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第七讲 正弦定理、余弦定理及解三角形
1、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC ＝＝＝2R
常见变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ （1）a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC （2）sin A＝，sin B＝，sin C＝ （3）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
2、三角形常用面积公式
（1）S＝a·ha(ha表示a边上的高) （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A
3、三角形中的三角函数关系
（1）sin(A＋B)＝sin C （2）cos(A＋B)＝－cos C（3）sin＝cos（4）cos＝sin
4、三角形解的个数
图形
关系式 a < bsin A bsin A < a < b a＝bsin A或a ≥ b
解的个数 无解 两解 一解
R【类型1】正弦定理
1、在锐角△ABC中，若，则（ C ）
（A） （B） （C） （D）
2、在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝，则AC等于（ B ）
（A） （B） （C） （D）
3、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
【答案】：75°
4、在△ABC中，，则________.
【答案】：
5、在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c等于______.
【答案】：2
R【类型2】余弦定理
6、在△ABC中，，则（ C ）
（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）无解
7、已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC是（ D ）
（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）钝角三角形
8、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos C的值为（ D ）
（A） （B）－ （C） （D）－
9、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（ A ）
（A）45° （B）60° （C）90° （D）135°
10、在中，，，，则________.
【答案】：
11、已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ，sin A＝ .
【答案】：2；
R【类型3】解三角形综合
12、已知等边边长为3，点D在BC边上，且，AD =，下列结论中错误的是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
13、已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是（ A ）
（A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）等边三角形 （D）钝角三角形
14、在△ABC中，，则“”是“是钝角三角形”的（ A ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
15、在△ABC中，，若，则的大小是（ A ）
（A） （B） （C） （D）
16、在△ABC中，，，，则 ；为的中点，则的长为 ．
【答案】：；
17、在△ABC中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：
（1）的值；
（2）角的大小和的面积.
条件①：；条件②：；
【答案】：选条件①或者条件②：（1）；（2）
18、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求C；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
【答案】：（1）；（2）
19、在△ABC中，．
（1）求的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求边上高线的长.
条件①：，；条件②：，；条件③：，.
【答案】：（1）；（2）选条件①，；选条件②，△ABC不唯一；选条件③，
20、在△ABC中．
（1）求的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①：；条件②：；条件③：边上的高为．
【答案】：（1）；（2）①②或①③，
一、选择题。
1、在△ABC中，已知，，那么（　B　）
（A） （B） （C） （D）
2、在△ABC中，若，则（ D ）
（A） （B） （C） （D）
3、在△ABC中，BC＝6，A＝，sinB＝2sinC，则△ABC的面积为（　A　）
（A） （B）6 （C） （D）
4、在△ABC中，，，，则c＝（ B ）
（A） （B） （C） 6 （D）5
5、已知在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，B＝60°，那么A等于（ C ）
（A）135° （B）90° （C）45° （D）30°
二、填空题。
6、在△ABC中，，AB＝1，BC＝2，则AC的长为 .
【答案】：
7、在△ABC中，，b＝2，∠A＝60°，则c＝　 　；　 　．
【答案】：6，
8、在△ABC中，a＝3，b＝7，，则△ABC的面积为　 　．
【答案】：
9、在锐角中，，则__________，__________．
【答案】：
10、已知△ABC的面积为，，则=_________．
【答案】：
11、在△ABC中，，，点D在边BC上，，CD = 2，则AD = ；△ACD的面积为_________．
【答案】：，
12、在△ABC中，，则_________．
【答案】：1
13、在△ABC中，，D是BC边的中点. 若，，则AD的长等于 ；若，，则△ABC的面积等于_________．
【答案】：7，42
14、在△ABC中， ， ， ，则_________，△ABC的面积为___________．
【答案】：，
15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A：B：C＝1：2：3，则a：b：c等于________．
【答案】：
三、解答题。
16、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知．
（1）求A的大小；
（2）如果，，求的面积．
【答案】：（1）：（2）
17、在△ABC中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
（1）求；
（2）求的面积.
