错误；
对于选项C：若，
当三点共线时，则不一定重合.故选项C错误；
对于选项D：两平面的公共点在公共直线上，故选项D正确.故选：A D.
【变式3】若异面直线分别在平面内，且，则直线l（ ）
A．与直线都相交 B．至少与中的一条相交
C．至多与中的一条相交 D．与中的一条相交，另一条平行
【答案】B
【解析】因为，所以，则与a平行或相交，与b平行或相交，
又为异面直线，所以不能与同时平行，即与可都相交，也可能与一条相交，
所以A、C、D错误，故选：B
【变式4】如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（ ）
A．只和这个平面内的一条直线平行 B．只和这个平面内的两相交直线不相交
C．和这个平面内的任何一条直线都平行 D．和这个平面内的任何一条直线都不相交
【答案】D
【解析】若一条直线和一个平面平行，则该直线与平面内的无数条直线平行，故A错误；
该直线与平面内的所有直线平行或者异面，故B、C错误，D正确.
故选：D.
【变式5】设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( D )
A．若与所成的角相等，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【变式6】设为平面，为直线，则的一个充分条件是(　D )
(A) (B)
(C) (D)
【变式7】设、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:
① 若 则 ②若,,则
③ 若,则 ④若,则
其中真命题的序号是（　D　）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【变式8】对于平面和直线,下列命题中假命题的个数是（　D　）
①若,,则;②若,,则;
③若, ,则; ④若,,则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式9】知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
③若α∥β，a α，b β，则a∥b④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b
其中正确命题的序号有________．[答案]　①④
【变式10】如图所示，在空间四面体中，分别是，的中点，分别是，上的点，且.求证：
（1）四点共面；
（2）直线共点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）连接，，分别是的中点，.
又，，，四点共面.
（2）易知与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面.
∵平面平面，，∴直线共点.
变式练习：
【变式11】已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．
求证：（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
【解析】如图．
（2）正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β．
∵Q∈A1C1，
∴Q∈α．又Q∈EF，∴Q∈β．
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C．
∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ．
故P，Q，R三点共线．立体几何复习讲义2 空间点、线、面之间的位置关系（学生版）
【知识点一】平面的概念及点、线、面之间的位置关系
2. 点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
位置关系 符号表示
点P在直线AB上 P∈AB
点C不在直线AB上 C AB
点M在平面AC内 M∈平面AC
点A1不在平面AC内 A1 平面AC
直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝B
直线AB在平面AC内 AB 平面AC
直线AA1不在平面AC内 AA1 平面AC
3.平面的基本性质
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 AB α (1)判定直线在平面内； (2)证明点在平面内
2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 α∩β＝l 且P∈l (1)判断两个平面是否相交； (2)判定点是否在直线上； (3)证明点共线问题
3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C不共线 A，B，C确定一个平面α (1)确定一个平面的依据； (2)证明平面重合； (3)证明点、线共面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 A l A和l确定一个平面α
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝A a，b确定一个平面α
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b a，b确定一个平面α
【知识点二】空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
【知识点三】直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点
符合表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
【知识点四】平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
典型例题：
【例1】已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ D ）
A． B．
C． D．
【例2】（点共线问题）已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．
【证明】　方法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
方法二　∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．
【例3】（线共点问题）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
【证明】　如图，连结EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF∥A1B，且EF＝A1B.
又∵A1B∥D1C，且A1B＝D1C，∴EF∥D1C，且EF＝D1C，
∴E，F，D1，C四点共面， ∴D1F与CE相交，设交点为P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理2，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一点．
变式训练：
【变式1】　(1)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　)
A．α内的所有直线都与直线a异面 B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点
(2)一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　)
A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l α
【变式2】（多选）下列叙述中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则重合 D．若，则
【变式3】若异面直线分别在平面内，且，则直线l（ ）
A．与直线都相交 B．至少与中的一条相交
C．至多与中的一条相交 D．与中的一条相交，另一条平行
【变式4】如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（ ）
A．只和这个平面内的一条直线平行 B．只和这个平面内的两相交直线不相交
C．和这个平面内的任何一条直线都平行 D．和这个平面内的任何一条直线都不相交
【变式5】设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若与所成的角相等，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【变式6】设为平面，为直线，则的一个充分条件是(　 )
(A) (B)
(C) (D)
【变式7】设、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:
① 若 则 ②若,,则
③ 若,则 ④若,则
其中真命题的序号是（　 　）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
【变式8】对于平面和直线,下列命题中假命题的个数是（　 　）
①若,,则;②若,,则;
③若, ,则; ④若,,则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式9】知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
③若α∥β，a α，b β，则a∥b④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b
其中正确命题的序号有________
【变式10】如图所示，在空间四面体中，分别是，的中点，分别是，上的点，且.求证：
（1）四点共面；
（2）直线共点.
【变式11】已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：（1）D，B，F，E四点共面；（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

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