资源简介

立体几何复习讲义4 空间中的垂直问题（教师版）
【知识点一】直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
【知识点二】直线和平面垂直的判定定理
文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
【知识点三】直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
【知识点四】平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作：α⊥β.
(2)判定定理
文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
【知识点五】平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
【知识点六】方法技巧
1、线线垂直的判定方法：
等腰三角形三线合一
菱形的对角线互相垂直
线线、线面垂直相互转化
直径所对的圆周角为直角
勾股定理的逆定理（有边长，结合余弦定理）
证明所成角为直角
三垂线定理
（8）一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2、线面垂直的判断方法：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）（面面垂直的性质）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
3、面面垂直的判断方法：
（1）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
（2）两个平面所成角是直二面角
【知识点七】典型例题
【例1】（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，，是的中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。
证明：（1） 同理，
又∵ ∴平面
（2）由（1）有平面
又∵平面， ∴平面平面
【例2】（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥的底面是菱形．，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面．
证明：略
【例3】(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,,求证：面．
证明：°
又面 面
又面
【例4】(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知垂直于圆O在平面，是圆O的直径，是圆O的圆周上异于、的任意一点，且，点是线段的中点.求证：平面.
证明：∵所在平面，是的弦，∴.
又∵是的直径，是直径所对的圆周角，∴.
∵平面，平面.
∴平面，平面，∴.
∵，点是线段的中点.∴.
∵,平面，平面. ∴平面.
【例5】（勾股定理的逆定理）.如图，在四棱锥中，，且，，，点在上，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：直线平面．
【解析】证明：（1）因为，，所以，
所以；又，且，
平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）连接，交于点，连接，在四边形中，，，
由，得，又，即，所以，
又直线平面，直线平面，所以直线平面．
【例6】（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. 求证：BD⊥平面AED；
证明　因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD 平面AED，
所以BD⊥平面AED.
【例7】（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
证明：连结AC
∴ AC为A1C在平面AC上的射影
【知识点八】变式训练
【变式1】在正四棱锥中，，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【解析】证明：（1）因为，分别为棱，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）连结，交于点，连结．因为为正四棱锥，所以平面．
又平面，所以．又因为，，所以，
在正方形中，，．又，平面，，
所以平面．
【变式1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别是，的中点
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
【解析】（1）证明：取的中点，连接、，
、分别为、的中点，，且，
底面是正方形，且为的中点，，，
，且，四边形是平行四边形，，
又面，面，面．
（2）证明：底面是正方形，，
面，面，，
又、面，，面，
面，，
，是的中点，，
又、面，，面，
而，面．
【变式3】如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【解析】解：（1）证明：直三棱柱，四边形为平行四边形，
为的中点，为的中点，，
又平面，平面，平面．
（2）四边形为平行四边形，，平行四边形为菱形，即．
三棱柱为直三棱柱，平面，平面，，，
，，，，平面，平面．
平面，，，，，平面，平面，平面，平面平面．
【变式4】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，点，分别是，的中点，求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
【解析】证明：（1）取中点，连接，，
在中，，分别为，中点，
则，且，
又四边形为矩形，为中点，，且，
，且，故四边形为平行四边形，
从而，又面，面，
直线面．
（2）矩形，，又平面面，
面面，面，面，
又面，则，又，，面，
又面，平面平面．
【变式5】（证明面面垂直）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，为与的交点，为棱上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为四边形为正方形，则，
底面，平面，，
，平面，
平面，平面平面；
（2）如下图所示，连接，
四边形为正方形，且，则为的中点，
因为平面，平面，平面平面，，
为的中点，为的中点，
平面，平面，且，
的面积为，
所以，.
【变式6】(线面垂直的判定)在四棱锥中，，，平面，为的中点，为的中点，．
（1）取中点，证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明: 因为中点，
在中，，则．
而，则在等腰三角形中，①.
又在中，, 则，
因为平面，平面，则，
又，即，，
则平面，因为平面，所以，因此②.
又，由①②知平面；
（2）在中，，，
又，平面，
平面，即为三棱锥的高，
，
在中，，，
设点到平面的距离为，
则，
，即点到平面的距离为.立体几何复习讲义4 空间中的垂直问题（学生版）
【知识点一】直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
【知识点二】直线和平面垂直的判定定理
文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
【知识点三】直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
【知识点四】平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作：α⊥β.
(2)判定定理
文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
【知识点五】平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
【知识点六】方法技巧
1、线线垂直的判定方法：
等腰三角形三线合一
菱形的对角线互相垂直
线线、线面垂直相互转化
直径所对的圆周角为直角
勾股定理的逆定理（有边长，结合余弦定理）
证明所成角为直角
三垂线定理
（8）一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2、线面垂直的判断方法：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）（面面垂直的性质）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
3、面面垂直的判断方法：
（1）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
（2）两个平面所成角是直二面角
【知识点七】典型例题
【例1】（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，，是的中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。
证明：（1） 同理，
又∵ ∴平面
（2）由（1）有平面
又∵平面， ∴平面平面
【例2】（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥的底面是菱形．，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面．
证明：略
【例3】(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,,求证：面．
证明：°
又面 面
又面
【例4】(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知垂直于圆O在平面，是圆O的直径，是圆O的圆周上异于、的任意一点，且，点是线段的中点.求证：平面.
证明：∵所在平面，是的弦，∴.
又∵是的直径，是直径所对的圆周角，∴.
∵平面，平面.
∴平面，平面，∴.
∵，点是线段的中点.∴.
∵,平面，平面. ∴平面.
【例5】（勾股定理的逆定理）.如图，在四棱锥中，，且，，，点在上，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：直线平面．
【解析】证明：（1）因为，，所以，
所以；又，且，
平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）连接，交于点，连接，在四边形中，，，
由，得，又，即，所以，
又直线平面，直线平面，所以直线平面．
【例6】（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. 求证：BD⊥平面AED；
证明　因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD 平面AED，
所以BD⊥平面AED.
【例7】（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
证明：连结AC
∴ AC为A1C在平面AC上的射影
【知识点八】变式训练
【变式1】在正四棱锥中，，分别为棱，的中点．
（1）求证：平面；（2）求证：平面．
【变式2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别是，的中点
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
【变式3】如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【变式4】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，点，分别是，的中点，求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
【变式5】（证明面面垂直）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，为与的交点，为棱上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积.
【变式6】(线面垂直的判定)在四棱锥中，，，平面，为的中点，为的中点，．
（1）取中点，证明：平面；
（2）求点到平面的距离.

展开更多......

收起↑