条件①：；条件②：；
【答案】：选条件①或者条件②（1）；（2）
18、在△ABC中，已知．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
【答案】：（1）；（2）选条件②③或①③，
19、在△ABC中，．
（1）求的值；
（2）若，且△ABC的面积，求c的值．
【答案】：（1）（2）
20、在△ABC中，已知，，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）c的值；
（2）△ABC的面积．
条件①：；条件②：．
【答案】：选择①：（1）；（2）；
选择②：（1）；（2）
21、在△ABC中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）△ABC的面积．
条件①：，；条件②：△ABC为等腰三角形．
【答案】：选条件①：（1）（2）
选条件②：（1）
22、在△ABC中， ，c＝8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）b的值；
（2）角A的大小和△ABC的面积.
条件①：a＝7；条件②：.
【答案】：选择条件①：（1）；（2）
选择条件②：（1）；（2）
23、在△ABC中，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）△ABC的面积.
条件①：AB边上的高为；条件②：；条件③：.
【答案】：选择①或②或③：（1）；（2）
24、在四边形ABCD中，AB//CD，，，，
（1）求cos∠BDC；
（2）求BC的长.
【答案】：（1）（2）
25、在锐角△ABC中，角的对边分別为，且．
（1）求角的大小；
（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
条件①：条件②：
【答案】：（1）；（2）条件①，；条件②，
26、在△ABC中，角，，的对边分别为，，，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
条件①：；条件②：△ABC的面积为
【答案】：（1）选条件①或②，（2）
27、在△ABC中，．
（1）求；
（2）若， ．求.
从条件①，条件②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】：（1）；（2）
28、在△ABC中，，，且△ABC的面积为．
（1）求a的值；
（2）若D为BC上一点，且 ，求的值．
从条件①，条件②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】：（1）；（2）
29、在△ABC中，，， ．从下列这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答．
（1）求△ABC的面积；
（2）求．
条件①，条件②，条件③
【答案】：选择①或②或③，（1）；（2）
30、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，.
（1）当时，求；
（2）求的取值范围.
【答案】：（1）；（2）
31、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，并且．
（1）已知 ，计算△ABC的面积；
请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答．
（2）求的最大值．
【答案：】选择①和②，选择①和③，选择②和③，
（2）时，有最大值1
32、已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：
条件①条件② ；条件③ ；条件④
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求△ABC的面积.
【答案】：（1）△ABC满足①，②，③；（2）
33、若△ABC的面积为，，，且∠A为锐角．
（1）求 的值；
（2）求的值．
【答案】：（1）；（2）第七讲 正弦定理、余弦定理及解三角形
1、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－2cacosB c2＝a2＋b2－2abcosC ____________________
常见变形 cos A＝__________ cos B＝__________ cos C＝__________ （1）a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC （2）sin A＝，sin B＝，sin C＝ （3）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
2、三角形常用面积公式
（1）S＝a·ha(ha表示a边上的高) （2）S＝_______＝_______＝_______
3、三角形中的三角函数关系
（1）sin(A＋B)＝_______ （2）cos(A＋B)＝_______
（3）sin＝_______ （4）cos＝_______
4、三角形解的个数
图形
关系式 a < bsin A bsin A < a < b a＝bsin A或a ≥ b
解的个数 无解 两解 一解
R【类型1】正弦定理
1、在锐角△ABC中，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝，则AC等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
4、在△ABC中，，则________.
5、在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c等于______.
R【类型2】余弦定理
6、在△ABC中，，则（ ）
（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）无解
7、已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC是（ ）
（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）钝角三角形
8、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos C的值为（ ）
（A） （B）－ （C） （D）－
9、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（ ）
（A）45° （B）60° （C）90° （D）135°
10、在中，，，，则________.
11、已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ，sin A＝ .
R【类型3】解三角形综合
12、已知等边边长为3，点D在BC边上，且，AD =，下列结论中错误的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
13、已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是（ ）
（A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）等边三角形 （D）钝角三角形
14、在△ABC中，，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
15、在△ABC中，，若，则的大小是（ ）
（A） （B） （C） （D）
16、在△ABC中，，，，则 ；为的中点，则的长为 ．
17、在△ABC中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：
（1）的值；
（2）角的大小和的面积.
条件①：；条件②：；
18、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求C；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
19、在△ABC中，．
（1）求的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求边上高线的长.
条件①：，；条件②：，；条件③：，.
20、在△ABC中．
（1）求的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①：；条件②：；条件③：边上的高为．
一、选择题。
1、在△ABC中，已知，，那么（　　）
（A） （B） （C） （D）
2、在△ABC中，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、在△ABC中，BC＝6，A＝，sinB＝2sinC，则△ABC的面积为（　　）
（A） （B）6 （C） （D）
4、在△ABC中，，，，则c＝（ ）
（A） （B） （C） 6 （D）5
5、已知在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，B＝60°，那么A等于（ ）
（A）135° （B）90° （C）45° （D）30°
二、填空题。
6、在△ABC中，，AB＝1，BC＝2，则AC的长为 .
7、在△ABC中，，b＝2，∠A＝60°，则c＝　 　；　 　．
8、在△ABC中，a＝3，b＝7，，则△ABC的面积为　 　．
9、在锐角中，，则__________，__________．
10、已知△ABC的面积为，，则=_________．
11、在△ABC中，，，点D在边BC上，，CD = 2，则AD = ；△ACD的面积为_________．
12、在△ABC中，，则_________．
13、已知在△ABC中，，D是BC边的中点. 若，，则AD的长等于 ；若，，则△ABC的面积等于_________．
14、在△ABC中， ， ， ，则_________，△ABC的面积为___________．
15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A：B：C＝1：2：3，则a：b：c等于________．
三、解答题。
16、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知．
（1）求A的大小；
（2）如果，，求的面积．
17、在△ABC中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
（1）求；
（2）求的面积.
条件①：；条件②：；
18、在△ABC中，已知．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19、在△ABC中，．
（1）求的值；
（2）若，且△ABC的面积，求c的值．
20、在△ABC中，已知，，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）c的值；
（2）△ABC的面积．
条件①：；条件②：．
21、在△ABC中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）△ABC的面积．
条件①：，；条件②：△ABC为等腰三角形．
22、在△ABC中， ，c＝8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）b的值；
（2）角A的大小和△ABC的面积.
条件①：a＝7；条件②：.
23、在△ABC中，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）△ABC的面积.
条件①：AB边上的高为；条件②：；条件③：.
24、在四边形ABCD中，AB//CD，，，，
（1）求cos∠BDC；
（2）求BC的长.
25、在锐角△ABC中，角的对边分別为，且．
（1）求角的大小；
（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
条件①：条件②：
26、在△ABC中，角，，的对边分别为，，，已知，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
条件①：；条件②：△ABC的面积为
27、在△ABC中，．
（1）求；
（2）若， ．求.
从条件①，条件②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
28、在△ABC中，，，且△ABC的面积为．
（1）求a的值；
（2）若D为BC上一点，且 ，求的值．
从条件①，条件②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
29、在△ABC中，，， ．从下列这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答．
（1）求△ABC的面积；
（2）求．
条件①，条件②，条件③
30、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，.
（1）当时，求；
（2）求的取值范围.
31、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，并且．
（1）已知 ，计算△ABC的面积；
请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答．
（2）求的最大值．
32、已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：
条件①条件② ；条件③ ；条件④
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求△ABC的面积.
32、若△ABC的面积为，，，且∠A为锐角．
（1）求 的值；
（2）求的值．

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